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沾化区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

沾化区实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知实数 a,b,c 满足不等式 0<a<b<c<1,且 M=2a,N=5﹣b,P=( )c,则 M、N、P 的大小关系为 ( ) A.M>N>P B.P<M<N C.N>P>M   2. 直线 l 将圆 x2+y2﹣2x+4y=0 平分,且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l 的方程是( A.x﹣y+1=0,2x﹣y=0 B.x﹣y﹣1=0,x﹣2y=0 C.x+y+1=0,2x+y=0 D.x﹣y+1=0,x+2y=0 3. 函数 f ( x) = ln x + A. (0,??) )

姓名__________

分数__________

1 2 x + ax 存在与直线 3 x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( 2 B. ( ??,2) C. ( 2,??) D. (??,1]




【命题意图】 本题考查导数的几何意义、 基本不等式等基础知识, 意在考查转化与化归的思想和基本运算能力. 4. 如图,该程序运行后输出的结果为(

A.7 B.15 C.31 D.63   5. 某企业为了监控产品质量,从产品流转均匀的生产线上每间隔 10 分钟抽取一个样本进行检测,这种抽样 方法是( A.抽签法 A. {?2, ?1, 0} ) B.随机数表法 B. {?1, 0,1, 2} C.系统抽样法 C. {?2, ?1, 0} D.分层抽样法 ) D. {?1,, 0,1}

6. 已知集合 A ? {?2, ?1, 0,1, 2,3} , B ? { y | y ?| x | ?3, x ? A} ,则 A ? B ? ( 【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力. 7.

下列命题正确的是(



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A.很小的实数可以构成集合. B.集合 ? y | y ? x 2 ? 1? 与集合 ?? x, y ? | y ? x 2 ? 1? 是同一个集合. C.自然数集 N 中最小的数是. D.空集是任何集合的子集.
8. 函数 f(x)=sinωx(ω>0)在恰有 11 个零点,则 ω 的取值范围( A. C. D.时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为( ) A.a+3 B.6 C.2 D.3﹣a   9. 已知两条直线 ax+y﹣2=0 和 3x+(a+2)y+1=0 互相平行,则实数 a 等于( A.1 或﹣3 B.﹣1 或 3 C.1 或 3 D.﹣1 或﹣3 ) 10.以下四个命题中,真命题的是( A. ?x ? (0,? ) , sin x ? tan x B.“对任意的 x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“存在 x0 ? R , x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 C. ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 D. ?ABC 中,“ sin A ? sin B ? cos A ? cos B ”是“ C ? )



?
2

”的充要条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识,意在考查逻辑推理能力. 11.双曲线 A. B.2 C. =1(m∈Z)的离心率为( D.3 ) C、 ? ? ?1, 2? D、 ? ? ?0? B、 ?2? ? ?2,3? )

12.下列式子表示正确的是( A、 0 ? ?0, 2,3?

二、填空题
13.已知(1+x+x2)(x )n(n∈N+)的展开式中没有常数项,且 2≤n≤8,则 n=      . 上的函数 满足 , 为 的导函数,且

14.【南通中学 2018 届高三 10 月月考】定义在



恒成立,则

的取值范围是__________________.

15.一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是      . 16.已知 | a |? 2 , | b |? 1 , ?2a 与 b 的夹角为 17.若函数 f(x)=

1 3

?
3

,则 | a ? 2b |?



﹣m 在 x=1 处取得极值,则实数 m 的值是  . 

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18 . 已 知 函 数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ?
2

1 ? 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 x ? , 则 函 数 f ( x) 的 最 大 值 为 2 6

___________. 【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思 想与方程思想.

三、解答题
19.已知三次函数 f(x)的导函数 f′(x)=3x2﹣3ax,f(0)=b,a、b 为实数. (1)若曲线 y=f(x)在点(a+1,f(a+1))处切线的斜率为 12,求 a 的值; (2)若 f(x)在区间[﹣1,1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1,且 1<a<2,求函数 f(x)的解析式.  

