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cmh选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》针对性训练(三)

高二数学《圆锥曲线与方程》针对性训练(三)
编写人:谭铁恒 审核人:陈茂慧 使用时间:2011 年 3 月 10 日 班级 姓名 学号 一、选择题 1.抛物线 y ? ?2 x 的焦点坐标是(
2

) D. ? 0, ? ) D. (?60 , ? 12)

1? ? 1 ? ? B. ? 0,1? C. ? 0, ? ? ,0? 8? ? 2 ? ? 2 2 x y 2.若双曲线 ? ? 1 的离心率 e ? (1, 2) ,则 k 的取值范围是( 4 k A. (?? , 0) B. (?3 , 0) C. (?12, 0)
A. ? ? 3. 过双曲线 周长为( A. 28

? ?

1? ? 4?

x2 y 2 那么△ F1 PQ 的 ? ? 1 的右焦点 F2 有一条弦 PQ , PQ ? 6 , F1 是左焦点, 16 9
) B. 22 C. 14 D. 12

4.设 x1 , x2 ? R ,常数 a ? 0 ,定义运算 "? " 为: x1 ? x2 ? 4 x1 x2 ,等号右边是通常的乘法 运算,如果在平面直角坐标系中,动点 P 的坐标 ? x, y ? 满足关系式: 动点 P 的轨迹方程为( A. y ?
2

y y ? ? a ? x ,则 2 2



1 2 2 2 B. y ? ax C. y ? 2ax D. y ? 4ax ax 2 2 x y2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1? m, n, p ? 0, m ? p ? 有公共的焦点 F1 , F2 ,其交 5.若椭圆 m p n p 点为 P ,则△ PF1 F2 的面积是( ) m?n p A. m ? n B. C. p D. 2 2 2 2 x y 6. P 为双曲线 ? ? 1 右支上的一点, M , N 分别是圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 9 16 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大值为( )
A. 6 二、填空题 B. 7 C. 8 D. 9

7. 若双曲线的一个焦点为(2,0), 渐近线方程为 y ? ? 3x , 则此双曲线的标准方程为



8. 已知直线 l 的斜率为 2 , 且直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F , 与 y 轴交于点 A . 若

?O A F (其中 O 为坐标原点)的面积为 4,则该抛物线方程为
9 . 已 知 F1 , F2 为 椭 圆



x2 y2 ? ? 1 的 左 右 焦 点 , 过 F1 的 直 线 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 若 25 9


F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =

1

10.方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C,有下列命题: 4?t t ?2 ①若曲线 C 为椭圆,则 2 ? t ? 4 ;②若曲线 C 为双曲线,则 t ? 4 或 t ? 2 ;
③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t ? 4 .

以上命题正确的是 . (填上所有正确命题的序号) 三、解答题(说明:第 11、12 为必做题,第 13、14、15 为选做题) 11.已知点 P(4, 4) ,圆 C : ( x ? m)2 ? y 2 ? 5(m ? 3) 与椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有 a 2 b2 一个公共点 A(3,1) , F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切.

(1)求直线 PF1 的方程; (2)求椭圆 E 的方程; (3)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求证:以 QF1 为直径的圆与圆 x 2 ? y 2 ? 18 相切.

12 . 在 平 面 直角 坐 标 系中 , 抛 物 线 y ? x 上 异 于 坐 标原 点 O 的 两 不 同动 点 A, B 满 足
2

. AO ? OB(如图所示) (1)求 ?AOB 的重心 G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (2)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

2

13.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(?1,1) 关于原点 O 对称, P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设直线 AP 与 BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M , N , 是否存在点 P 使得 ?PAB 与 ?PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

1 . 3

14.已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( ? 2, 0) , ( 2, 0) ,离心率是 椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 P . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (3)设 Q( x, y ) 是圆 P 上的动点,当变化 t 时,求 y 的最大值.

6 ,直线 y ? t 与 3

3

15.已知抛物线 C1 的顶点在原点,其准线过双曲线 C 2 : 物线 C1 与双曲线 C 2 相交于点 A( , 6 ), B( ,? 6 ) . (1)求抛物线 C1 与双曲线 C 2 的方程;

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点,又若抛 a2 b2

3 2

3 2

(2)过点 P(0,4) 的直线 l 与双曲线 C 2 的左支交于不同的两点,求直线 l 的斜率 k 的取值 范围; (3)若(2)中的直线 l 交双曲线 C 2 于 A, B 两点,交 x 轴于 Q 点( Q 点与 C 2 的顶点不重 合) ,当 PQ ? ?1 QA ? ? 2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ?

