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2.1数列(1)_图文


一只青蛙,一张嘴 ,两只眼睛,四条腿; 童 两只青蛙,两张嘴 ,四只眼睛,八条腿; 谣 三只青蛙,三张嘴 ,六只眼睛,十二条腿.
青蛙
1 2 3 4


1 2 3 4

眼睛
2 4 6 8


4 8 12 16

古语
1 ?1? 1,, ? ? 2 ?2?
2

一尺之棰,日取其半,万世不竭。 ——《庄子》

?1? , ? ? ?2?

3

?1? , ? ? ? 2?

4

?1? , ? ? , ? 2?

5

国际象棋棋盘上共有8行8列,构成64个 格子,如果在第1个格子里放上1颗麦粒,在第 2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上 4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此 类推:每个格子里的麦粒数都是前一格子里 放置的麦粒数的2倍,一直放到第64个格子. 你能根据放置麦粒数的先后顺序排成一列 数吗?

古印度传说

?

1, 2, 2 , 2 ,

2

3

, 2

63

特点 ? 2.都是按照一定的顺序排列的 ; 1 , 2, 3, 4, 5, ;
1. 都是一列数 ; 我们得到如下的几列数 点特

2, 4, 6, 8,10, ; 4, 8,12,16, 20,
2 3 4 5

.

1 ?1? ?1? ?1? ?1? 1 ,, ? ? , ? ? , ? ? , ? ? , 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?

1, 2, 2 , 2 ,

2

3

, 2

63

数列的概念

1、数列定义

按照一定顺序排列的一列数叫数列。
1.相同的一组数按不同的顺序排列时,是否为同一数列?

如: 数列 10,9,8,7,6,5,4 。

数列

4,5,6,7,8,9,10。
思考?

2.一个数列的数可以重复吗?

如:数列 -1,1,-1,1,· · · 。

2、数列的项: 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的每一项都和它的序号有关, 排第一位的数称为这个数列的第1项(首项), 排第二位的数称为这个数列的第2项,· · · · · · , 排第n位的数称为这个数列的第n项.

3、数列的一般形式

a1 , a2 , a3 , … ,an , …
上面数列可简记为{an},其中an是数列的第n项

例1:判断下列各题的正误: ①2, 2, 4, 6, 8与2, 4, 2, 6, 8是同一 个数列( ) ②数列1, 0, 2, 3, 4中a2=2.( ) ③1, 2, 3,…, -1与{1, 2, 3,…, -1} 表示的含义一样.( ) ④5,5,5,5,5是一个数列( )

说明:(1)数列中的数是有序 的,如果组成两个数列中的数相 同而排列顺序不同,那么它们是 不同的数列。 (2)数列中的数可以重复出现。

4、数列的分类

1)根据数列项数的多少分:
有穷数列:项数有限的数列. 例如数列1,2,3,4,5,6.是有穷数列

无穷数列:项数无限的数列.
例如数列1,2,3,4,5,6,…是无穷 数列

2)根据数列项的大小分: 练习 P28 观察 递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一

(an?1 ? an ) 项的数列 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一

(an ? an?1 ) 项的数列 常数数列:各项相等的数列。 (an ? an?1 ) 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项的数列

5、数列与函数的关系

对于数列中的每个序号n,都有唯一的 一个数(项)an与之对应.
项数n 1 2 3 4 ……64(自变量)
…… 263

项an

1

2

22 23

(函数值)

可以认为: an ? f ( n)

数列的对应关系
x y
1 2 3 … n …

a1

a2

a3



an



从映射的观点看,数列可以看作是:序号 到数列项的映射;

从函数的观点看,数列项是序号的函数。
数列是一种特殊的函数。

我们把它看作以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数, 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,都有唯一一个函数值 与其对应。

四、数列通项公式
数列的项数n与项an之间的关系如果可 以用一个公式表示,那么这个公式叫做这 个数列的通项公式。

通项公式就是an与n之间的函数关系式

通项公式就是 an与n之间的函数关系式
如数列 如数列 2, 4, 6, …, 2n, …
1 1 1 1 1 … 1, , , , , … , , 2 3 4 5 n

an ? 2 n 1 an ? n

例2:
已知数列{an}的通项公式为an=2n-1 , 用列表法写出这个数列的前5项,并作出 图象.
解: n
an =2n-1

1
1

2
3

3
5

4
7

5
9

an
10 9 8 7 6

y=2x-1 an=2n-1

5
4 3 2O 1

1

2

3

4

5

6

7

n

数列的图象有何特点?

例3. 写出下面数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数:

1 1 1 () 1 1, , , ; 2 3 4 (2) 1, ? 1,1, ? 1;

变式: 写出下面数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数:

根据数列的前 1 1 1 (1) 1, ? ,, ? ; 若干项写出的通项公式 2 3 4 的形式唯一吗?请举例 (2) 2, 0, 2, 0;
说明。 注意:①一些数列的通项公式不是唯一的

②不是每一个数列都能写出它的通项公式

CCTV-2 中央电视台开心辞典节目 中曾经出现过这样的一道题: 观察以下几个数的特点,按 照其中的规律写出括号里的 数.

2,5,10,17,26, ( 37 ) , 50 , ...

an=n2+1

练习: 观察下面数列的特点,用适当的数填 空,并写出每个数列的一个通项公式:

(1)2,4, (8 ), 16,32, (64 ), 128

( 2)( 1 ),4,9,16,25, (36 ),49
1 ( 3) - 1, , ( 2

1 1 1 1 1 ), ,- , , ( - ) 3 4 5 6 7

(4)1, 2, ( 3 ),2, 5 , ( 6 ), 7

课堂练习
1、 根据下列数列{an}的通项 公式,说出它的前5项

n () 1 an ? ; n ?1

(2) an ? (?1) ? n
n

2、写出数列的一个通项公式,使它的 前4项分别是下列各数:

(1)1,3,5,7; an ? 2n ? 1
1 1 1 1 , , ? , . (2)? 1? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5

? ? 1? an ? n?n ? 1?
n

课堂小结
①数列的定义 ②数列的项、数列的分类

③数列的一般形式
④an与{an}表示的意义

⑤数列的通项公式的定义
⑥数列的表示法

P38 习题2.1 第2、3题


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