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2015-2016学年河南省洛阳市高二(下)期末数学试卷(理科)(a卷)(解析版)


2015-2016 学 年 河 南 省 洛 阳 市 高 二 (下) 期末数学试卷 (理 科) (A 卷)
一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 60 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 . 已 知 集 合 A={x |y= lg } , 集 合 B={x |y= } , 则 A ∩ B= ( )

A. ( ﹣ ∞, ﹣ 1) B. ( ﹣ 1 , 1 ] C . [1 , 2 ) D . ( 2, +∞) 2. 复 数 在复平面内对应的点落在( )

A. 第 一 象 限 B. 第 二 象 限 C. 第 三 象 限 D. 第 四 象 限 3. 下 列 叙 述 正 确 的 个 数 是 ( ) ① 若 a > b , 则 ac 2 > b c 2 ; ②若 命 题 p 为 真 命 题 题 , 命 题 q 为 假 命 题 , 则 p∨q 为 假 命 题 ; ③若 命 题 p: ?x0∈R, x ﹣ x 0 +1 ≤ 0 , 则 ¬ p : ? x ∈ R , x 2 ﹣ x+1 > 0 .

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. y1 ) y2 ) …, 对两个变量 y 和 x 进行回归分析, 得到一组样本数据: ( x1, , ( x2, , ( x n , yn ) ,则下列说法中不正确的是( ) A . 由 样 本 数 据 得 到 的 回 归 方 程 = x+ 必 过 样 本 中 心 ( , ) B. 残 差 平 方 和 越 小 的 模 型 , 拟 合 的 效 果 越 好 C. 用 相 关 指 数 R2 来 刻 画 回 归 效 果 , R2 越 小 , 说 明 模 型 的 拟 合 效 果 越 好 D. 两 个 随 机 变 量 的 线 性 相 关 性 越 强 , 相 关 系 数 的 绝 对 值 越 接 近 于 1 5. 已 知 双 曲 线 为( A . y= ± ) x B . y= ± x C . y= ± x D . y= ± 2x ﹣ y 2 =1 ( a > 0 ) 的 离 心 率 为 ,则该双曲线的渐近线方程

6 . 已 知 数 列 {a n } 为 等 差 数 列 , a 1 =1 , 公 差 d ≠ 0 , a 1 、 a 2 、 a 5 成 等 比 数 列 , 则 a2015 的 值 为 ( ) A . 4029 B . 4031 C . 4033 D . 4035 7. 计 算 : A. ﹣ 2 B. ﹣ ( x3﹣ C. ) dx= ( D. 2 )

8. 设 f( x) 是 定 义 在 正 整 数 集 上 的 函 数 , 且 f( x) 满 足 “当 f( k) ≤k2 成 立 时 ,总 可 推 出 f( k+1 ) ≤( k+1 ) 2 ” 成 立 ” .那 么 ,下 列 命 题 总 成 立 的 是( ) 2 A. 若 f( 2) ≤4 成 立 , 则 当 k≥1 时 , 均 有 f( k) ≤k 成 立 B . 若 f ( 4 ) ≤ 16 成 立 , 则 当 k ≤ 4 时 , 均 有 f ( k ) ≤ k 2 成 立

C . 若 f ( 6 ) > 36 成 立 , 则 当 k ≥ 7 时 , 均 有 f ( k ) > k 2 成 立 D . 若 f ( 7 ) =50 成 立 , 则 当 k ≤ 7 时 , 均 有 f ( k ) > k 2 成 立 9 . 长 方 体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中 AB=AA 1 =2 , AD=1 , E 为 CC 1 的 中 点 , 则 异 面 直 线 BC 1 与 AE 所 成 角 的 余 弦 值 为 ( )

A.

B.

C.

D. ax 2 , 且 关 于 x 的 方 程 f ( x ) +a=0 有 三 个 不 等 的

10 . 已 知 函 数 f ( x ) = x 3 ﹣

实数根,则实数 a 的取值范围是( ) A. ( ﹣ ∞, ﹣ ) ∪( 0 , ) B. (﹣ , 0 ) ∪( , +∞) C. (﹣ , ) D. ( ﹣ ∞, ﹣ ) ∪( , +∞) 11 . 定 义 点 P 到 图 形 C 上 每 一 个 点 的 距 离 的 最 小 值 为 点 P 到 图 形 C 的 距 离 , 那 么 平 面 内 到 定 圆 C 的 距 离 与 到 定 点 A( A 在 圆 C 内 且 不 与 圆 心 C 重 合 ) 的 距离相等的点的轨迹是( ) A. 直 线 B. 圆 C. 椭 圆 D. 双 曲 线 的 一 支 12 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) , f ′( x ) 是 其 导 数 , 且 满 足 f( x ) + f ′( x ) > 2 , x ef ( 1 ) =2e+4 , 则 不 等 式 e f ( x ) > 4+2e x ( 其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) 的 解 集为( ) A. ( 1 ,+ ∞ ) B . ( ﹣ ∞ ,0 )∪( 1 ,+ ∞ ) C . ( ﹣ ∞ ,0 )∪( 0 ,+ ∞ ) D . (﹣ ∞, 1) 二 、 填 空 题 : 本 题 共 4 个 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 20 分 13 . 已 知 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N ( 0 , σ 2 ) , 且 P ( ﹣ 2 ≤ξ≤ 2 ) =0.4 , 则 P ( ξ> 2) = .