20.如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 旋转一周所成几何体的表面积.

,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD

21.已知 p:2x2﹣3x+1≤0,q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0 (1)若 a= ,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

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22.某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均 为不低于 40 分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),[90,100)后得到如图的频率分布直方图. (Ⅰ)求图中实数 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数; (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生,试用列举法求 这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

23.已知 和 均为给定的大于 1 的自然数,设集合

, , ,..., . ..。 ,其中

,集合

..。 (1)当 (2)设 、 , ,

, ..。 ,则 .

, ,

, ,...,

时,用列举法表示集合 ; 、 , ,

,..., .证明:若

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24.已知函数 f(x)=lnx﹣a(1﹣ ),a∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的最小值为 0. (i)求实数 a 的值; (ii)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=f(an)+2,记[x]表示不大于 x 的最大整数,求证:n>1 时[an]=2.    

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沾化区实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:∵0<a<b<c<1, ∴1<2a<2, 5﹣b=( 故选:A 【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键.   2. 【答案】C 【解析】解:圆 x2+y2﹣2x+4y=0 化为:圆(x﹣1)2+(y+2)2=5,圆的圆心坐标(1,﹣2),半径为 将圆 x2+y2﹣2x+4y=0 平分,且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l 经过圆心与坐标原点.或者直线经过圆心,直线 的斜率为﹣1, ∴直线 l 的方程是:y+2=﹣(x﹣1),2x+y=0,即 x+y+1=0,2x+y=0. 故选:C. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,直线的截距式方程的求法,考查计算能力,是基础题.   3. 【答案】D 【解析】因为 f ?( x) ? 因为 x + ,直线 l <5﹣b<1, )c>( <( )c, )c<1,

)b>(

即 M>N>P,

1 1 ? x ? a ,直线的 3 x ? y ? 0 的斜率为 3 ,由题意知方程 ? x ? a ? 3 ( x > 0 )有解, x x

1 ? 2 ,所以 a ? 1 ,故选 D. x


4. 【答案】如图,该程序运行后输出的结果为( D 【解析】解:因为 A=1,s=1 判断框内的条件 1≤5 成立,执行 s=2×1+1=3,i=1+1=2; 判断框内的条件 2≤5 成立,执行 s=2×3+1=7,i=2+1=3;

判断框内的条件 3≤5 成立,执行 s=2×7+1=15,i=3+1=4; 判断框内的条件 4≤5 成立,执行 s=2×15+1=31,i=4+1=5; 判断框内的条件 5≤5 成立,执行 s=2×31+1=63,i=5+1=6; 此时 6>5,判断框内的条件不成立,应执行否路径输出 63,所以输入的 m 值应是 5.

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故答案为 5. 【点评】 本题考查了程序框图中的当型循环结构, 当型循环是先判断后执行, 满足条件进入循环, 不满足条件, 算法结束.   5. 【答案】C 【解析】解:由题意知,这个抽样是在传送带上每隔 10 分钟抽取一产品,是一个具有相同间隔的抽样,并且 总体的个数比较多, ∴是系统抽样法, 故选:C. 【点评】本题考查了系统抽样.抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样,抽样选用哪一种抽样形式, 要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少,可采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大 ,可采用系统抽样,若总体的个体差异较大,可采用分层抽样.属于基础题.   6. 【答案】C 【解析】当 x ? {?2, ?1, 0,1, 2,3} 时, y ?| x | ?3 ? {?3, ?2, ?1, 0} ,所以 A ? B ? {?2, ?1, 0} ,故选 C. 7. 【答案】D 【解析】 试题分析:根据子集概念可知,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以选项 D 是正确,故 选 D. 考点:集合的概念;子集的概念. 8. 【答案】A 【解析】A. C. D.恰有 11 个零点,可得 5π≤ω? 求得 10≤ω<12, 故选:A. 9. 【答案】A 【解析】解:两条直线 ax+y﹣2=0 和 3x+(a+2)y+1=0 互相平行, 所以 = ≠ , <6π,

