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万源市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

万源市高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 把“二进制”数 101101(2)化为“八进制”数是( A.40(8) B.45(8) C.50(8) D.55(8) ,则椭圆和双曲线的离 )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,M 是它们的一个公共点,且∠F1MF2= 心率的倒数之和的最大值为( A.2 B. C. D.4 )

    3. 已知 f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若 f(2016)=k,则 f(﹣2016)=( A.k B.﹣k C.1﹣k D.2﹣k 4. 已知在数轴上 0 和 3 之间任取一实数,则使“ log 2 x ? 1 ”的概率为( A.

) ) D. ) D. x ? y ? 2 ? 0

1 4
2 2

B.

1 8

C.

2 3

1 12

5. 已知圆 C 方程为 x ? y ? 2 ,过点 P ( ?1,1) 与圆 C 相切的直线方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

6. 将函数 f ( x) ? sin ?x (其中 ? ? 0 )的图象向右平移

?
4

个单位长度,所得的图象经过点

3? ,0) ,则 ? 的最小值是( 4 1 A. 3 (

) B. C.

5 3

D.
2x ? 1 ? 0 的解集为( f ? x? ? f ??x?

7. 奇函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 0 ,且 f ? x ? 在 ? 0 ,? ? ? 上是单调递减,则
1? A. ? ?1 ,



B. ? ?? ,? 1? ? ?1 ,? ? ? D. ?1 ,? ? ? ) D.±96 , )

C. ? ?? ,? 1? A.48 B.±48 C.96

8. 在等比数列{an}中,已知 a1=3,公比 q=2,则 a2 和 a8 的等比中项为(

9. 记集合 T={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},M= 将 M 中的元素按从大到小排列,则第 2013 个数是( A. B.

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C. 10.在空间中,下列命题正确的是( )

D.

A.如果直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,那么 m∥n B.如果平面 α 内的两条直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β C.如果平面 α 外的一条直线 m 垂直于平面 α 内的两条相交直线,那么 m⊥α D.如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么必有 m⊥β 11.定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函数 f(x)=(1⊕x)x﹣(2⊕x),x∈[﹣2,2] 的最大值等于( A.﹣1 B.1 ) C.6 D.12 )

  12.如图,设全集 U=R,M={x|x>2},N={0,1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是(

A.{3} B.{0,1}  

C.{0,1,2}

D.{0,1,2,3}

二、填空题
13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y= 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥, 圆锥的体积 V 圆锥= π( )2dx= x3| = .

据此类推:将曲线 y=x2 与直线 y=4 所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积 V=      .

    14.若函数 f(x)= ,则 f(7)+f(log36)=  .

15.利用计算机产生 1 到 6 之间取整数值的随机数 a 和 b,在 a+b 为偶数的条件下,|a﹣b|>2 发生的概率是     .  

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16.【南通中学 2018 届高三 10 月月考】定义在

上的函数

满足





的导函数,且



恒成立,则

的取值范围是__________________.
2 2

17.已知 a, b 为常数,若 f ? x ? ? x ? 4 x +3,f ? ax ? b ? ? x ? 10 x ? 24 ,则 5a ? b ? _________. 18.在复平面内,记复数 的复数为      . +i 对应的向量为 ,若向量 饶坐标原点逆时针旋转 60°得到向量 所对应

三、解答题
19. (本小题满分 12 分) 已知 F1 , F2 分别是椭圆 C : 一点,且 2 | PF1 |,| F1 F2 |, 2 | PF2 | 成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程;、 (2) 已知动直线 l 过点 F , 且与椭圆 C 交于 A、B 两点, 试问 x 轴上是否存在定点 Q , 使得 QA ? QB ? ? 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

2 x2 y 2 ) 是椭圆上 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P(1, 2 2 a b

??? ? ??? ?