14 . y 满足条件 若 实 数 x,

, 则 z=4x ﹣ 3 y 的 最 大 值 是



15 . ( ax+ ) ? ( 2x ﹣

) 5 的 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和 为 2, 则 该 展 开 式 中 常 数

项为 (用数字作答) 16 . 已 知 {a n } , {b n } 均 为 等 差 数 列 , 它 们 的 前 n 项 和 分 别 为 S n , T n , 若 对 任 意 n∈N*有 = ,则使 为整数的正整数 n 的集合为 .

三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 个 小 题 , 共 70 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或演算步骤. 17 . 在 △ ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 且 ,

( 1) 求 角 B 的 大 小 ; ( 2) 若 , 求 △ ABC 的 面 积 . 18 . 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S n =2a n ﹣ 3n , ( n∈N*) . ( 1 ) 证 明 数 列 {a n +3} 为 等 比 数 列 ( 2 ) 求 {S n } 的 前 n 项 和 T n . 19 . 某 中 学 校 本 课 程 开 设 了 A , B , C , D 共 4 门 选 修 课 , 每 个 学 生 必 须 且 只 能选修 1 门选修课,现有该校的甲、乙、丙 3 名学生. ( 1) 求 这 3 名 学 生 选 修 课 所 有 选 法 的 总 数 ; ( 2) 求 恰 有 2 门 选 修 课 没 有 被 这 3 名 学 生 选 择 的 概 率 ; ( 3) 求 A 选 修 课 被 这 3 名 学 生 选 择 的 人 数 ξ 的 分 布 列 及 数 学 期 望 . 20 . 在 如 图 的 多 面 体 中 , E F ⊥平 面 AEB , AE ⊥ EB , AD ∥ EF , EF ∥ BC , BC=2AD=4 , EF=3 , AE=BE=2 , G 是 BC 的 中 点 . ( Ⅰ) 求 证 : AB ∥平 面 DEG ; ( Ⅱ) 求 证 : BD ⊥ EG ; ( Ⅲ) 求 二 面 角 C ﹣ D F ﹣ E 的 余 弦 值 .

21 . 已 知 点 F ( 0 , 1 ) , 直 线 l : y= ﹣ 1 , P 为 平 面 上 的 动 点 , 过 点 P 作 直 线 l 的 垂 线 , 垂 足 为 Q, 且 . ( 1) 求 动 点 P 的 轨 迹 C 的 方 程 ; ( 2) 已 知 圆 M 过 定 点 D( 0, 2) ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴 交 于 A 、 B 两 点 , 设 |D A|= l 1 , |DB |= l 2 , 求 22 . 已 知 函 数 f ( x ) = lnx ﹣ a ( 1 ﹣ ) . 的最大值.

( 1 ) 若 a=1 , 求 f ( x ) 的 单 调 区 间 ; ( 2) 若 f( x) ≥0, 对 任 意 的 x≥1 均 成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ; ( 3) 求 证 : ( ) 1008> e .

2015-2016 学 年 河 南 省 洛 阳 市 高 二 ( 下 ) 期 末 数 学 试卷(理科) (A 卷)
参考答案与试题解析

一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 60 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 . 已 知 集 合 A={x |y= lg } , 集 合 B={x |y= } , 则 A ∩ B= ( )

A. ( ﹣ ∞, ﹣ 1) B. ( ﹣ 1 , 1 ] C . [1 , 2 ) D . ( 2, +∞) 【考点】交集及其运算. 【 分 析 】 求 出 A 中 x 的 范 围 确 定 出 A, 求 出 B 中 x 的 范 围 确 定 出 B, 找 出 两 集合的交集即可. 【 解 答 】 解 : 由 A 中 y=lg ,得到 > 0 , 即 ( x+1 ) ( x﹣ 2) < 0,

解 得 : ﹣ 1 < x < 2 , 即 A= ( ﹣ 1 , 2 ) , 由 B 中 y= , 得 到 1﹣ x≥0, 即 x≤1, ∴ B= ( ﹣ ∞ , 1 ] , 则 A ∩ B= ( ﹣ 1 , 1 ] , 故 选 : B.

2. 复 数

在复平面内对应的点落在(



A. 第 一 象 限 B. 第 二 象 限 C. 第 三 象 限 D. 第 四 象 限 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求得复数的坐标得答案. 【解答】解:∵ ∴复 数 故 选 : B. 3. 下 列 叙 述 正 确 的 个 数 是 (
2 2

=

, ) ,落在第二象限.

