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宁夏银川市第二中学2016届高三上学期统练(三)数学(文)试题


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银川二中 2016 届高三文科统练三试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 考生注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填 写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号.

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1. 若集合 M={-1,0,1} ,N={0,1,2} ,则 M∩N 等于( A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} )

D.{-1,0,1,2} )

2.下列函数中,在 (?1,1) 内有零点且单调递增的是( A. y = log 1 x
2

B. y = 2 - 1

x

C. y ? x ?
2

1 2

D. y ? ? x

3

3. 若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的 ( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

)

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

4.已知在等差数列 {an } 满足: a11 ? a4 ? 4, a3 ? a7 ? a10 ? 0 , 记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 则 S13=( A.78 B.68 ) C.56 D.52 ) D.0 )

5.若向量 a, b, c满足a // b, 且a ? c, 则 c ? (a ? 2b) ? ( A.4 6. 若 sin ?? ? ? ? ? B.3 C.2

tan ? 1 1 为 ( ,sin ?? ? ? ? ? ,则 tan ? 2 3

A.5

B. ?1

C.6

D.

1 6
中使得 Sn 取的

7. 设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 ;则数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn
·1·

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最大值的序号 n 为( A.4 B.5

) C.6 D.7

8.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ?

π? ?π ?? 1) ,则该简谐运动的最小正周期 x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, 2? ?3 ??
) B. T ? 6 , ? ?

T 和初相 ? 分别为(
A. T ? 6 , ? ?

π 6 π 6

π 3 π 3
) D. a ? b <0
2 2

C. T ? 6 π , ? ?

D. T ? 6 π , ? ?

9.设 a, b∈R,若 a ? b >0,则下列不等式中正确的是( A. b ? a >0 B.a3+b3<0 C.b+a>0

10.已知 a1>a2>a3>0,则使得 (1 ? ai x)2 ? 1(i ? 1 , 2, 3) 都成立的 x 取值范围是( A. ? 0, ?



? ?

1? a1 ?

B. ? 0, ?

? ?

2? a1 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? a3 ?
C )

D. ? 0, ?

? ?

2? a3 ?

11 . 已 知 | OA |? 1, | OB |? 3 , OA ? OB ? 0, 点
OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则
m 等于( n

在 ?AOB 内 , 且 ?AOC ? 30? ,

2 3 C. D. 3 0 3 2 0 1 12.当 0< x ≤ 时, 4x ? log a x ,则 a 的取值范围是( ) 2 0 9 0 2 2 A.(0, ) B.( ,1) C.(1, 2) D.( 2,2) 2 2 9 4 0 5 分,共 20 分) 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 0 4 x ? y ? 9 ? 2? 0, ? 13.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 1 ?00 ,则 x -3 y 的最大值是_______ . A.3 B.
1 3

?y ? 3 ?

2 14 . 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn ? n ? 9 n, 则 其 通 项 an ? ________ ;

15 . 函 数

y ? a1? x (a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx? ny ? 1 ? 0, (m ? 0, n ? 0) 上,则

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1 1 ? 的最小值为 m n



16.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 的表面积为________.

3 2 ,底面边长为 3,则以 O 为球 心,OA 为半径的球 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的周长为 4( 2 ? 1) ,且 sin B ? sin C ? (Ⅰ)求边长 a 的值;

2 sin A .

(Ⅱ)若 S ?ABC ? 3 sin A ,求 cos A 的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1).
2 (Ⅰ)当 a // b 时,求 2cos x ? sin 2 x 的值;

?

3 ? 2

? ?

(Ⅱ)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? ?

?

?

?

? ? ? , 0 上的值域. ? 2 ? ?

19. (本小题满分 12 分) 已知某几何体的俯视图是如图 1 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8,高为 4 的等 腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 腰三角形. (Ⅰ)求该几何体的体积 V ; (Ⅱ)求该几何体的侧面积 S . 8 图1 6 的 等

20. (本小题满分 12 分)
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设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, 已知 S3 ? 7 , 且 a1 ? 3 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. 3 , a2 , a3 4 ? 构成等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式. (Ⅱ)令 bn ? an ? log2 an 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a 。 x

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 2 x ln x ? 2m x ? 1 在 [1, e] 恒成立,求 m 的取值范围。
2

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, AC 是弦, ?BAC 的平分线 AD 交⊙ O 于点 D , DE ? AC ,交 AC 的 延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F . (Ⅰ)求证: DE 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若

AF AC 3 ? ,求 的值. DF AB 5

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐系与参数方程)

[:]

以平面直角坐标系的原点为极点,正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位, 设 点 A 的 极 坐 标 为 ( 2,

?
6

) ,直线 l 过点 A 且与极轴成角为

? ? 2 cos(? ? ) .
4
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?

? ,圆 C 的极坐标方程为 3

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(Ⅰ) 写出直线 l 参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ) 设直线 l 与曲线圆 C 交于 B 、 C 两点,求 AB . AC 的值.