8 时,求 Q 点的坐标. 3

4

高二数学《圆锥曲线与方程》针对性训练(三)参考答案
编写人:谭铁恒 审核人:陈茂慧 一、选择题 1.抛物线 y ? ?2 x 的焦点坐标是( C )
2

使用时间:2011 年 3 月 10 日

A. ? ?

? 1 ? ,0? ? 2 ?

B. ? 0,1?

C. ? 0, ? ?

? ?

1? 8?

D. ? 0, ?

? ?

1? ? 4?

2.若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? (1, 2) ,则 k 的取值范围是( C ) 4 k
B. (?3 , 0) C. (?12, 0) D. (?60 , ? 12)

A. (?? , 0)

3. 过双曲线

x2 y 2 那么△ F1 PQ 的 ? ? 1 的右焦点 F2 有一条弦 PQ , PQ ? 6 , F1 是左焦点, 16 9
B. 22 C. 14 D. 12

周长为( A ) A. 28

4.设 x1 , x2 ? R ,常数 a ? 0 ,定义运算 "? " 为: x1 ? x2 ? 4 x1 x2 ,等号右边是通常的乘法 运算,如果在平面直角坐标系中,动点 P 的坐标 ? x, y ? 满足关系式: 动点 P 的轨迹方程为( D ) A. y ?
2

y y ? ? a ? x ,则 2 2
D. y ? 4ax
2

1 ax 2

B. y ? ax
2

C. y ? 2ax
2

5.若椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1? m, n, p ? 0, m ? p ? 有公共的焦点 F1 , F2 ,其交 m p n p

点为 P ,则△ PF1 F2 的面积是( C ) A. m ? n 6. P 为双曲线 B.

m?n 2

C. p

D.

p 2

x2 y 2 ? ? 1 右支上的一点, M , N 分别是圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 9 16 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大值为( D )
B. 7 C. 8 D. 9

A. 6 二、填空题

7.若双曲线的一个焦点为(2,0),渐近线方程为 y ? ? 3x ,则此双曲线的标准方程 . x ?
2



y2 ?1 3

5

8. 已知直线 l 的斜率为 2 , 且直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F , 与 y 轴交于点 A . 若

?O A F (其中 O 为坐标原点)的面积为 4,则该抛物线方程为
9 . 已 知 F1 , F2 为 椭 圆

. y ? 8x
2

x2 y2 ? ? 1 的 左 右 焦 点 , 过 F1 的 直 线 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 若 25 9
. 8

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =
10.方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C,有下列命题: 4?t t ?2

①若曲线 C 为椭圆,则 2 ? t ? 4 ; ②若曲线 C 为双曲线,则 t ? 4 或 t ? 2 ; ③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t ? 4 . 以上命题正确的是 . (填上所有正确命题的序号)②④ 三、解答题(说明:第 11、12 为必做题,第 13、14、15 为选做题) 11.已知点 P(4, 4) ,圆 C : ( x ? m)2 ? y 2 ? 5(m ? 3) 与椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有 a 2 b2

一个公共点 A(3,1) , F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. (1)求直线 PF1 的方程; (2)求椭圆 E 的方程; (3)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求证:以 QF1 为直径的圆与圆 x 2 ? y 2 ? 18 相切. 解:(1)因为 A(3,1) 在⊙ C 上,

?(3 ? m) 2 ? 4 所以, ? , m ? 1. ?m ? 3
所以⊙ C : ( x ? 1) ? y ? 5 .
2 2

易知直线 PF1 的斜率

存 在 , 设 直 线 PF1 方 程 : y ? 4 ? k ( x ? 4) , 即: kx ? y ? (4 ? 4k ) ? 0 题设有:

4 ? 3k k 2 ?1

? 5 ,k ?

11 1 或k ? 2 2

k?

11 11 36 时,直线 PF1 方程 x ? y ? 18 ? 0 ,令 y ? 0 ,则 x ? ? 0 ,不合题意(舍去) 2 2 11

6

k?

