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湛河区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

湛河区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为 ( A. ) B. C. D.

姓名__________

分数__________

2. 已知 f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且 f(x)>xf′(x)恒成立,则不等式 x2f( )﹣f(x) >0 的解集为( ) D.(2,+∞) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) 3. 设 sin( A.﹣ +θ)= ,则 sin2θ=( B.﹣ ) C. D. ) D.向下平移 1 个单位

4. (文科)要得到 g ? x ? ? log2 2x 的图象,只需将函数 f ? x ? ? log2 x 的图象( A.向左平移 1 个单位 B.向右平移 1 个单位 C.向上平移 1 个单位

5. 高考临近,学校为丰富学生生活,缓解高考压力,特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛.由 于爱好者众多,高三学生队队员指定由 5 班的 6 人、16 班的 8 人、33 班的 10 人按分层抽样构成一个 12 人的 篮球队.首发要求每个班至少 1 人,至多 2 人,则首发方案数为( A.720 B.270 C.390 D.300 6. 实数 x,y 满足不等式组 ,则下列点中不能使 u=2x+y 取得最大值的是( ) )

A.(1,1) B.(0,3) C.( ,2) D.( ,0) 7. 设 f(x)=ex+x﹣4,则函数 f(x)的零点所在区间为( A.(﹣1,0) A.为直角三角形 C.为钝角三角形 B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) ) B.为锐角三角形 D.前三种形状都有可能 )

8. 已知直线 mx﹣y+1=0 交抛物线 y=x2 于 A、B 两点,则△ AOB(

9. 设有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是(



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A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 α⊥β,m?α,则 m⊥β A. ?x |1 ? x ? 2?

B.若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α )

10.设集合 A ? ?x ? R || x |? 2? , B ? ?x ? Z | x ?1 ? 0? ,则 A ? B ? ( B. ?x | ? 2 ? x ? 1 ? C.

??2, ?1,1, 2?

D. ?1, 2?

【命题意图】本题考查集合的概念,集合的运算等基础知识,属送分题. 11.已知数列 ?an ? 是各项为正数的等比数列,点 M (2,log2 a2 ) 、 N (5,log2 a5 ) 都在直线 y ? x ? 1 上,则数列

?an ? 的前 n 项和为(
A. 2 ? 2
n


n ?1

B. 2

?2

C. 2 ? 1
n

D. 2

n ?1

?1


12.某大学数学系共有本科生 1000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4:3:2:1,要用分层抽样的方 法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本,则应抽取三年级的学生人数为( A.80 B.40 C.60 D.20

二、填空题
13.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是____. 14.用“<”或“>”号填空:30.8 30.7.

15.(文科)与直线 x ? 3 y ?1 ? 0 垂直的直线的倾斜角为___________. 16.已知复数
50 100 ,则 1+z +z =

. (填点的坐标)

17.函数 y=ax+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点

18.用 1,2,3,4,5 组成不含重复数字的五位数,要求数字 4 不出现在首位和末位,数字 1,3,5 中有且 仅有两个数字相邻,则满足条件的不同五位数的个数是 大. .(注:结果请用数字作答) 【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用,同时也渗透了分类讨论的思想,本题综合性强,难度较

三、解答题
19.如图所示,在边长为 的正方形 ABCD 中,以 A 为圆心画一个扇形,以 O 为圆心画一个圆,M,N, K 为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆 O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积.

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20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,且 2Sn=an+1+2n. (1)求 a2; (2)求数列{an}的通项公式 an; (3)令 bn=(2n﹣1)(an﹣1),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

21.【镇江 2018 届高三 10 月月考文科】已知函数 (1)当 (2)当 (3)当 时,求函数 时,如果函数 的单调区间; ; 时,解关于 的不等式

,其中实数 为常数, 为自然对数的底数.

不存在极值点,求 的取值范围.

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22.已知函数 f(x)=|x﹣10|+|x﹣20|,且满足 f(x)<10a+10(a∈R)的解集不是空集. (Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A
a b b a (Ⅱ)若 b∈A,a≠b,求证 a b >a b .

23.在直角坐标系 xOy 中,过点 P(2,﹣1)的直线 l 的倾斜角为 45°.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极
2 坐标建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=4cosθ,直线 l 和曲线 C 的交点为 A,B.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求|PA|?|PB|.

24.△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边之长依次为 a,b,c,且 cosA= (Ⅰ)求 cos2C 和角 B 的值; (Ⅱ)若 a﹣c= ﹣1,求△ ABC 的面积.

2 2 2 ,5(a +b ﹣c )=3

ab.