24. (本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? x ? 1 ? x ? 2 的最小值为 a . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 p, q, r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q 2 ? r 2 ? 3 .

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银川二中 2016 届高三文科统练三试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 考生注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填 写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号.

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1. 若集合 M={-1,0,1} ,N={0,1,2} ,则 M∩N 等于( A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} A )

D.{-1,0,1,2} B )
3

2.下列函数中,在 (- 1, 1) 内有零点且单调递增的是( A. y = log 1 x
2

B. y = 2 - 1

x

C. y = x A )

2

1 2

D. y = - x

3. 若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 D )

4.已知等差数列 {an } a3 ? a7 ? a10 ? 0, a11 ? a4 ? 4 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,S13=( A.78 B.68 C.56 D.52 D D.0 A ) )

5.若向量 a, b, c满足a // b, 且a ? c, 则c ? (a ? 2b) ? ( A.4 6. 若 sin ?? ? ? ? ? B. 3 C.2

tan ? 1 1 为 ( ,sin ?? ? ? ? ? ,则 tan ? 2 3

A.5

B. ?1

C.6

D.

1 6

7. 设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。则数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 之 中使得 Sn 最大的序号 n 的 值为( B )
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A.4

B.5

C.6

D.7

8.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ?

π? ?π ?? 1) ,则该简谐运动的最小正周期 x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, 2? ?3 ??
) B. T ? 6 , ? ?

T 和初相 ? 分别为(
A. T ? 6 , ? ?

A

π 6 π 6

π 3 π 3
C )

C. T ? 6 π , ? ?

D. T ? 6 π , ? ?

9.设 a, b∈R,若 a ? b >0,则下列不等式中正确的是( A. b ? a >0 C.b+a>0 B.a3+b3<0 D. a ? b <0
2 2

10.已知 a1>a2>a3>0,则使得 (1 ? ai x)2 ? 1(i ? 1 , 2, 3) 都成立的 x 取值范围是( A. ? 0, ?

B



? ?

1? a1 ?

B. ? 0, ?

? ?

2? a1 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? a3 ?
C

D. ? 0, ?

? ?

2? a3 ?

11 . 已 知 | OA |? 1, | OB |? 3 , OA ? OB ? 0, 点
OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则
m 等于( n

在 ?AOB 内 , 且 ?AOC ? 30? , )

A

2 3 C. D. 3 0 3 0 1 12.当 0< x ≤ 时, 4x ? log a x ,则 a 的取值范围是( B ) 2 9 0 2 2 A.(0, ) B.( ,1) C.(1, 2) D.( 2,2) 2 2 4 2 5 分,共 20 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 0 A.3 B.
1 3

?4 x ? y ? 9 ? 0, ? 13.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x -3 y 的最大值是__-1 __ . ?y ? 3 ?
2 14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 9n ,则其通项 an ? 2n-10;若它的第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,

则k ?

8
1? x



15.函数 y ? a

(a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0) 上,则
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1 1 ? 的最小值为 m n

4



16.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 表面积为___24π_____.

3 2 ,底面边长为 3,则以 O 为球心,OA 为半径的球的 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的周长为 4( 2 ? 1) ,且 sin B ? sin C ? (1)求边长 a 的值;

2 sin A .

(2)若 S ?ABC ? 3 sin A ,求 cos A 的值.

17.解 (1)根据正弦定理, sin B ? sin C ? 联立方程组 ?

2 sin A 可化为 b ? c ? 2a .

? ?a ? b ? c ? 4( 2 ? 1) ? ?b ? c ? 2a

,解得 a ? 4 .

(2)? S ?ABC ? 3 sin A ,?

1 bc sin A ? 3 sin A 2

? bc ? 6 .

又由(1)可知, b ? c ? 4 2 , 由余弦定理得 ∴ cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c) 2 ? 2bc ? a 2 1 ? ? 2bc 2bc 3
3 ? 2

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1).
2 (1)当 a // b 时,求 2cos x ? sin 2 x 的值;

?

? ?

(2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? ? (1)? a || b ,∴

?

?

?

? ? ? , 0 上的值域. ? 2 ? ?

? ?

3 3 cos x ? sin x ? 0 ,∴ tan x ? ? 2 2

2cos 2 x ? sin 2 x ?
? ?

2cos 2 x ? 2sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 ? ? . sin 2 x ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 13
1 2

(2)? a ? b ? (sin x ? cos x, )
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? ? ? 2 ? f ( x) ? (a ? b) ? b ? sin(2 x ? ) 2 4
∵?

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

3? ? ? ? 2 ? 2 x ? ? ,∴ ?1 ? sin(2 x ? ) ? 4 4 4 4 2
∴函数 f ( x )的值域为??

∴?

2 1 ? f ( x) ? 2 2

? ?

2 1? , ?. 2 2?