在复平面内对应的点的坐标为(



① 若 a > b , 则 ac > b c ; ②若 命 题 p 为 真 命 题 题 , 命 题 q 为 假 命 题 , 则 p∨q 为 假 命 题 ; ③若 命 题 p: ?x0∈R, x ﹣ x 0 +1 ≤ 0 , 则 ¬ p : ? x ∈ R , x 2 ﹣ x+1 > 0 .

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【考点】命题的真假判断与应用. 【 分 析 】 ①根 据 不 等 式 的 关 系 进 行 判 断 , ②根 据 复 合 命 题 真 假 关 系 进 行 判 断 , ③根 据 含 有 量 词 的 命 题 的 否 定 进 行 判 断 .

【 解 答 】解 : ① 若 a > b ,当 c=0 时 , ac 2 =bc 2 则 ac 2 > bc 2 不 成 立 , 故 ① 错 误 , ②若 命 题 p 为 真 命 题 , 命 题 q 为 假 命 题 , 则 p∨q 为 真 命 题 ; 故 ②错 误 ③若 命 题 p:?x0∈R,x 故选:B 4. y1 ) y2 ) …, 对两个变量 y 和 x 进行回归分析, 得到一组样本数据: ( x1, , ( x2, , ( x n , yn ) ,则下列说法中不正确的是( ) A . 由 样 本 数 据 得 到 的 回 归 方 程 = x+ 必 过 样 本 中 心 ( , ) B. 残 差 平 方 和 越 小 的 模 型 , 拟 合 的 效 果 越 好 C. 用 相 关 指 数 R2 来 刻 画 回 归 效 果 , R2 越 小 , 说 明 模 型 的 拟 合 效 果 越 好 D. 两 个 随 机 变 量 的 线 性 相 关 性 越 强 , 相 关 系 数 的 绝 对 值 越 接 近 于 1 【考点】线性回归方程. 【分析】对四个选项分别进行判断,即可得出结论. 【 解 答 】 解 : 由 样 本 数 据 得 到 的 回 归 方 程 = x+ 必 过 样 本 中 心 ( , ) ,正 确; 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好,正确 用 相 关 指 数 R2 来 刻 画 回 归 效 果 , R2 越 大 , 说 明 模 型 的 拟 合 效 果 越 好 , 不 正 确, 线 性 相 关 系 数 |r| 越 大 , 两 个 变 量 的 线 性 相 关 性 越 强 , 故 正 确 . 故 选 : C. ﹣ x 0 +1 ≤ 0 ,则 ¬ p : ? x ∈ R , x 2 ﹣ x+1 > 0 .故 ③ 正 确 ,

5. 已 知 双 曲 线 为( )

﹣ y 2 =1 ( a > 0 ) 的 离 心 率 为

,则该双曲线的渐近线方程

A . y= ± x B . y= ±

x C . y= ±

x D . y= ± 2x

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的离心率求出 a 的值,结合双曲线的渐近线方程进行求 解即可. 【 解 答 】 解 : ∵双 曲 线 , 即 c 2 =3a 2 , ﹣ y 2 =1 ( a > 0 ) 的 离 心 率 ,

∴ e= =

即 1+a 2 =3a 2 , 得 a 2 = , 即 a= ,

则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= ± x= 故 选 : C.



x,

6 . 已 知 数 列 {a n } 为 等 差 数 列 , a 1 =1 , 公 差 d ≠ 0 , a 1 、 a 2 、 a 5 成 等 比 数 列 , 则 a2015 的 值 为 ( ) A . 4029 B . 4031 C . 4033 D . 4035 【考点】等差数列的通项公式. 【 分 析 】 由 已 知 结 合 a1、 a2、 a5 成 等 比 数 列 求 得 公 差 , 再 代 入 等 差 数 列 的 通 项公式得答案. 【 解 答 】 解 : 在 等 差 数 列 {a n } 中 , 由 a 1 、 a 2 、 a 5 成 等 比 数 列 得 , ( 1+d ) 2 =1 × ( 1+4d ) , 解 得 d=2 ( d ≠ 0 ) , a =1+2014 2=4029 ∴ 2015 × . 故 选 : A. ( x3﹣ C.