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湛河区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:如图所示,△BCD 是圆内接等边三角形, 过直径 BE 上任一点作垂直于直径的弦,设大圆的半径为 2,则等边三角形 BCD 的内切圆的半径为 1, 显然当弦为 CD 时就是△BCD 的边长, 要使弦长大于 CD 的长,就必须使圆心 O 到弦的距离小于|OF|, 记事件 A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}, 由几何概型概率公式得 P(A)= ,

即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是 . 故选 C.

【点评】本题考查了几何概型的运用;关键是找到事件 A 对应的集合,利用几何概型公式解答. 2. 【答案】C 【解析】解:令 F(x)= 则 F′(x)= ,(x>0), ,

∵f(x)>xf′(x),∴F′(x)<0, ∴F(x)为定义域上的减函数,
2 由不等式 x f( )﹣f(x)>0,

得:





∴ <x,∴x>1,

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故选:C. 3. 【答案】A 【解析】解:由 sin( +θ)=sin cosθ+cos sinθ= (sinθ+cosθ)= ,

两边平方得:1+2sinθcosθ= ,即 2sinθcosθ=﹣ , 则 sin2θ=2sinθcosθ=﹣ . 故选 A 【点评】 此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、 两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 简求值,是一道基础题. 4. 【答案】C 【解析】 试题分析: g ? x ? ? log2 2x ? log2 2 ? log2 x ? 1? log2 x ,故向上平移个单位. 考点:图象平移. 5. 【答案】C 解析:高三学生队队员指定由 5 班的 6 人、16 班的 8 人、33 班的 10 人按分层抽样构成一个 12 人的篮球队. 各个班的人数有 5 班的 3 人、16 班的 4 人、33 班的 5 人, 首发共有 1、2、2;2、1、2;2、2、1 类型; 所求方案有: 故选:C. 6. 【答案】 D 【解析】解:由题意作出其平面区域, 将 u=2x+y 化为 y=﹣2x+u,u 相当于直线 y=﹣2x+u 的纵截距, 故由图象可知, 使 u=2x+y 取得最大值的点在直线 y=3﹣2x 上且在阴影区域内, 故(1,1),(0,3),( 而点( ,2)成立, + + =390.

,0)在直线 y=3﹣2x 上但不在阴影区域内,

故不成立; 故选 D.

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【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,注意点在阴影区域内;属于中档题. 7. 【答案】C
x 【解析】解:f(x)=e +x﹣4,

f(﹣1)=e﹣1﹣1﹣4<0, f(0)=e0+0﹣4<0, f(1)=e1+1﹣4<0, f(2)=e2+2﹣4>0,

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f(3)=e3+3﹣4>0, ∵f(1)?f(2)<0, ∴由零点判定定理可知,函数的零点在(1,2). 故选:C. 8. 【答案】A 【解析】解:设 A(x1,x1 ),B(x2,x2 ), 将直线与抛物线方程联立得
2 消去 y 得:x ﹣mx﹣1=0, 2 2



根据韦达定理得:x1x2=﹣1, 由 得到 则 ⊥ =(x1,x12), , =(x2,x22), =x1x2+(x1x2)2=﹣1+1=0,

∴△AOB 为直角三角形. 故选 A 【点评】此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有韦达定理,平面向量的数量积运算,以及两向量垂直时 满足的条件,曲线与直线的交点问题,常常联立曲线与直线的方程,消去一个变量得到关于另外一个变量的一 元二次方程,利用韦达定理来解决问题,本题证明垂直的方法为:根据平面向量的数量积为 0,两向量互相垂 直. 9. 【答案】D 【解析】解:A 不对,由面面平行的判定定理知,m 与 n 可能相交,也可能是异面直线;B 不对,由面面平行 的判定定理知少相交条件; C 不对,由面面垂直的性质定理知,m 必须垂直交线; 故选:D. 10.【答案】D 【解析】由绝对值的定义及 | x |? 2 ,得 ? 2 ? x ? 2 ,则 A ? ?x | ? 2 ? x ? 2? ,所以 A ? B ? ?1,2? ,故选 D. 11.【答案】C 【解析】解析:本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式. log 2 a2 ? 1 , log 2 a5 ? 4 ,∴ a2 ? 2 , a5 ? 16 , ∴ a1 ? 1 , q ? 2 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 2 ? 1 ,选 C.
n

12.【答案】B 【解析】解:∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本,

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∴三年级要抽取的学生是 故选:B.

×200=40,

【点评】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例,本题也可以先做出三年级学 生数和每个个体被抽到的概率,得到结果.

