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安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学必修二教案:3.2.3 直线的一般式方程

长丰县实验高中 2016 ~2017 学年第一学期高二年级数学(文科) 集体备课教案

项目

内容

课题

3.2.3 直线的一般式方程 (1 课时)

修改与创新

1.掌握直线方程的一般式,了解直角坐标系中直线与关于 x 和 y 的一次方

程的对应关系,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学

态度和求简的数学精神.

教学 2.会将直线方程的特殊形式化成一般式,会将一般式化成斜截式和截距

目标 式,培养学生归纳、概括能力,渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思

想.

3.通过教学,培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性,注意学生语言

表述能力的训练.

教学 教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.

重、 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系,

难点 关键是直线方程各种形式的互化.

教学 准备

多媒体课件

导入新课

由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.

(1)斜率是 1,经过点 A(1,8);(2)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是-7,7;

教学过 (3)经过两点 P1(-1,6)、P2(2,9);(4)y 轴上的截距是 7,倾斜角是 程 45°. 由 两 个 独 立 条 件 请 学 生 写 出 直 线 方 程 的 特 殊 形 式 分 别 为 y-8=x-1 、
x ? y =1、 y ? 6 ? x ?1 、y=x+7,教师利用计算机动态显示,发现上 ?7 7 9?6 2?1
述 4 条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成:

x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式,这就是我们今天要讲的新

课——直线方程的一般式.

提出问题

①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于 x,y 的二元一次方程?

②关于 x,y 的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0(其中 A、B 不同时为零)是

否都表示一条直线?

③我们学习了直线方程的一般式,它与另四种形式关系怎样,是否可互相

转化?

④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互

化?

⑤我们学习了直线方程的一般式 Ax+By+C=0,系数 A、B、C 有什么几何意

义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?

讨论结果:①分析:在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 α .

1°当 α ≠90°时,它们都有斜率,且均与 y 轴相交,方程可用斜截式表

示:y=kx+b.

2°当 α =90°时,它的方程可以写成 x=x1 的形式,由于在坐标平面上讨论

问题,所以这个方程应认为是关于 x、y 的二元一次方程,其中 y 的系数

是零.

结论 1°:直线的方程都可以写成关于 x、y 的一次方程.

②分析:a 当 B≠0 时,方程可化为 y=- A x- C ,这就是直线的斜截式方 BB

程,它表示斜率为- A ,在 y 轴上的截距为- C 的直线.b 当 B=0 时,由于

B

B

A、B 不同时为零必有 A≠0,方程化为 x=- C ,表示一条与 y 轴平行或重 A

合的直线.

结论 2°:关于 x,y 的一次方程都表示一条直线.

综上得:这样我们就建立了直线与关于 x,y 的二元一次方程之间的对应关

系.我们把 Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0)叫做直线方程的一般式.

注意:一般地,需将所求的直线方程化为一般式.

在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式(初中时学过的一次函数)把

新旧知识联系起来.

③引导学生自己找到答案,最后得出能进行互化.

④待学生通过练习后师生小结:特殊形式必能化成一般式;一般式不一定 可以化为其他形式(如特殊位置的直线),由于取点的任意性,一般式化 成点斜式、两点式的形式各异,故一般式化斜截式和截距式较常见;特殊 形式的互化常以一般式为桥梁,但点斜式、两点式、截距式均能直接化成 一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形(如图 1).

图1

⑤列表说明如下:

形式

方程

局限

各常数的几何意义

点斜式

y-y1=k(x-x1)

除 x=x0 外

(x1,y1)是直线上一 个定点,k 是斜率

斜截式

y=kx+b

除 x=x0 外

k 是斜率,b 是 y 轴 上的截距

两点式

y ? y1 ? x ? x1 y2 ? y1 x2 ? x1

除 x=x0 和 y=y0 (x1,y1)、(x2,y2)是



直线上两个定点

截距式 一般式

x ? y =1 ab
Ax+By+C=0

除 x=x0、y=y0 及 y=kx 外


a 是 x 轴上的非零
截距,b 是 y 轴上的
非零截距
当 B≠0 时,- A 是 B
斜率,- C 是 y 轴上 B
的截距

应用示例
例 1 已知直线经过点 A(6,-4),斜率为- 4 ,求直线的点斜式和一般 3
式方程.

解 : 经 过 点 A(6,-4) 且 斜 率 为 - 4 的 直 线 方 程 的 点 斜 式 方 程 为 3
y+4=- 4 (x-6). 3
化成一般式,得 4x+3y-12=0. 变式训练 1.已知直线 Ax+By+C=0, (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线? (2)系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? (3)系数满足什么条件时,只与 x 轴相交? (4)系数满足什么条件时,是 x 轴? (5)设 P(x0,y0)为直线 Ax+By+C=0 上一点, 证明这条直线的方程可以写成 A(x-x0)+B(y-y0)=0. 答案:(1)C=0; (2)A≠0 且 B≠0; (3)B=0 且 C≠0; (4)A=C=0 且 B≠0; (5)证明:∵P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上, ∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0. ∴A(x-x0)+B(y-y0)=0. 2.(2007 上海高考,理 2)若直线 l1:2x+my+1=0 与 l2:y=3x-1 平行,则 m=____________.
答案:- 2 3
例 2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距,并画出图形. 解:由方程一般式 x-2y+6=0,①
移项,去系数得斜截式 y= x +3. ② 2
由②知 l 在 y 轴上的截距是 3,又在方程①或②中,令 y=0,可得 x=-6. 即直线在 x 轴上的截距是-6. 因为两点确定一条直线,所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即

在 x 轴,y 轴上的截距点),过这两点作出直线 l(图 2).

图2 点评:要根据题目条件,掌握直线方程间的 “互化”. 变式训练
直线 l 过点 P(-6,3),且它在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距的 3 倍,求直线 l 的方程. 答案:x+3y-3=0 或 x+2y=0. 知能训练 课本本节练习 1、2、3. 拓展提升 求证:不论 m 取何实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0 恒过一个定 点,并求出此定点的坐标. 解:将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0, 它表示过两直线 x+3y-11=0 与 2x-y-1=0 的交点的直线系.

解方程组

?x ??2

?3 x?

y y

?11 ? 0, ?1 ? 0,

,得

?x

? ?

y

? ?

2, 3

.

∴直线恒过(2,3)点.

课堂小结

通过本节学习,要求大家:

(1)掌握直线方程的一般式,了解直角坐标系中直线与关于 x 和 y 的一

次方程的对应关系;

(2)会将直线方程的特殊形式化成一般式,会将一般式化成斜截式和截

距式;

(3)通过学习,培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性,注意语言表

述能力的训练.

作业 习题 3.2 A 组 11.
板书设 计
教学反 思


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