7. 计 算 : A. ﹣ 2 B. ﹣

) dx= ( D. 2



【考点】定积分. 【 分 析 】 根 据 定 积 分 的 运 算 性 质 , 奇 函 数 在 对 称 区 间 内 的 定 积 分 为 0, 偶 函 数等于单侧定积分的 2 倍,只需求 【解答】 解: : = , 故 答 案 选 : C. 8. 设 f( x) 是 定 义 在 正 整 数 集 上 的 函 数 , 且 f( x) 满 足 “当 f( k) ≤k2 成 立 时 ,总 可 推 出 f( k+1 ) ≤( k+1 ) 2 ” 成 立 ” .那 么 ,下 列 命 题 总 成 立 的 是( ) 2 A. 若 f( 2) ≤4 成 立 , 则 当 k≥1 时 , 均 有 f( k) ≤k 成 立 B . 若 f ( 4 ) ≤ 16 成 立 , 则 当 k ≤ 4 时 , 均 有 f ( k ) ≤ k 2 成 立 C . 若 f ( 6 ) > 36 成 立 , 则 当 k ≥ 7 时 , 均 有 f ( k ) > k 2 成 立 D . 若 f ( 7 ) =50 成 立 , 则 当 k ≤ 7 时 , 均 有 f ( k ) > k 2 成 立 【考点】四种命题间的逆否关系. 【 分 析 】由 题 意 对 于 定 义 域 内 任 意 的 k ,若 f( k )≤ k 2 成 立 ,则 f( k+1 )≤( k+1 ) 2 成立的含义是对前一个数成立,则能推出后一个数成立, 结合逆否命题的真假性相同,对选项中的命题分析、判断即可. 【 解 答 】 解 : 对 于 A , 当 k=1 时 , 不 一 定 有 f ( k ) ≤ k 2 成 立 ; A 命 题 错 误 ; 对 于 B, 只 能 得 出 : 对 于 任 意 的 k≥4, 均 有 f( k) ≥k2 成 立 , 不 能 得 出 : 任 意 的 k≤3, 均 有 f( k) ≤k2 成 立 ; B 命 题 错 误 ; 对 于 C ,根 据 逆 否 命 题 的 真 假 性 相 同 ,由 f( 6 )> 36 成 立 ,能 推 出 当 k ≤ 6 时 , 均 有 f( k) > k2 成 立 ; C 命 题 错 误 ; 对 于 D ,根 据 逆 否 命 题 的 真 假 性 相 同 ,由 f( 7 ) =50 > 49 ,能 得 出 对 于 任 意 的 k≤7, 均 有 f( k) > k2 成 立 ; D 命 题 正 确 . 故 选 : D. ( x3﹣ dx = ) dx 的 值 即 可 . x 3 dx ﹣ dx= ﹣ 2 dx=2 ×

9 . 长 方 体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中 AB=AA 1 =2 , AD=1 , E 为 CC 1 的 中 点 , 则 异 面 直 线 BC 1 与 AE 所 成 角 的 余 弦 值 为 ( )

A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】建立空间直角坐标系,先相关点的坐标,再相关向量的坐标,再进 行运算. 【 解 答 】 解 析 : 建 立 坐 标 系 如 图 . 则 A( 1 , 0 , 0 ) , E( 0 , 2 , 1 ) , B( 1 , 2 , 0) , C1( 0, 2, 2) . =( ﹣ 1, 0, 2) , A= ( ﹣ 1 , 2 , 1 ) , cos < >═ . .

所 以 异 面 直 线 BC 1 与 AE 所 成 角 的 余 弦 值 为 故选 B

10 . 已 知 函 数 f ( x ) = x 3 ﹣

ax 2 , 且 关 于 x 的 方 程 f ( x ) +a=0 有 三 个 不 等 的

实数根,则实数 a 的取值范围是( ) A. ( ﹣ ∞, ﹣ ) ∪( 0 , ) B. (﹣ ) D. ( ﹣ ∞, ﹣ ) ∪( , +∞) 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【 分 析 】 令 g ( x ) =f ( x ) +a=x 3 ﹣

, 0 ) ∪(

, +∞) C. (﹣



ax 2 +a , 把 方 程 f( x ) +a=0 有 三 个 不 等 的

实 数 根 转 化 为 函 数 g( x) 的 极 大 值 大 于 0 且 极 小 值 小 于 0, 联 立 不 等 式 组 求 得实数 a 的取值范围. 【 解 答 】 解 : 令 g ( x ) =f ( x ) +a=x 3 ﹣ 得 g ′ ( x ) =3x 2 ﹣ 3ax= 3x ( x ﹣ a ) , ax 2 +a ,

当 a=0 时 , g ′ ( x ) ≥ 0 , 函 数 g ( x ) 为 增 函 数 , 不 合 题 意 ; 当 a < 0 时 , x ∈( ﹣ ∞ , a ) , ( 0 , + ∞ ) 时 , g ′ ( x ) > 0 ; x ∈ ( a , 0 ) 时 , g ′( x ) < 0. ∴x∈( ﹣ ∞, a) , ( 0, +∞) 时 , g( x) 单 调 递 增 ; x∈( a, 0) 时 , g( x) 单 调递减, ∴ x=a 时 函 数 有 极 大 值 为 g ( a ) = =a . 由 ,解得 a ; , x=0 时 函 数 有 极 小 值 为 g ( 0 )

当 a > 0 时 , x ∈( ﹣ ∞ , 0 ) , ( a , + ∞ ) 时 , g ′ ( x ) > 0 ; x ∈ ( 0 , a ) 时 , g ′( x ) < 0. ∴x∈( ﹣ ∞, 0) , ( a, +∞) 时 , g( x) 单 调 递 增 ; x∈( 0, a) 时 , g( x) 单 调递减, =a , x=a 时 函 数 有 极 小 值 为 g = ∴ x=0 时 函 数 有 极 大 值 为 g ( 0) ( a) .



