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湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第四次月考试卷 数学(理)_图文

炎德·英才大联考长郡中学 2014 届高三月考试卷(四)
数 学(理科)

高考资源网 长郡中学高三数学备课组组稿 (考试范围:高考全部内容) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页,时量 120 分钟.满分 150 分, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
2 1.已知集合 M ? ? x | 0 ? x ? 5, x ? N ? , N ? x | x ? 4 ,下列结论成立的是

?

?

A. N ? M

B. M

N ?M

C. M

N?N

D. M

N ? ?2?

2.下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R, e 0 ? 0
x

B. ?x ? R,3x ? x3 C. “ a ? b ? 0 ”的充分不必要条件是“
2 2

a ? 1” b

D. “ x ? a ? b ”是“ x ? 2ab ”的必要不充分条件 3.已知非零向量 a,b 满足 a+b 与 a-b 的夹角是 A. a ? b B.a=b

? ,那么下列结论中一定成立的是 2
D.a∥b

C. a ? b

4.设以 a ? ( ) , b ? ( )
x

3 4

4 3

x ?1

, c ? log 3 x ,若 x>l,则 a,b,c 的大小关系是
4

A.a<b<c. B.c<a<b C.b<a<c D .b<c<a 5.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是

·1·

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 6.双曲线的中心在坐标原点 O,A、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点,B 是双曲线的左顶点,F 是 双曲线的左焦点,直线 AB 与 FC 相交于 D,若双曲线离心率为 2,则 ? BDF 的余弦值为 A.

7 7

B.

2 7 7
2 2

C.

7 14

D.

5 7 14

7.如图,已知圆 M : ( x ? 4) ? ( y ? 4) ? 4 ,四 边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形,E、F 分别为边 AB,AD 的中点,当正方形 AB CD 绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的取值范 围是 A. ? ?8 2,8 2 ? B. ? ?8,8? D. ? ?4,4?

?

? ?

C. ? ?4 2, 4 2 ?

?

8.已知 x ? (0,

?
2

) ,且函数 f ( x) ?

1 ? 2sin 2 x 的最小值为 b,若函数 g ( x) ? sin 2 x

? ? ? ? 1 ( ? x ? ), ? ? 4 2 ,则不等式 g ( x) ? 1 的解集为 ? ? 2 ?8 x ? 6bx ? 4(0 ? x ? ), ? ? 4
A. ?

? 2 ?? , ? ? ? 2 2?

B. ?

? 3 ?? , ? ? ? 4 2?

C. ?
·2·

? 2 ?? , ? ? 6 6?

D. ?

? 3 ?? , ? ? 6 6?

选择题答题卡

二、填空题:本大题共 8 个小题,考生做答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在答题卡中对 应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前 2 题给分) 9.在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为: ? 2 ? 2? cos? ? 0 ,点 P 的极坐标为 (2, 圆 C 的切线,则两条切线夹角的正切值是________. 10.已知 a,b,c∈R,且 2a ? 2b ? c ? 8 ,则 (a ? 1) ? (b ? 2) ? (c ? 3) 的最小值是_______.
2 2 2

?
2

) ,过点 P 作

11.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 在半圆上,CD ? AB 于 点 D,且 AD=3DB,AE= EO,设 ?CED ? ? ,则 tan 2? ? ___________.

(二)必做题(12 至 16 题) 12.在 ( x ?
2

1 8 ) 的展开式中 x 的系数是__________.(用数字作答) x

13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为___________. 14.设区域 A ? ?(a, c) | 0 ? a ? 2,0 ? c ? 2, a, c ? R? ,若任 取点 (a, c) ? A ,则关于 x 的方程 ax ? 2 x ? c ? 0 有实
2

根的概率为____________. 15.已知函数 f ( x) ? 3 ? x ? e 的定义域为 R.
x

(l)则函数 f ( x ) 的零点个数为___________; (2)对于给定的实数 k ,已知函数 fk ( x) ?

) k, ? f ( x) , f ( x? ,若对任意 x∈R,恒有 f k ( x) ? f ( x) , ? ? k ?k , f ( x)
则 k 的最小值为__________. 16.在数 1 和 2 之间插入 n 个正数,使得这 n+2 个数构成
·3·

递增等比数列,将这 n+2 个数的乘积记为 An ,令 an ? log2 An , n ? N ? . (1)数列 ?an ? 的通项公式为 an =____________; (2) Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ? ??? ? tan a2n ? tan a2n ? 2 =___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知三角形的三内角 A、B、C 的对边为 a,b,c,且△ABC 的面积为 S= (1)若 a=l,b=2,求 c 的值. (2)若 a ? 1 ,且

3 ab cos C 2

?
4

? A?

?
3

,求 b 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 为了解某班学生关注 NBA 是否与性别有关,对本班 48 人进行了问卷调查得到如下的列联表:

已知在全班 48 人中随机抽取一人,抽到关注 NBA 的学生的概率为

2 . 3

(l)请将上面的列表补充完整(不用写计算过程) ,并判断是否有 95%的把握认为关注 NBA 与性别有 关?说明你的理由. (2)现从女生中抽取 2 人进行进一步调查,设其中关注 NBA 的人数为 X,求 X 的分布列与数学期望. 下面的临界值表仅供参考:

19.(本小题满分 12 分) 如图,△BCD 是等边三角形,AB=AD, ?BAD ? 90 ,将△BCD 沿 BD 折叠到△ BC ' D 的位置, 使得 AD ? C ' B .

·4·

(l)求证: AD ? AC ' ; (2)若 M、N 分别为 BD, C ' B 的中点,求二面角 N-AM-B 的正弦值. 20.(本小题满分 13 分) 如图所示,有一具开口向上的截面为抛物线 型模具,上口 AB 宽 2m,纵深 OC 为 1.5 m. (l)当浇铸零件时,钢水面 EF 距 AB 0.5m, 求截面图中 EF 的宽度; (2)现将此模具运往某地,考虑到运输中的 各种因素,必须把它安置于一圆台型包装箱内,求使包装箱的体 积最小时的圆台的上、下底面的半径.

1 4 V圆台 ? ? h(r12 ? r22 ? r1r2 ), r1 , r2 为上、下底面的半径,h 为高,参考数据 4 3 ? 3 3
21.(本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 的焦点是椭圆 C1 的另一个顶点. (l)求椭圆 C1 的方程; (2)①若直线 l : y ? kx ? m 同时与椭圆 C1 和曲线 C2 : x ? y ?
2 2

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的一个顶点坐标为 A( 2,0) ,且抛物线 y ? x 2 2 4 a b

4 相切,求直线 l 的方程. 3

②若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C1 交于 M, N, 且直线 OM 的斜率是 kOM 与直线 ON 的斜率 kON 满 足 kOM ? kON ? 4k (k ? 0) ,求证: m 为定值.
2

22.(本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S1 ? ?1, Sn ?1 ? 2Sn ? ?1(n ? N ? ) ,数列 ?bn ? 的通项公式为

bn ? 3n ? 4(n ? N? )
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
·5·

(2)是否存在圆心在 x 轴上的圆 C 及互不相等的正整数 n、m、k,使得三

An (bn , an ), Am (bm , am ), Ak (bk , ak ) 落在圆 C 上?请说明理由.

·6·

·7·

·8·

·9·

·10·


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