1 时,直线 PF1 方程: x ? 2 y ? 4 ? 0 .令 y ? 0 ,则 x ? ?4 ? 0 满足题设. 2
所以,直线 PF1 方程为: x ? 2 y ? 4 ? 0 . (2)由(1)知 F1 (?4, 0) ,所以, F2 (4, 0) , a ? b ? 16 ①
2 2

又 2a ? AF1 ? AF2 ? 50 ? 2 ? 6 2 ,所以 a ? 3 2 椭圆 E 的方程:

所以 b ? 2
2

x2 y2 ? ? 1. 18 2

(3) 设 QF1 的中点为 M ,连 QF2 .则 | OM |?
2 2

1 1 1 | QF2 |? (6 2 ? | QF1 |) ? 3 2 ? | QF1 | 2 2 2
2

所以以 QF1 为直径的圆内切于圆 x ? y ? (3 2) ,即 x ? y ? 18 .
2 2

12 . 在 平 面 直角 坐 标 系中 , 抛 物 线 y ? x 上 异 于 坐 标原 点 O 的 两 不 同动 点 A, B 满 足
2

. AO ? OB(如图所示) (1)求 ?AOB 的重心 G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (2)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

x ? x2 ? x? 1 ? ? 3 解: (1)设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 3 ?
∵OA⊥OB ∴ k OA ? k OB ? ?1 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,……(2) 又点 A, B 在抛物线上, 有 y1 ? x1 , y 2 ? x2 , 代入 (2) 化简得 x1 x2 ? ?1
2 2

∴y?

y1 ? y 2 1 2 1 1 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? ? (3x) 2 ? ? 3x 2 ? 3 3 3 3 3 3
2

所以重心为 G 的轨迹方程为 y ? 3x ? (2) S ?AOB ?

2 3

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 | OA || OB |? ( x12 ? y12 )( x2 ? y2 )? x1 x2 ? x12 y 2 ? x2 y1 ? y12 y 2 2 2 2 1 6 1 1 1 6 6 由(1)得 S?AOB ? x1 ? x2 ?2 ? 2 x16 ? x2 ?2 ? 2 (?1)6 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 2 2 2
当且仅当 x1 ? x 2 即 x1 ? ? x 2 ? ?1 时,等号成立。
6 6

所以△AOB 的面积存在最小值,最小值是 1。 13.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(?1,1) 关于原点 O 对称, P 是动点,且直线 AP

7

与 BP 的斜率之积等于 ? (1)求动点 P 的轨迹方程;

1 . 3

(2)设直线 AP 与 BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M , N , 是否存在点 P 使得 ?PAB 与 ?PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意得
2 2

y ?1 y ? 1 1 ? ? ? , 化简得 x ? 1 x ?1 3

x 2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) .

故动点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 4( x ? ?1) (2)方法一:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, yN ) . 则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 y ?1 ( x ? 1) ,直线 BP 的方程为 y ? 1 ? 0 ( x ? 1) x0 ? 1 x0 ? 1

令 x ? 3 得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 3 , yN ? . x0 ? 1 x0 ? 1
| x ? y0 | (3 ? x0 ) 2 1 | yM ? yN | (3 ? x0 ) ? 0 2 | x0 2 ? 1|

于是 ? PMN 得面积 S? PMN ?

又直线 AB 的方程为 x ? y ? 0 ,| AB |? 2 2 , 点 P 到直线 AB 的距离 d ? 于是 ?PAB 的面积 S? PAB ?

| x0 ? y0 | 2

.

1 | AB |?d ?| x0 ? y0 | 2
| x0 ? y0 | (3 ? x0 ) 2 | x0 2 ? 1|
2

当 S? PAB ? S? PMN 时,得 | x0 ? y0 |?
2

又 | x0 ? y0 |? 0 ,所以 (3 ? x0 ) = | x0 ? 1| ,解得 | x0 ? 因为 x0 ? 3 y0 ? 4 ,所以 y0 ? ?
2 2

5 。 3

33 9

故存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?

5 3

33 ). 9

方法二:若存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) 则

1 1 | PA |? | PB | sin ?APB ? | PM |? | PN | sin ?MPN . 2 2

8

因为 sin ?APB ? sin ?MPN ,所以

| PA | | PN | ? | PM | | PB |

所以

| x0 ? 1| | 3 ? x0 | 5 2 2 , 即 (3 ? x0 ) ?| x0 ? 1| ,解得 x0 ? ? | 3 ? x0 | | x ? 1| 3
2 2

因为 x0 ? 3 y0 ? 4 ,所以 y0 ? ?