7 16

20.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4。

(1)求{an}的通项公式;

(2)设 bn=

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

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21.(本小题满分 12 分)某旅行社组织了 100 人旅游散团,其年龄均在 [10, 60] 岁间,旅游途中导游发现该 旅游散团人人都会使用微信,所有团员的年龄结构按 [10, 20),[20,30),[30, 40),[40,50),[50, 60] 分成 5 组,分 别记为 A, B, C , D, E ,其频率分布直方图如下图所示.

(Ⅰ)根据频率分布直方图,估计该旅游散团团员的平均年龄; (Ⅱ)该团导游首先在 C , D, E 三组中用分层抽样的方法抽取了 6 名团员负责全团协调,然后从这 6 名团员中 随机选出 2 名团员为主要协调负责人,求选出的 2 名团员均来自 C 组的概率.

22.解不等式|2x﹣1|<|x|+1.  

23.设函数 f(x)= x2ex.

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(1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[﹣2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

24.已知数列 a1,a2,…a30,其中 a1,a2,…a10,是首项为 1,公差为 1 的等差数列;列 a10,a11,…a20,是公 差为 d 的等差数列;a20,a21,…a30,是公差为 d2 的等差数列(d≠0). (1)若 a20=40,求 d; (2)试写出 a30 关于 d 的关系式,并求 a30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a30,a31,…a40,是公差为 d3 的等差数列,…,依此类推,把已知数列推广为无穷数 列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?  

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万源市高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:∵101101(2)=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45(10). 再利用“除 8 取余法”可得:45(10)=55(8). 故答案选 D.

  2. 【答案】 C 【解析】解:设椭圆的长半轴为 a,双曲线的实半轴为 a1,(a>a1),半焦距为 c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|MF1|=r1,|MF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2 ∵∠F1MF2= , ,①

∴由余弦定理可得 4c2=(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos 在椭圆中,①化简为即 4c2=4a2﹣3r1r2, 即 = ﹣1,②

在双曲线中,①化简为即 4c2=4a12+r1r2, 即 =1﹣ ,③ + =4, + )≥(1× + × )2,

联立②③得,

由柯西不等式得(1+ )( 即( 即 + + ≤ )2≤ ×4= , ,e2= ,

当且仅当 e1=

时取等号.即取得最大值且为



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故选 C. 【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键.难度较大 .   3. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),f(2016)=k, ∴f(2016)=20163a+2016b+1=k, ∴20163a+2016b=k﹣1, ∴f(﹣2016)=﹣20163a﹣2016b+1=﹣(k﹣1)+1=2﹣k. 故选:D. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.   4. 【答案】C 【解析】 试题分析:由 log 2 x ? 1 得 0 ? x ? 2 ,由几何概型可得所求概率为 考点:几何概型. 5. 【答案】A 【解析】 试题分析:圆心 C (0, 0), r ?

2?0 2 ? .故本题答案选 C. 3?0 3

2 ,设切线斜率为,则切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1),? kx ? y ? k ? 1 ? 0 ,由

d ? r ,?

k ?1 k 2 ?1

? 2,? k ? 1 ,所以切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,故选 A.

考点:直线与圆的位置关系. 6. 【答案】D

点:由 y ? A sin ??x ? ? ? 的部分图象确定其解析式;函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象变换. 7. 【答案】B 【解析】



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试题分析 : 由

2x ? 1 2x ? 1 ?0? ? ? 2 x ? 1? f ? x ? ? 0 ,即整式 2 x ? 1 的值与函数 f ? x ? 的值符号相反,当 f ? x? ? f ??x? 2 f ? x?

x ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 ,结合图象即得 ? ?? ,? 1? ? ?1 ,? ? ? .
考点:1、函数的单调性;2、函数的奇偶性;3、不等式. 8. 【答案】B 【解析】解:∵在等比数列{an}中,a1=3,公比 q=2, ∴a2=3×2=6, =384, ∴a2 和 a8 的等比中项为 故选:B.   9. 【答案】  A 【解析】 进行简单的合情推理. 【专题】规律型;探究型. 【分析】将 M 中的元素按从大到小排列,求第 2013 个数所对应的 ai,首先要搞清楚,M 集合中元素的特征, 同样要分析求第 2011 个数所对应的十进制数,并根据十进制转换为八进行的方法,将它转换为八进制数,即 得答案. 【解答】因为 = (a1×103+a2×102+a3×10+a4), =±48.