解得 a=﹣3,或 a=1. 故选:A.   10.【答案】D

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11.【答案】B 【解析】解:由题意,m2﹣4<0 且 m≠0,∵m∈Z,∴m=1 ∵双曲线的方程是 y2﹣ x2=1 ∴a2=1,b2=3, ∴c2=a2+b2=4 ∴a=1,c=2, ∴离心率为 e= =2. 故选:B. c2=a2+b2 【点评】 本题的考点是双曲线的简单性质, 考查由双曲线的方程求三参数, 考查双曲线中三参数的关系 : .   12.【答案】D 【解析】 试题分析:空集是任意集合的子集。故选 D。 考点:1.元素与集合的关系;2.集合与集合的关系。

二、填空题
13.【答案】 5 .   【解析】二项式定理. 【专题】计算题. 【分析】要想使已知展开式中没有常数项,需(x x )n(n∈N+)的通项公式讨论即可. )n(n∈N+)的展开式中无常数项、x﹣1 项、x﹣2 项,利用(

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【解答】解:设(x

)n(n∈N+)的展开式的通项为 Tr+1,则 Tr+1=

xn﹣rx﹣3r=

xn﹣4r,2≤n≤8,

当 n=2 时,若 r=0,(1+x+x2)(x 当 n=3 时,若 r=1,(1+x+x2)(x 当 n=4 时,若 r=1,(1+x+x2)(x

)n(n∈N+)的展开式中有常数项,故 n≠2; )n(n∈N+)的展开式中有常数项,故 n≠3; )n(n∈N+)的展开式中有常数项,故 n≠4; )n(n∈N+)的展开式中均没有常数项,故 n=5 适合

当 n=5 时,r=0、1、2、3、4、5 时,(1+x+x2)(x 题意; 当 n=6 时,若 r=1,(1+x+x2)(x 当 n=7 时,若 r=2,(1+x+x2)(x 当 n=8 时,若 r=2,(1+x+x2)(x 综上所述,n=5 时,满足题意. 故答案为:5.

)n(n∈N+)的展开式中有常数项,故 n≠6; )n(n∈N+)的展开式中有常数项,故 n≠7; )n(n∈N+)的展开式中有常数项,故 n≠2;

【点评】本题考查二项式定理,考查二项展开式的通项公式,突出考查分类讨论思想的应用,属于难题. 14.【答案】

【解析】
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睛 : 函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上 看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起 到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这 是非常必要的。根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧。许多问 题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效。 15.【答案】 2:1 . 【解析】解:设圆锥、圆柱的母线为 l,底面半径为 r, 所以圆锥的侧面积为: 圆柱的侧面积为:2πrl 所以圆柱和圆锥的侧面积的比为:2:1 故答案为:2:1   16.【答案】 2 【解析】解析:本题考查向量夹角与向量数量积的应用. a 与 b 的夹角为 ∴ | a ? 2b |? 17.【答案】 ﹣2 【解析】解:函数 f(x)= 由函数 f(x)= 即有 f′(1)=0, 即 m+2=0,解得 m=﹣2, 即有 f′(x)=﹣2x2+2x=﹣2(x﹣1)x, 可得 x=1 处附近导数左正右负,为极大值点. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查导数的运用:求极值,主要考查由极值点求参数的方法,属于基础题.   18.【答案】1 【 解 析 】 ﹣m 的导数为 f′(x)=mx2+2x, =πrl

2? , a ? b ? ?1 , 3

(a ? 2b) 2 ? | a |2 ?4a ? b ? 4 | b |2 ? 2 .