,解得 a

. ) ∪( , +∞) .

综 上 , 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( ﹣ ∞, ﹣ 故 选 : D.

11 . 定 义 点 P 到 图 形 C 上 每 一 个 点 的 距 离 的 最 小 值 为 点 P 到 图 形 C 的 距 离 , 那 么 平 面 内 到 定 圆 C 的 距 离 与 到 定 点 A( A 在 圆 C 内 且 不 与 圆 心 C 重 合 ) 的 距离相等的点的轨迹是( ) A. 直 线 B. 圆 C. 椭 圆 D. 双 曲 线 的 一 支 【考点】椭圆的标准方程. 【 分 析 】 由 题 意 画 出 图 形 , 设 动 点 为 P , 连 接 CP 并 延 长 , 交 于 圆 上 一 点 B , 可 得 PA+PC=R , 说 明 P 的 轨 迹 为 椭 圆 . 【 解 答 】 解 : 如 图 , 设 动 点 为 P , 点 A 在 圆 内 不 与 圆 心 C 重 合 , 连 接 CP 并 延 长 , 交 于 圆 上 一 点 B,

由 题 意 知 P B=PA , 又 P B+P C=R , ∴ PA+P C=R , 即 P 的 轨 迹 为 椭 圆 . 故 选 : C. 12 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) , f ′( x ) 是 其 导 数 , 且 满 足 f( x ) + f ′( x ) > 2 , x ef ( 1 ) =2e+4 , 则 不 等 式 e f ( x ) > 4+2e x ( 其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) 的 解 集为( )

A. ( 1 ,+ ∞ ) B . ( ﹣ ∞ ,0 )∪( 1 ,+ ∞ ) C . ( ﹣ ∞ ,0 )∪( 0 ,+ ∞ ) D . (﹣ ∞, 1) 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【 分 析 】 构 造 函 数 g ( x ) =e x f ( x ) ﹣ 2e x , ( x∈R) , 研 究 g( x) 的 单 调 性 , 结合原函数的性质和函数值,即可求解. 【 解 答 】 解 : 设 g ( x ) =e x f ( x ) ﹣ 2e x , ( x∈R) , x x x x 则 g ′ ( x ) =e f ( x ) +e f ′ ( x ) ﹣ 2 e =e [f ( x ) +f ′ ( x ) ﹣ 2 ] , ∵ f ( x ) +f ′ ( x ) > 2 , ∴ f ( x ) +f ′ ( x ) ﹣ 2 > 0 , ∴g′( x) > 0, ∴ y=g ( x ) 在 定 义 域 上 单 调 递 增 , ∵ e x f ( x ) > 2e x +4 , ∴g( x) > 4, 又 ∵ g ( 1 ) =ef ( 1 ) ﹣ 2e=4 , ∴g( x) > g( 1) , ∴x> 1, 故 选 : A. 二 、 填 空 题 : 本 题 共 4 个 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 20 分 13 . 已 知 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N ( 0 , σ 2 ) , 且 P ( ﹣ 2 ≤ξ≤ 2 ) =0.4 , 则 P ( ξ > 2 ) = 0.3 . 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【 分 析 】本 题 考 查 正 态 分 布 曲 线 的 性 质 ,随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N ( 0 ,σ 2 ) , 利 用 P ( ﹣ 2 ≤ξ≤ 2 ) =0.4 , 答 案 易 得 . 【 解 答 】 解 : ∵随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N ( 0 , σ 2 ) , P ( ﹣ 2 ≤ξ≤ 2 ) =0.4 , ∴P( ξ> 2) = 故 答 案 为 : 0.3 . [1 ﹣ P ( ﹣ 2 ≤ξ≤ 2 ) ] =0.3 ,

14 . 若 实 数 x , y 满 足 条 件

, 则 z=4x ﹣ 3 y 的 最 大 值 是

3



【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,求出最大值. 【解答】解:不等式组对应的平面区域如图: 由 z=3x ﹣ 4 y 得 y= 平 移 直 线 y= x﹣ x﹣ , x﹣ ,当经过点 C 时,直线

, 则 由 图 象 可 知 当 直 线 y=

的截距最小,此时 z 最大. 由 ,解得 , 即 C( 3, 3) ,

此 时 最 大 值 z=4 × 3 ﹣ 3 × 3=3 , 故 答 案 为 : 3.

