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2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数章末过关检测卷 新人教A版必修4

章末过关检测卷(一) 第一章 三 角 函 数

(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.sin 120°的值是(A) A. C. 3 2 1 2 B.- D.- 1 2 3 2

11 2.把- π 表示成 θ +2kπ (k∈Z)的形式,使|θ |最小的角 θ 的值是(A) 4 3π A.- 4 π B.- 4 π C. 4 3π D. 4

11 3 解析:- π =-2π - π ,故选 A. 4 4 3.若 sin α >0 且 tan α <0,则 α 是(B) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:∵sin α >0,∴α 为第一象限角或第二象限角或终边落在 y 轴非负半轴上,又 ∵tan α <0,∴α 为第二象限角或第四象限角,∴α 为第二象限角.故选 B. 4.集合 M=?x?x=sin
? ?

? ?


3

,k∈Z?中的元素有(C)
?

?

A.无数个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 5.如果函数 f(x )=sin(π x+θ )(0<θ <2π )的最小正周期为 T,且当 x=2 时,取得 最大值,那么(A) π A.T=2,θ = 2 B.T=1,θ =π C.T=2,θ =π π D.T=1,θ = 2

2π 解析 :∵T= =2,f(x)=sin(π x+θ ), π π ∴f(2)=sin(2π +θ )=1,θ = .故选 A. 2

?π ? 3 ? π 3π ? 6.已知 cos? +α ?= ,且α ∈? , ?,则 tan α =(B) 2 ? ?2 ? 5 ?2
A. 4 3 3 3 B. C.- D.± 3 4 4 4

1

3 3 ?π ? 解析:cos? +α ?=-sin α = , sin α =- , 5 5 ?2 ? ∵α ∈?

?π ,3π ?, 2 ? ?2 ?

4 3 ∴cos α =- ,∴tan α = .故选 B. 5 4 sin α +cos α 7.若 =2,则 tan α 的值为(A) 2sin α -cos α 3 A.1 B.-1 C. 4 4 D.- 3

8.圆心角为 60°的扇形,它的弧长为 2π ,则它的内切圆的半径为(A) A.2 B. 3 C.1 D. 3 2

2π 解析:由已知扇形所在圆的半径 R= =6,设该扇形内切圆半径为 r,则 6-r=2r, π 3 ∴r=2,故选 A. 9.使 sin x≤cos x 成立的 x 的一个区间是(A)

? 3π π ? A.?- , ? 4? ? 4

? π π? B.?- , ? ? 2 2?

? π 3π ? C.?- , ? 4 ? ? 4

D.[0,π ]

10. 为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象, 只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有的点(A) 1 1 A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 2 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度

? 1? 解析:y=sin(2x+1)=sin2?x+ ?,所以只需把 y=sin 2x 的图象上所有的点向左平 ? 2?
1 移 个单位,选 A. 2 11.设函数 y=sin(2x-1)的最小正周期为 T,最大值为 A,则(A) A.T=π ,A=1 C.T=π ,A=2 B.T=2π ,A=1 D.T=2π ,A=2

12.(2015?全国高考大纲)函数 f(x)=cos(ω x+φ )的部分图象如图所示,则 f(x)的 单调递减区间为(D)

2

1 3? 1 3? ? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 4 4? 4 4? ? ? 3? 1 3? ? 1 ? C.?k- ,k+ ?,k∈Z D.?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4? 4 4? ? 4 ? 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) π? 3 ? 13.已知 α 为锐角,且 cos?α + ?= ,则 sin α =________. 4? 5 ? π? π? π? 4 π? ?? ? ? 解析:∵α 为锐角,∴sin?α + ?= .∴sin α =sin??α + ?- ?=sin?α + ? 4 4? 5 4? ? 4? ? ? ?? π? π 4 π 2 3 2 2 ? cos -cos?α + ?sin = ? - ? = . 4? 4 4 5 2 5 2 10 ? 答案: 2 10

14.已知角 α 的终边上一点 P 与点 A(-3,2)关于 y 轴对称,角 β 的终边上一点 Q 与 点 A 关于原点对称,那么 sin α +sin β 的值等于________. 解析:点 P 的坐标为(3,2),点 Q 的坐标为(3,-2),∴sin α = β = -2 3 +2
2

2 3 +2
2

2



2 13

,sin

2



-2 13

.