33 9

故存在点 P S 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?

5 3

33 ). 9

14.已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( ? 2, 0) , ( 2, 0) ,离心率是 椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 P . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (3)设 Q( x, y ) 是圆 P 上的动点,当变化 t 时,求 y 的最大值.

6 ,直线 y ? t 与 3

解: (1) 因为

x2 c 6 ? a ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 , , 且c ? 2 , 则椭圆 C 的方程为 ? y2 ? 1 ? a 3 3
2 ,得 x ? ? 3(1 ? t )

?y ? t ? (2)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1) 由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
2 所以圆 P 的半径为 3(1 ? t ) ,解得 t ? ?

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高#考

3 3 ,所以点 P 的坐标是(0, ? ) 2 2
2

(3)由(2)知,圆 P 的方程 x ? ( y ? t ) ? 3(1 ? t ) 。因为点 Q( x, y ) 在圆 P 上,
2 2
2 2 2 所以 y ? t ? 3(1 ? t ) ? x ? t ? 3(1 ? t ) (?1 ? t ? 1)

设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
2

?
6

)

当? ?

?
3

,即 t ?

1 ,且 x ? 0 , y 取最大值 2. 2
x2 y2 ? ? 1 的一个焦点,又若抛 a2 b2

15.已知抛物线 C1 的顶点在原点,其准线过双曲线 C 2 : 物线 C1 与双曲线 C 2 相交于点 A( , 6 ), B( ,? 6 ) .

3 2

3 2

9

(1)求抛物线 C1 与双曲线 C 2 的方程; (2)过点 P(0,4) 的直线 l 与双曲线 C 2 的左支交于不同的两点,求直线 l 的斜率 k 的取值 范围; (3)若(2)中的直线 l 交双曲线 C 2 于 A, B 两点,交 x 轴于 Q 点( Q 点与 C 2 的顶点不重

8 时,求 Q 点的坐标. 3 3 2 2 解: (1)由题意可设抛物线 C1 的方程为: y ? 2 px 把点 A( , 6 ) 代入得, y ? 4 x 2
合) ,当 PQ ? ?1 QA ? ? 2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ? 其准线方程为: x ? ?1 ,所以,双曲线的左焦点为 F1 (?1,0)

? 2 1 ?a 2 ? b 2 ? 1 a ? ? x2 y2 ? ? 4 ?? 9 ? 所以双曲线 的方程为: C ? ?1 ? 6 2 1 3 3 ? 2 ? 2 ? b 2 ? 1 ?b ? ? 4a 4 4 4 ?
(2)设直线 l : y ? kx ? 4 ,代入 C 2 得: 4 x ?
2
2 2

4 (kx ? 4) 2 ? 1 3

整理得: (12 ? 4k ) x ? 32 kx ? 67 ? 0 ,因为 l 与 C 2 的左支交于不同的两点,所以,

?12 ? 4k 2 ? 0 ? 2 2 ?( ?32 k ) ? 4(12 ? 4k )( ?67 ) ? 0 ? 32 k ? 3 ? k ? 67 ? ?0 2 ?12 ? 4k ? 67 ?0 ? 2 ? 4k ? 12
(3)由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零,设 l 的方程: y ? kx ? 4

4 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 Q(? ,0),? PQ ? ?1 QA ? ?2 QB k 4 4 4 ? (? ,?4) ? ?1 ( x1 ? , y1 ) ? ?2 ( x2 ? , y 2 ) ? ?4 ? ?1 y1 ? ?2 y 2 , k k k
? ?1 ? ? 4 4 8 1 1 2 , ?2 ? ? ? ?1 ? ?2 ? ? ? ? ? ? 3( y1 ? y 2 ) ? 2 y1 y 2 y1 y2 3 y1 y 2 3
2 2 2

将 l 的方程代入 C 2 方程且化简整理得: (12 ? 4k ) y ? 96 y ? 192 ? 3k ? 0

? y1 ? y2 ?

96 192 ? 3k 2 96 192 ? 3k 2 , y y ? ? 3 ? ? 2 ? ? k ? ?4 1 2 12 ? 4k 2 12 ? 4k 2 12 ? 4k 2 12 ? 4k 2
2

检验知 ? ? 0,12 ? 4k ? 0 ,? k ? ?4,? Q(?1,0)
10


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