15 . ( ax+ ) ? ( 2x ﹣

) 5 的 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和 为 2, 则 该 展 开 式 中 常 数

项 为 40 ( 用 数 字 作 答 ) 【考点】二项式定理的应用. 【 分 析 】 令 x=1 , 可 得 : ( a+1 ) ( 2 ﹣ 1 ) 5 =2 , 解 得 a=1 . 再 利 用 ( 2x ﹣ 的展开式的通项公式进而得出. 【 解 答 】 解 : 令 x=1 , 可 得 : ( a+1 ) ( 2 ﹣ 1 ) 5 =2 , 解 得 a=1 . ( 2x ﹣ ) 5 的 展 开 式 的 通 项 公 式 : Tr+1= =( ﹣ 1) r25 ﹣ r )5

x5﹣ 2r, 令 5 ﹣ 2r=1 或 ﹣ 1 , 分 别 解 得 : r=2 , 3 . ∴该 展 开 式 中 常 数 项 为 : 故 答 案 为 : 40 . 16 . 已 知 {a n } , {b n } 均 为 等 差 数 列 , 它 们 的 前 n 项 和 分 别 为 S n , T n , 若 对 任 意 n∈N*有 = ,则使 为整数的正整数 n 的集合为 {1 , 3 } . ﹣ 1× =40 ,

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由等差数列的性质可得: = ,化简即可得出.

【解答】解:

=

=

=

=

=31+

, 为整数,

只 有 n=1 , 3 时 ,

∴使

为 整 数 的 正 整 数 n 的 集 合 为 {1 , 3} ,

故 答 案 为 : {1 , 3} . 三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 个 小 题 , 共 70 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或演算步骤. 17 . 在 △ ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 且 ,

( 1) 求 角 B 的 大 小 ; ( 2) 若 , 求 △ ABC 的 面 积 . 【考点】解三角形. 【分析】 ( 1) 根 据 正 弦 定 理 表 示 出 a, b 及 c, 代 入 已 知 的 等 式 , 利 用 两 角 和 的 正 弦 函 数 公 式 及 诱 导 公 式 变 形 后 ,根 据 sinA 不 为 0 ,得 到 co sB 的 值 ,由 B 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出角 B 的度数; ( 2 ) 由 ( 1 ) 中 得 到 角 B 的 度 数 求 出 sinB 和 cosB 的 值 , 根 据 余 弦 定 理 表 示 出 b2 , 利 用 完 全 平 方 公 式 变 形 后 , 将 b , a+c 及 cosB 的 值 代 入 求 出 ac 的 值 , 然 后 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 表 示 出 △ ABC 的 面 积 , 把 ac 与 sinB 的 值 代 入 即 可求出值. 【解答】解: ( 1) 由 正 弦 定 理 a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC , 将上式代入已知 即 2sinAco sB+sinCcosB+cosCsinB=0 , 即 2sinAco sB+sin ( B+ C ) =0 , ∵ A+B+C= π , ∴ sin ( B+C ) =sinA , ∴ 2sinAcosB+sinA=0 , 即 sinA ( 2cosB+1 ) =0 , ∵ sinA ≠ 0 , ∴ , ; 代 入 余 弦 定 理 b 2 =a 2 +c 2 ﹣ 2accosB 得 : , 得:

∵B 为 三 角 形 的 内 角 , ∴ ( II ) 将

b 2 = ( a+c ) 2 ﹣ 2ac ﹣ 2a ccosB , 即 ∴ ac=3 , ∴ .



18 . 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S n =2a n ﹣ 3n , ( n∈N*) . ( 1 ) 证 明 数 列 {a n +3} 为 等 比 数 列 ( 2 ) 求 {S n } 的 前 n 项 和 T n . 【考点】数列的求和;等比关系的确定. 【分析】 ( 1 ) 利 用 当 n ≥ 2 时 , S n ﹣ S n ﹣ 1 =a n , 可 得 得 a n =2a n ﹣ 1 +3 , 从 而 可 构 造 等 比 数 列 求 解 a n +3 , 进 而 可 以 判 定 {a n +1} 是 等 比 数 列 ; ( 3 ) 通 过 求 出 数 列 {a n +3} 的 通 项 公 式 得 出 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 , 再 求 和 即 可. 【解答】解: ( 1 ) 令 n =1 , S 1 =2a 1 ﹣ 3 . ∴ a 1 =3 由 S n + 1 =2a n + 1 ﹣ 3 ( n+1 ) , S n =2a n ﹣ 3n , 两 式 相 减 , 得 a n + 1 =2a n + 1 ﹣ 2a n ﹣ 3 , a n + 1 =2a n +3 . … 则 a n + 1 +3=2 ( a n +3 ) , 所 以 {a n +3} 为 公 比 为 2 的 等 比 数 列 … ( 2 ) a n +3= ( a 1 +3 ) ? 2 n ﹣ 1 =6 ? 2 n ﹣ 1 , ∴ a n =6 ? 2 n ﹣ 1 ﹣ 3 … .…