括号内表示的 10 进制数,其最大值为 9999; 从大到小排列,第 2013 个数为 9999﹣2013+1=7987 所以 a1=7,a2=9,a3=8,a4=7 则第 2013 个数是 故选 A. 【点评】对十进制的排序,关键是要找到对应的数是几,如果从大到小排序,要找到最大数(即第一个数), 再找出第 n 个数对应的十进制的数即可. 10.【答案】 C 【解析】解:对于 A,直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,则 m 与 n 可能平行,可能异面,故不正确; 对于 B,如果平面 α 内的两条相交直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β,故不正确; 对于 C,根据线面垂直的判定定理可得正确;

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对于 D,如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么可能 m⊥β,也可能 m 和 β 斜交,; 故选:C. 【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用,考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的 位置关系,同时考查了推理能力,属于中档题.   11.【答案】C 【解析】解:由题意知 当﹣2≤x≤1 时,f(x)=x﹣2,当 1<x≤2 时,f(x)=x3﹣2, 又∵f(x)=x﹣2,f(x)=x3﹣2 在定义域上都为增函数,∴f(x)的最大值为 f(2)=23﹣2=6. 故选 C.   12.【答案】C 【解析】解:由图可知图中阴影部分所表示的集合?M∩N, ∵全集 U=R,M={x|x>2},N={0,1,2,3}, ∴?M={x|x≤2}, ∴?M∩N={0,1,2}, 故选:C 【点评】本题主要考查集合的基本运算,根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键.  

二、填空题
13.【答案】 8π .

【解析】解:由题意旋转体的体积 V= 故答案为:8π.

=

=8π,

【点评】本题给出曲线 y=x2 与直线 y=4 所围成的平面图形,求该图形绕 xy 轴转一周得到旋转体的体积.着重 考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识,属于基础题.   14.【答案】 5 .

【解析】解:∵f(x)= ∴f(7)=log39=2, f(log36)= +1= ,



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∴f(7)+f(log36)=2+3=5. 故答案为:5.   15.【答案】   .

【解析】解:由题意得,利用计算机产生 1 到 6 之间取整数值的随机数 a 和 b,基本事件的总个数是 6×6=36, 即(a,b)的情况有 36 种, 事件“a+b 为偶数”包含基本事件: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6), (3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6) (5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)共 18 个, “在 a+b 为偶数的条件下,|a﹣b|>2”包含基本事件: (1,5),(2,6),(5,1),(6,2)共 4 个, 故在 a+b 为偶数的条件下,|a﹣b|>2 发生的概率是 P= =

故答案为: 【点评】本题主要考查概率的计算,以条件概率为载体,考查条件概率的计算,解题的关键是判断概率的类型 ,从而利用相应公式,分别求出对应的测度是解决本题的关键.   16.【答案】

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【解析】



睛 : 函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上 看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起 到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这 是非常必要的。根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧。许多问 题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效。 17.【答案】 【解析】 试题分析:由 f ? x ? ? x ? 4 x +3,f ? ax ? b ? ? x ? 10 x ? 24 ,得 ( ax ? b) ? 4( ax ? b) ? 3 ? x ? 10 x ? 24 ,
2 2

2

2

?a 2 ? 1 ? 2 2 2 2 即 a x ? 2abx ? b ? 4ax ? 4b ? 3 ? x ? 10 x ? 24 ,比较系数得 ? 2ab ? 4a ? 10 ,解得 a ? ?1, b ? ?7 或 ?b 2 ? 4b ? 3 ? 24 ? a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ? .
考点:函数的性质及其应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用,其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算,求解解析式 中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及 推理与运算能力,试题有一定难度,属于中档试题,本题的解答中化简 f ( ax ? b) 的解析式是解答的关键. 18.【答案】 2i .