二、填空题
13.【答案】 27 【解析】由程序框图可知:

S

0 1

1 2

6 3

27 4

n

4 ? 3 符合,跳出循环.
14.【答案】 >

【解析】解:∵y=3 是增函数, 又 0.8>0.7,
0.8 0.7 ∴3 >3 .

x

故答案为:> 【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用,是基础题. 15.【答案】 【解析】 试题分析:依题意可知所求直线的斜率为 3 ,故倾斜角为 考点:直线方程与倾斜角. 16.【答案】 i . 【解析】解:复数 ,

? 3
? . 3

2 2 50 100 25 50 所以 z =i,又 i =﹣1,所以 1+z +z =1+i +i =1+i﹣1=i;

故答案为:i.
2 【点评】本题考查了虚数单位 i 的性质运用;注意 i =﹣1.

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17.【答案】 (0,2)

0 【解析】解:令 x=0,得 y=a +1=2 x ∴函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点 (0,2)

故答案为:(0,2). 【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点,解题的关键是熟练掌握指数函数的性质,确定指数为 0 时,求 函数的图象必过的定点 18.【答案】48 【 解 析 】

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,高为 h, 由已知条件 解得 ,
2

, , ,

∴S=πrl+πr =10π, ∴ 20.【答案】 【解析】解:(1)当 n=1 时,2S1=2a1=a2+2, ∴a2=4…1; (2)当 n≥2 时,2an=2sn﹣2sn﹣1=an+1+2n﹣an﹣2(n﹣1)=an+1﹣an+2, ∴an+1=3an﹣2,
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∴an+1﹣1=3(an﹣1)…4, ∴ ,

∴{an﹣1}从第二项起是公比为 3 的等比数列…5, ∵ ∴ ∴ (3)∴ ∴ ∴ ①﹣②得: = =(2﹣2n)×3n﹣4,…11 ∴ 力,属于中档题. 21.【答案】(1)单调递增区间为 【解析】试题分析:把 ;单调递减区间为 , , 函数 .(2) (3) ,所以函数化为 ,分 不存在极值点, 只需 和 , 两种情 …12 【点评】本题考查等比数列的通项公式,数列的递推公式,考查“错位相减法”求数列的前 n 项和,考查计算能 , , , ; …8 ①…9 ② ,

代入由于对数的真数为正数,函数定义域为

求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间;代入 况解不等式; 当 试题解析: 时, , 求导

恒成立,根据这个要求得出 的范围.

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(2) 当 记 当 所以 当

时, 时,原不等式可化为

. . ,则 ,

时, 在

, 单调递增,又 . ,故不等式解为 ,显然不成立, ;

时,原不等式可化为

综上,原不等式的解集为

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22.【答案】 【解析】解(1)要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|<10a+10 的解集不是空集, 则(|x﹣10|+|x﹣20|)min<10a+10, 根据绝对值三角不等式得:|x﹣10|+|x﹣20|≥|(x﹣10)﹣(x﹣20)|=10, 即(|x﹣10|+|x﹣20|)min=10, 所以,10<10a+10,解得 a>0, 所以,实数 a 的取值集合为 A=(0,+∞); (2)∵a,b∈(0,+∞)且 a≠b, ∴不妨设 a>b>0,则 a﹣b>0 且 >1,

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>1 恒成立,即

>1,

a b a b 所以,a ﹣ >b ﹣ , b b 将该不等式两边同时乘以 a b 得,

aabb>abba,即证. 【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明,涉及指数函数的性质,属于中档题. 23.【答案】
2 2 2 【解析】(1)∵ρsin θ=4cosθ,∴ρ sin θ=4ρcosθ,…

∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,
2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x …

(2)∵直线 l 过点 P(2,﹣1),且倾斜角为 45°.∴l 的参数方程为 代入 y2=4x 得 t2﹣6 t﹣14=0…

(t 为参数).…

设点 A,B 对应的参数分别 t1,t2 ∴t1t2=﹣14… ∴|PA|?|PB|=14.…

24.【答案】 【解析】解:(I)由∵cosA= ∴sinA=
2 2 2 ∵5(a +b ﹣c )=3

,0<A<π,

=

, ab,

∴cosC= ∵0<C<π, ∴sinC=

=



=



2 ∴cos2C=2cos C﹣1= ,

∴cosB=﹣cos(A+C)=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣ ∵0<B<π,

×

+

×

=﹣

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∴B= (II)∵ ∴a= ∵a﹣c= ∴a=

. = = c, ,

﹣1,

,c=1, ×1× = .

∴S= acsinB= ×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,两角和与差的正弦公式等知识.考查学生对基础知 识的综合运用.

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