19 . 某 中 学 校 本 课 程 开 设 了 A , B , C , D 共 4 门 选 修 课 , 每 个 学 生 必 须 且 只 能选修 1 门选修课,现有该校的甲、乙、丙 3 名学生. ( 1) 求 这 3 名 学 生 选 修 课 所 有 选 法 的 总 数 ; ( 2) 求 恰 有 2 门 选 修 课 没 有 被 这 3 名 学 生 选 择 的 概 率 ; ( 3) 求 A 选 修 课 被 这 3 名 学 生 选 择 的 人 数 ξ 的 分 布 列 及 数 学 期 望 . 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 ( 1) 每 个 学 生 有 四 个 不 同 的 选 择 , 由 此 根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理 , 能 求出这 3 名学生选修课所有选法的总数. ( 2 )由 已 知 利 用 排 列 组 合 知 识 能 求 出 恰 有 2 门 选 修 课 这 3 名 学 生 都 没 选 择 的 概率. ( 3 ) A 选 修 课 被 这 3 名 学 生 选 择 的 人 数 为 ξ ,则 ξ 的 可 能 取 值 为 0 , 1 , 2 , 3 , 分 别 求 出 相 应 的 概 率 , 由 此 能 求 出 ξ 的 分 布 列 和 Eξ. 【解答】解: ( 1) 每 个 学 生 有 四 个 不 同 的 选 择 , 根据分步乘法计数原理,

这 3 名 学 生 选 修 课 所 有 选 法 的 总 数 N=4 × 4 × 4=64 . ( 2) 恰 有 2 门 选 修 课 这 3 名 学 生 都 没 选 择 的 概 率 为 : = = .

( 3 ) A 选 修 课 被 这 3 名 学 生 选 择 的 人 数 为 ξ ,则 ξ 的 可 能 取 值 为 0 , 1 , 2 , 3 , P ( ξ =0 ) = = ,

P ( ξ =1 ) =

=



P ( ξ =2 ) =

=



P ( ξ =3 ) =

=



∴ξ 的 分 布 列 为 : ξ P Eξ=

0

1

2

3

= .

20 . 在 如 图 的 多 面 体 中 , E F ⊥平 面 AEB , AE ⊥ EB , AD ∥ EF , EF ∥ BC , BC=2AD=4 , EF=3 , AE=BE=2 , G 是 BC 的 中 点 . ( Ⅰ) 求 证 : AB ∥平 面 DEG ; ( Ⅱ) 求 证 : BD ⊥ EG ; ( Ⅲ) 求 二 面 角 C ﹣ D F ﹣ E 的 余 弦 值 .

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质;用空间向量求平 面间的夹角;二面角的平面角及求法. 【分析】 ( Ⅰ) 先 证 明 四 边 形 ADGB 是 平 行 四 边 形 , 可 得 AB ∥ DG , 从 而 证 明 AB ∥平 面 DEG .

DH ⊥ EG , ( Ⅱ) 过 D 作 DH ∥ AE 交 E F 于 H , 则 DH ⊥平 面 BCFE , 再 证 BH ⊥ EG , 从 而 可 证 EG ⊥平 面 BHD , 故 BD ⊥ EG . ( Ⅲ) 分 别 以 EB 、 E F 、 EA 为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 , 建 立 空 间 坐 标 系 , 由 已 知 得 是 平 面 E FDA 的 法 向 量 . 求得 二

求 出 平 面 DC F 的 法 向 量 为 n= ( x , y , z ) ,则由

面 角 C ﹣ D F﹣ E 的 余 弦 值 . 【 解 答 】解 : ( Ⅰ)证 明 :∵ AD ∥ EF , E F ∥ BC ,∴ AD ∥ BC . 又 ∵ BC=2AD , G 是 BC 的 中 点 , ∴ , DG ? 平 面 DEG , ∴四 边 形 ADGB 是 平 行 四 边 形 , ∴ AB ∥ DG . ∵ AB ? 平 面 DEG , ∴ AB ∥平 面 DEG . ( Ⅱ) 证 明 : ∵ E F ⊥ 平 面 AEB , AE ? 平 面 AEB , ∴ EF ⊥ AE , 又 AE ⊥ EB , EB ∩ EF=E , EB , E F ? 平 面 BC FE , ∴ AE ⊥平 面 BCFE . 过 D 作 DH ∥ AE 交 EF 于 H , ∵ EG ? 则 DH ⊥平 面 BC FE . 平 面 BC FE , ∴ DH ⊥ EG . DH ∥ AE , ∵ AD ∥ EF , ∴四 边 形 AEHD 平 行 四 边 形 , ∴ EH=AD=2 , ∴ EH=BG=2 , 又 EH ∥ BG , EH ⊥ BE , ∴四 边 形 BGHE 为 正 方 形 ,∴ BH ⊥ EG . 又 BH ∩ DH=H ,BH ? 平 面 BHD ,DH ? 平 面 BHD , ∴ EG ⊥平 面 BHD . ∵ BD ? 平 面 BHD , ∴ BD ⊥ EG . ( Ⅲ) 分 别 以 EB 、 E F 、 EA 为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 , 建 立 空 间 坐 标 系 , 由 已 知 得 是 平 面 E FDA 的 法 向 量 . 设 平 面 DC F 的 法 向 量 为 n= ( x , y , z ) , ∵ ,



,即

, 令 z=1 , 得 n = ( ﹣ 1 , 2 , 1 ) . 设 二 面 角 C﹣ DF

﹣ E 的 大 小 为 θ, 则 , ∴二 面 角 C ﹣ D F ﹣ E 的 余 弦 值 为 .