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【解析】解:向量 (

饶坐标原点逆时针旋转 60°得到向量所对应的复数为 +i)( )=2i

+i)(cos60°+isin60°)=(

,故答案为 2i. 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义,判断旋转 60°得到向量对应的复数为( cos60°+isin60°),是解题的关键.   +i)(

三、解答题
19.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识,意 在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力,以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用.

下面证明 m ?

??? ? ??? ? 5 7 时, QA ? QB ? ? 恒成立. 4 16

当直线 l 的斜率为 0 时,结论成立;

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当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ? 1 ? 0 , 2 2t 1 , y1 y2 ? ? 2 所以 ? ? 0 ,∴ y1 ? y2 ? ? 2 . t ?2 t ?2 ? x1 ? ty1 ? 1 , x2 ? ty2 ? 1 , 5 5 1 1 1 1 2 ∴ ( x1 ? , y1 ) ? ( x2 ? , y2 ) ? (ty1 ? )(ty2 ? ) ? y1 y2 = (t ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? = 4 4 4 4 4 16 1 1 2t 1 ?2t 2 ? 2 ? t 2 1 7 2 ?(t ? 1) 2 ? t? 2 ? ? ? ?? . 2 t ? 2 4 t ? 2 16 2(t ? 2) 16 16 ??? ? ??? ? 5 7 综上所述,在 x 轴上存在点 Q ( , 0) 使得 QA ? QB ? ? 恒成立. 4 16
由 x ? ty ? 1 及 20.【答案】 【解析】(1)由 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4 得 a4≥0,a5≤0,即 10+3d≥0,10+4d≤0,解得﹣ ∴d=﹣3, ∴{an}的通项公式为 an=13﹣3n。 (2)∵bn== , ≤d≤﹣ ,

∴Tn=b1+b2+…+bn=





+



+…+



)=





)=

。 21.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识,意在考查审读能 力、识图能力、获取数据信息的能力.

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22.【答案】 【解析】解:根据题意,对 x 分 3 种情况讨论: ①当 x<0 时,原不等式可化为﹣2x+1<﹣x+1, 解得 x>0,又 x<0,则 x 不存在, 此时,不等式的解集为?. ②当 解得 x>0,又 此时其解集为{x| ③当 又由 时,原不等式可化为﹣2x+1<x+1, , }. ,

时,原不等式可化为 2x﹣1<x+1,解得 , }, }∪{x| }={x|0<x<2};

此时其解集为{x| ?∪{x|

综上,原不等式的解集为{x|0<x<2}. 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,涉及分类讨论的数学思想,关键是用分段讨论法去掉绝对值,化为与 之等价的不等式来解.  

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23.【答案】 【解析】解:(1) 令 ∴f(x)的单增区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞); 单减区间为(﹣2,0).… (2)令 ∴x=0 和 x=﹣2,… ∴ ∴f(x)∈[0,2e2]… ∴m<0…   24.【答案】 【解析】解:(1)a10=1+9=10.a20=10+10d=40,∴d=3. (2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0), a30=10 , …

当 d∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈[7.5,+∞) (3)所给数列可推广为无穷数列{an], 其中 a1,a2,…,a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 当 n≥1 时,数列 a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差为 dn 的等差数列. 研究的问题可以是:试写出 a10(n+1)关于 d 的关系式,并求 a10(n+1)的取值范围. 研究的结论可以是:由 a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3), 依此类推可得 a10(n+1)=10(1+d+…+dn)= 当 d>0 时,a10(n+1)的取值范围为(10,+∞)等. 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题,会根据特例总结归纳出一般性的规律,是一道 中档题.   .

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