19. (本小题满分 12 分) 已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8,高为 4 的等 腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长 腰三角形. (1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S . 19 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形, 面的射影是矩形中心的 四棱锥 V-ABCD ; (1) 8 图5 高为 4,顶点在底 6 为 6,高为 4 的等

1 V ? ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为

?8? h1 ? 4 ? ? ? ? 4 2 , 另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形, ?2?
2

2

AB 边上的高为 因此

?6? h2 ? 4 ? ? ? ? 5 ?2?
2

2

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2

20. (本小题满分 12 分)

Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, 已知 S3 ? 7 , 且 a1 ? 3 3 , a2 , a3 4 ?
构成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式. (2)令 bn ? an ? log2 an 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
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?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 20.解: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
解得 a2 ? 2 . 设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

2 ,a3 ? 2q . q

又 S3 ? 7 ,可知
2

2 ? 2 ? 2q ? 7 , q

即 2q ? 5q ? 2 ? 0 , 解得 q1 ? 2,q2 ?

1 . 2

, ?q ? 2. 由题意得 q ? 1

? a1 ? 1 .
故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 . (2)数列 ?bn ?的通项公式为 bn ? an ? log2 an ? (n ?1) ? 2n?1 所以数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 为: Tn ? (n ? 2) ? 2n ? 2 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a 。 x

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 2 x ln x ? 2m x ? 1 在 [1, e] 恒成立,求 m 的取值范围。
2

21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 a x?a ? 2 ? 2 ( x ? 0) x x x

当 a ? 0 时, x ? (0,?a), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,

x ? (?a,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增。
当 a ? 0 时, x ? (0,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增。
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(Ⅱ) 2 x ln x ? 2m x ? 1 ,得到
2

ln x 1 ? 2 ?m x 2x

ln x 1 ? 2 x 2x 1 网] a ? ?1时, f ( x) ? ln x ? x
令 函数 g ( x ) ?

g ?( x) ?

1 ? ln x ? x2

1 x [ 来源 : 学

优 高 考

x ? (0,1), f ?( x) ? 0, f ( x)











x ? (1,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增。
1 f ( x) ? f (1) ? 1 ,即 ln x ? ? 1 , g ?( x) ? x

1 ? ln x ? x2

1 x ?0

g ( x) 在 x ? (0,??), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调递减,
在 [1, e] , g ( x ) ? g (1) ?

1 ln x 1 1 ? 2 ? m 恒成立,则 m ? 。 ,若 2 x 2x 2

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, AC 是弦, ?BAC 的平分线 AD 交⊙ O 于点 D , DE ? AC ,交 AC 的 延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F . (1)求证: DE 是⊙ O 的切线; (2)若

AF AC 3 ? ,求 的值. DF AB 5
∴DE 是的⊙O 切线

(I)证明:连结 OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD//AE 又 AE⊥DE ∴OE⊥OD,又 OD 为半径 (II)解:过 D 作 DH⊥AB 于 H, 则有∠DOH=∠CAB

cos ?DOH ? cos ?CAB ?

AC 3 ? AB 5

错误!未找到引用源。 由△AED≌△AHD 可得 AE=AH=8x

错误!未找到引用源。 设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,则 AH=8x

AF AE 8 又由△AEF∽△DOF 可得 ? ? 错误!未找到引用源。 DF OD 5
23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐系与参数方程 以平面直角坐标系的原点为极点,错误!未找到引用源。轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐 标系中取相同的长度单位,设点 A 的极坐标为 ( 2, 坐标方程为 ? ?

?
6

) ,直线 l 过点 A 且与极轴成角为

2 cos( ? ?

?
4

? ,圆 C 的极 3

).

(1) 写出直线 l 参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2) 设直线错误!未找到引用源。 l 与曲线圆 C 交于 B 、 C 两点,求 AB . AC 的值.

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(1)由题知 A(2,

?
6

) 的直角坐标为 A( 3 ,1) ,所以直线 l 过 A 点倾斜角为

?
3

的参数方程为

1 ? x? 3? t ? 2 ? (t为参数) ? ?y ? 1? 3 t ? 2 ?

? ? ? 2 cos(? ? ) ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? 2 ? ? cos ? ? ? sin ? 4
所以圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 (2)将直线的参数方程代到圆 C 的直角坐标方程中整理得:

?

t2 ? (

3 3 ?1 )t ? 3 ? 3 ? 0 设 B,C 对应的参数分别为 t1 , t 2 2

? AB ? AC ? t1 ? t 2 ? 3 ? 3
24. (本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? x ? 1 ? x ? 2 的最小值为 a . (1)求 a 的值; (2)若 p, q, r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q 2 ? r 2 ? 3 . (1)? x ?1 ? x ? 2 ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 3 当且仅当 ?1 ? x ? 2 时,等号成立, (2)由(1)知 p ? q ? r ? 3 ,又 p, q, r ? R
?

? f ( x) m i n ? 3 ,a ? 3

2 =9) ?( p2 ? q2 ? r 2) ( 12 ? 12 ? 12 )? p( ? q ? r

即 p ?q ?r ?3
2 2 2

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