21 . 已 知 点 F ( 0 , 1 ) , 直 线 l : y= ﹣ 1 , P 为 平 面 上 的 动 点 , 过 点 P 作 直 线 l 的 垂 线 , 垂 足 为 Q, 且 . ( 1) 求 动 点 P 的 轨 迹 C 的 方 程 ; ( 2) 已 知 圆 M 过 定 点 D( 0, 2) ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴 交 于 A 、 B 两 点 , 设 |D A|= l 1 , |DB |= l 2 , 求 的最大值.

【考点】圆与圆锥曲线的综合. 【分析】 ( 1) 先 设 出 点 P 的 坐 标 , 代 入 整理即可得到动点 P 的 轨迹 C 的方程; B 两 点 的 坐 标 以 及 |DA |=l 1 , |DB |= l 2 ( 2) 先利用条件设出圆的方程, 并 求 出 A、 的表达式,代入 整理后利用基本不等式求最大值即可.

【解答】 ( 1) 解 : 设 P( x, y) , 则 Q( x, ﹣ 1) , ∵ , ∴( 0 , y+1 ) ? ( ﹣ x , 2 ) = ( x , y ﹣ 1 ) ? ( x , ﹣ 2 ) . 2 2 即 2 ( y+1 ) =x ﹣ 2 ( y ﹣ 1 ) , 即 x =4 y , 所 以 动 点 P 的 轨 迹 C 的 方 程 x 2 =4 y . ( 2) 解 : 设 圆 M 的 圆 心 坐 标 为 M( a, b) , 则 a 2 =4b . ① 圆 M 的半径为 .

圆 M 的 方 程 为 ( x ﹣ a ) 2 + ( y ﹣ b ) 2 =a 2 + ( b ﹣ 2 ) 2 . 令 y=0 , 则 ( x ﹣ a ) 2 + b 2 =a 2 + ( b ﹣ 2 ) 2 , 整 理 得 , x 2 ﹣ 2ax+4b ﹣ 4=0 . ② 由 ① 、 ② 解 得 , x=a ± 2 . 不 妨 设 A( a﹣ 2, 0) , B ( a+2 , 0 ) , ∴ , .



=

,③

当 a≠0 时 , 由 ③得 ,



当且仅当

时,等号成立. .

当 a=0 时 , 由 ③ 得 ,

故当

时,

的最大值为



22 . 已 知 函 数 f ( x ) = lnx ﹣ a ( 1 ﹣

) .

( 1 ) 若 a=1 , 求 f ( x ) 的 单 调 区 间 ; ( 2) 若 f( x) ≥0, 对 任 意 的 x≥1 均 成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ; ( 3) 求 证 : ( ) 1008> e .

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 ( 1) 求 出 f( x) 的 导 数 , 解 关 于 导 函 数 的 不 等 式 , 求 出 函 数 的 单 调 区间即可; ( 2 ) 化 简 可 得 a ( x ﹣ 1 ) ≤ xlnx , 从 而 讨 论 , 当 x > 1 时 , 化 为 a ≤ 令 f( x) = ,从而化为函数的最值问题; , ( x> 1) , 取 x=1+ ,代入整理即可. ,从而

( 3 ) 根 据 lnx > 1 ﹣

【解答】解: ( 1) f( x) 的 定 义 域 是 ( 0, +∞) , a=1 时 , f ( x ) = lnx+ ﹣ 1 ,

f ′( x ) =

, 令 f ′( x ) > 0 , 解 得 : x > 1 , 令 f ′( x ) < 0 , 解 得 : 0 < x < 1 ,

∴f( x) 在 ( 0, 1) 递 减 , 在 ( 1, +∞) ; ( 2 ) ∵ ln x ﹣ a ( 1 ﹣ ∴ ln x ﹣ a ? ≥0, ) ≥0,

∴ a ( x ﹣ 1 ) ≤ xln x , ① 当 x=1 时 , 上 式 成 立 ; ②当 x> 1 时 , 上 式 可 化 为 a≤ ,

令 f( x) =

, 则 f′( x) =



令 g ( x ) =x ﹣ ln x ﹣ 1 , 则 g ′ ( x ) =1 ﹣ 故 g( x) 在 ( 1, +∞) 上 是 增 函 数 , 故 g ( x ) > g ( 1 ) =1 ﹣ 0 ﹣ 1=0 , 故 f′( x) > 0, 故 f( x) = 而 f( x) =

> 0,

在 ( 1, +∞) 上 是 增 函 数 , = =1 ,

故 a≤1; 综 上 所 述 , a≤1.

( 3 ) 由 ( 2 ) 得 a=1 时 , lnx ﹣ a ( 1 ﹣ ∴ lnx > 1 ﹣ , ( x> 1) ,

) ≥0 对 任 意 的 x≥1 均 成 立 ,

取 x=1+

, 则 ln ( 1+

) > 1﹣



即 ln ∴ ∴( >

> ,



) 1008> e



2016 年 7 月 6 日


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