∴sin α +sin β =0. 答案:0 15 . 函 数 f(x) = 3sin(2x + 5θ ) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 则 θ = ________________________. 解析:函数 f(x)=3sin(2x+5θ )的图象关于 y 轴对称,即 f(x)在 x=0 时取得最大值 或最小值.由已知得,f(0)=3sin 5θ =±3,即 sin 5θ =±1,所以 5θ =kπ + 解得 θ = π (k∈Z), 2



π + (k∈Z). 5 10

3

答案:



π + (k∈Z) 5 10

16.已知函数 y=cos x 与函数 y=sin(2x+α ) (0≤α <π ),它们的图象有一个横坐 π 标为 的交点,则 φ 的值是________. 3 π 2π π ? π ? 即 sin?2π +φ ?=1, 解析: 由题意 cos =sin?2? +φ ?, ? 3 ? 2 3 +φ =kπ +(-1)k 6 , 3 3 ? ? ? ? π (k∈z),因为 0≤φ <π ,所以 φ = . 6 π 答案: 6 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知 α ∈?

?π ,π ?,sin α = 5. ? 5 ?2 ?

?π ? (1)求 sin? +α ?的值; ?4 ?
(2)求 cos?

?5π -2α ?的值. ? ? 6 ?

?π ? 解析:(1)要求 sin? +α ?的值,根据两角和的正弦公式,可知还要求得 cos α ,由 ?4 ? ?π ? 于已知 α ∈? ,π ?,所以 cos α <0,利用同角关系可得; 2 ? ?
(2)要求 cos?

?5π -2α ?,由两角差的余弦公式我们知要先求得 sin 2α ,cos 2α ,而 ? ? 6 ?

这由二倍角公式结合(1)可很容易得到本题应该是三角函数最基本的题型,只要应用公式, 不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换, “函数名称”的变换等技巧,可以算得上是 容易题,当然要正确地解题,也必须牢记公式,及计算正确. 试题解析:(1)由题意 cos α = - 1-( 5 2 2 5 ) =- , 5 5

π π 2 ? 2 5? 2 5 10 ?π ? 所以 sin? +α ?=sin cos α +cos sin α = ??- ?+ ? 5 =- 10 . 4 4 2 ? ?4 ? 5 ? 2 4 3 2 (2)由(1)得 sin 2α =2sin α cos α =- ,cos 2α =2cos α -1= , 5 5 所以 cos ? 3 3+4 . 10

?5π -2α ? = cos 5π cos 2 α + sin 5π sin 2 α =- 3 ? 3 + 1 ? ?-4? =- ? ? ? 6 6 2 5 2 ? 5? ? 6 ?

4

1 18.(本小题满分 12 分)已知 sin θ -cos θ = . 5 (1)求 sin θ ?cos θ 的值; (2)当 0<θ <π 时,求 tan θ 的值. 2 1 12 ?1? 2 解析:(1)(sin θ -cos θ ) =1-2sin θ cos θ =? ? = ? sin θ cos θ = . 25 ?5? 25 π (2)因为 0<θ <π 且 sin θ cos θ >0,所以 0<θ < . 2 1 4 ? ?sin θ -cos θ =5, ? ?sin θ =5, 由? ?? 12 3 ? ? ?sin θ cos θ =25 ?cos θ =5, sin θ 4 得 tan θ = = . cos θ 3 π? π? ? ? 19. (本小题满分 12 分)已知函数 y=2acos?2x- ?+b 的定义域是?0, ?, 值域是[- 3? 2? ? ? 5,1],求 a、b 的值. π? π π π 2π 1 ? 解析:∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ .∴- ≤cos?2x- ?≤1. 3? 2 3 3 3 2 ? π? ? 当 a>0 时,-a+b≤2acos?2x- ?+b≤2a+b. 3? ?
?-a+b=-5, ? ?a=2, ? 由已知得,? ∴? ?2a+b=1, ?b=-3. ? ? ? π? ?2a+b=-5, ? ?a=-2, ? 当 a<0 时,2a+b≤2acos?2x- ?+b≤-a+b.由已知得,? ∴? 3? ? ?-a+b=1, ?b=-1. ? ?