﹣m 在 x=1 处取得极值,

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三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)由导数的几何意义 f′(a+1)=12 ∴3(a+1)2﹣3a(a+1)=12 ∴3a=9∴a=3 (2)∵f′(x)=3x2﹣3ax,f(0)=b ∴ 由 f′(x)=3x(x﹣a)=0 得 x1=0,x2=a ∵x∈[﹣1,1],1<a<2 ∴当 x∈[﹣1,0)时,f′(x)>0,f(x)递增;当 x∈(0,1]时,f′(x)<0,f(x)递减. ∴f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值为 f(0) ∵f(0)=b, ∴b=1 ∵ ∴f(﹣1)<f(1) ∴f(﹣1)是函数 f(x)的最小值, ∴ ∴ ∴f(x)=x3﹣2x2+1 【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率 ; 求函数的最值,一定要注意导数为 0 的根与定义域的关系 .   20.【答案】 【解析】解:四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成的 几何体,如右图: S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面= ,

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πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1=

=

=

  21.【答案】 【解析】解:p: ∴(1)若 a= ,则 q: ∵p∧q 为真,∴p,q 都为真; ∴ ,∴ ; ,q:a≤x≤a+1; ;

∴实数 x 的取值范围为



(2)若 p 是 q 的充分不必要条件,即由 p 能得到 q,而由 q 得不到 p; ∴ ,∴ ; .

∴实数 a 的取值范围为

【点评】考查解一元二次不等式,p∧q 真假和 p,q 真假的关系,以及充分不必要条件的概念.   22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由频率分布直方图,得: 10×(0.005+0.01+0.025+a+0.01)=1, 解得 a=0.03. (Ⅱ)由频率分布直方图得到平均分: =0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74(分). (Ⅲ)由频率分布直方图,得数学成绩在[40,50)内的学生人数为 40×0.05=2,这两人分别记为 A,B, 数学成绩在[90,100)内的学生人数为 40×0.1=4,这 4 人分别记为 C,D,E,F, 若从数学成绩在[40,50)与[90,100)两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生, 则所有的基本事件有: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),

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(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共 15 个, 如果这两名学生的数学成绩都在[40,50)或都在[90,100)内, 则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10, 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M, 则事件 M 包含的基本事件有:(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E, F),共 7 个, 所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率 P= 图和列举法的合理运用.   23.【答案】 .

【点评】本题考查频率和概率的求法,二查平均分的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意频率分布直方

【解析】 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= ﹣ 当 a≤0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; 当 a>0 时,由 f′(x)>0,解得 x>a;由 f′(x)<0,解得 0<x<a. 所以 f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a). 综上述:a≤0 时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞); a>0 时,f(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+∞). (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知,当 a≤0 时,f(x)无最小值,不合题意; 当 a>0 时,[f(x)]min=f(a)=1﹣a+lna=0, 令 g(x)=1﹣x+lnx(x>0),则 g′(x)=﹣1+ = , = .

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由 g′(x)>0,解得 0<x<1;由 g′(x)<0,解得 x>1. 所以 g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 故[g(x)]max=g(1)=0,即当且仅当 x=1 时,g(x)=0. 因此,a=1. (ⅱ)因为 f(x)=lnx﹣1+ ,所以 an+1=f(an)+2=1+ +lnan.

由 a1=1 得 a2=2 于是 a3= +ln2.因为 <ln2<1,所以 2<a3< . 猜想当 n≥3,n∈N 时,2<an< . 下面用数学归纳法进行证明. ①当 n=3 时,a3= +ln2,故 2<a3< .成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N)时,不等式 2<ak< 成立. 则当 n=k+1 时,ak+1=1+ +lnak,

由(Ⅰ)知函数 h(x)=f(x)+2=1+ +lnx 在区间(2, )单调递增, 所以 h(2)<h(ak)<h( ),又因为 h(2)=1+ +ln2>2, h( )=1+ +ln <1+ +1< . 故 2<ak+1< 成立,即当 n=k+1 时,不等式成立. 根据①②可知,当 n≥3,n∈N 时,不等式 2<an< 成立. 综上可得,n>1 时[an]=2. 【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等 , 考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等,属难题.  

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