π? ? 20.(本小题满分 12 分)函数 f1(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的一段图象 2? ? 如下图所示,

(1)求函数 f1(x)的解析式; π ( 2)将函数 y=f1(x)的图象向右平移 个单位,得函数 y=f2(x)的图象,求 y=f2(x)的 4

5

最大值,并求此时自变量 x 的集合.

T π ? π? π 2π 解析:(1)由图象可知,A=2, = -?- ?= ,∴ω = =2. 2 3 ? 6? 2 T

? π ? ? π? 又∵图象过点?- ,0?,∴2??- ?+φ =kπ (k∈Z). ? 6 ? ? 6?
π? π π ? 又∵|φ |< ,∴φ = .∴f1(x)=2sin?2x+ ?. 3? 2 3 ? π? π ? (2)∵ 将 函数 f1(x) = 2sin ?2x+ ? 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位, 得 到 函 数 f2(x) = 3? 4 ? π? ? ? π? π? ? 2sin?2?x- ?+ ?=2sin?2x- ?的图象. 4 6? 3 ? ? ? ? ? π? π? ? ? ∵函数 f2 (x)=2sin?2x- ?的定义域是 R, ∴函数 f2(x)=2sin?2x- ?的最大值是 2, 6? 6? ? ? π? π π π ? 此时 2x- = +2kπ , x= +kπ (k∈Z),∴当函数 f2(x)=2sin?2x- ?的最大 6? 6 2 3 ?
? ? ? π 值是 2 时,自变量 x 的集合是?x?x= +kπ ,k∈Z?. 3 ? ? ?

21.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)图象的一条 π 对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解析:(1)∵x= π φ =kπ + ,k∈Z. 2 3π 又∵-π <φ <0,∴φ =- . 4 3π ? 3π ? (2)由(1)知 φ =- ,因此 y=sin?2x- ?. 4 ? 4 ? π 3π π 由题意得 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z 时,y 单调递增. 2 4 2 π 5 即 kπ + ≤x≤kπ + π ,k∈Z 时,y 单调递增. 8 8 3π ? π 5π ? ? ? 所以函数 y=sin?2x- ?的单调增区间为?kπ + ,kπ + ?,k∈Z. 4 8 8 ? ? ? ? 22. (本小题满分 10 分)2013 年的元旦, N 市从 0 时到 24 时的气温变化曲线近似地满足 函数 y=A sin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0,|φ |≤π ).从天气台得知:N 市在 2013 年的第 π π ? π ? 是函数 y=f(x)的图象的对称轴,∴sin?2? +φ ?=±1,∴ + 8 8 4 ? ?

6

一天的温度为 1 到 9 度,其中最高气温只出现在下午 14 时,最低气温只出现在凌 晨 2 时. (1)求函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的表达式; (2)若元旦当天 M 市的气温变化曲线也近似地满足函数 y1=A1sin(ω 1x+φ 1)+b1,且气 温变化也为 1 到 9 度,只不过最高气温和最低气温出现的时间都比 N 市迟了 4 小时. ①求早上 7 时,N 市与 M 市的两地温差; ②若同一时刻两地的温差不超过 2 度,我们称之为温度相近,求 2013 年元旦当日,N 市与 M 市温度相近的时长. π 解析:由已知可得:b=5,A=4,T=24? ω = . 12 又最低气温出现在凌晨 2 时,则有 2ω +φ =2kπ - 2 ? ?π 则所求的函数表达式为 y=4sin? x- π ?+5. ?12 3 ? π 2 ,又|φ |≤π ? φ =- π . 2 3

?π ? (2) 由已知得 M 市的气温变化曲线近似地满足函数 y1 = 4sin? x-π ? + 5 , y - y1 = ?12 ?
2 ? ? ?π ?π ?? 4?sin? x- π ?-sin? x-π ?? 12 3 ? ? ? ?12 ?? =4?sin? =4sin?

? ?

?π x-2π ?+sinπ x? ? ? 12 ? ?12 3 ?

?π x-π ?. ? 3? ?12

π? ?π ①当 x=7 时,y-y1=4sin? ?7- ?=2 2. 3? ?12 ②由|y-y1 |≤2? -2≤4sin?

?π x-π ?≤2? 2≤x≤6 或 14≤x≤18. 3? ?12 ?

则 2013 年元旦当日,N 市与 M 市温度相近的时长为 8 小时.

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