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-高中数学 3.4 反证法同步课件 北师大版选修1-2_图文

§4 反证法
【课标要求】 1.了解间接证明的一种基本方法——反证法. 2.了解反证法的思考过程、特点.
3.理解反证法的推理过程,证明步骤,体会直接证明与间 接证明的区别与联系. 【核心扫描】 1.体会反证法的思考过程、特点,培养逆向思维能 力.(重点) 2.利用反证法证明.(难点、重点)

3.反证法的假设.(易错点)

自学导引
1.反证法的定义 在证明数学问题时,先假定 命题结论的反面 成立,在这个 前提下若推出的结果与 定义 、 公理 、 定理 矛盾,或 与命题中的 已知条件 相矛盾,或与 假定 相矛盾,从 而断定命题结论的反面 不可能成立,由此断定.命题的结论. 成立,这种证明方法叫作反证法.

2.反证法证明的思维过程 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否 定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑 矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程. 用反证法证明命题“若 p 则 q”的过程可以用以下框图 表示: 肯定条件p, 导致逻 ―→ ―→ “p且綈q”为假 ―→ 否定结论q 辑矛盾

“若p则q”为真

想一想:分析反证法证明命题“若p则q”时,可能会出现几

种情况?
提示 可能会出现以下三种情况: (1)导出非p为真,即p假,也就是与原命题的条件矛盾; (2)导出q为真,即与假设“非q为真”矛盾; (3)导出一个恒假命题,即与定义、公理、定理矛盾.

名师点睛
1.反证法的特征 通过导出矛盾,归结为谬误而使命题得证.因此,这种反 证法也叫归谬法. 2.反证法矛盾构设的几种情况 在反证法的应用中,其难点是如何引出矛盾,用反证法证 明命题“若p则q”时,引出矛盾的形式有下面三个方面:

(1)假设结论q不成立,经过推理论证得到条件p不成立,即
与原命题的条件矛盾. (2)假设结论q不成立,经过推理论证得到结论q成立,即由 “非q为真”推出了“q为真”,形成了自相矛盾.

(3)假设结论q不成立,经过推理论证得到了一个恒假命

题,即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾,或与某
个概念结论显然矛盾. 3.反证法的应用 反证法主要适用于以下几种情形: (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出 结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而

从反面进行证明,只需研究一种或很少的几种情形.

4.反证法的证题步骤

题型一

“否定”型命题

【例1】 设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1, 求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1. [思路探索] 由条件不能正面证明结论,采用反证法假设结

论不成立,将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾.

证明

假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,因为ad-bc=

1,所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0, 即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0, 所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0, 所以a=b=c=d=0,这与已知条件ad-bc=1矛盾.

故假设不成立,所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
规律方法 本题为“否定”型命题,显然从正面证明需 要证明的情况太多,不但过程繁琐而且容易遗漏,故可以 考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”、“都 不”等否定性词语时,宜采用反证法证明.

【训练 1】 用反证法证明: 已知 a, b 均为有理数, 且 a和 b 都是无理数,求证: a+ b是无理数. 证明 假设 a+ b为有理数,
则( a+ b)( a- b)=a-b. 由 a>0,b>0,得 a+ b>0. a -b ∴ a- b= a+ b ∵a、b 为有理数,且 a+ b为有理数, a-b ∴ 为有理数,即 a- b为有理数, a+ b ∴( a+ b)+( a- b)为有理数, 即 2 a为有理数.

从而 a也应为有理数,这与已知 a为无理数矛盾. ∴ a+ b一定为无理数.

题型二

“唯一”型命题

【例2】 用反证法证明:过已知直线a外一点A有且只有一条
直线b与已知直线a平行. [思路探索] 由平行直线的定义可知过直线外一点至少可以 作一条已知直线的平行线.而“只有一条”可通过假设过 点A有两条直线与直线a平行,由平行公理推出与假设矛 盾. 证明 由两条直线平行的定义和几何图形可知,过点A至 少有一条直线与直线a平行.假设过点A还有一条直线b′ 与已知直线a平行,即b∩b′=A,b′∥a.因为b∥a,由平 行公理知b′∥b.这与假设b∩b′=A矛盾,所以假设错 误,原命题成立.

规律方法

用反证法证明问题时要注意以下三点:

(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈
现多样性时,必须罗列出各种可能结论,缺少任何一种可 能,反证都是不完全的; (2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作 为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结 论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法; (3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与

假设矛盾,有的与事实矛盾等,推导出的矛盾必须是明显
的.

【训练2】 已知两条相交直线a,b,求证:直线a,b有且只有

一个交点.
证明 假设结论不成立,即有两种可能: 无交点;至少有两个交点. (1)若直线a,b无交点,那么a∥b或a,b是异面直线,与已 知矛盾; (2)若直线a,b至少有两个交点A和B,这样同时经过点A,B 就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛

盾.
综上所述,两条相交直线a,b有且只有一个交点.

题型三

“至多”、“至少”型命题

【例3】 (12分)已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax 2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,和y=cx2+2ax+b确定的三条
拋物线至少有一条与x轴有两个不同的交点. 审题指导 【解题流程】 当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式

时,适合用反证法.

[规范解答] 假设题设中的函数确定的三条拋物线都不

与x轴有两个不同的交点.
由y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得Δ1=(2b)2-4ac≤0, 且Δ2=(2c)2-4ab≤0, 且Δ3=(2a)2-4bc≤0.

(2分)

(5分)

同向不等式求和得:

4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0 ∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0 ∴a=b=c 这与题设a,b,c互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证. (8分)

(7分)

(9分) (10分)

(12分)

【题后反思】 常见的“结论词”与“反设词” 原结论词 反设词 原结论词 反设词 原结论词 反设词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 一个也没有( 至多有n- 至少有n+ 至少有两个 不存在) 1个 1个 只有一个 没有或至 少有两个 都是 是 对所有x成立 存在某个 x不成立 p或q 綈p且綈q 对任意x不成立 存在某个x成立 p且q 綈p或綈q

不都是 不是

【训练3】已知a1+a2+a3+a4>100,求证:a1,a2,a3,a4中至

少有一个数大于25.
证明 假设a1,a2,a3,a4都不大于25,即a1≤25,a2≤2 5,a3≤25,a4≤25,则a1+a2+a3+a4≤25+25+25+25= 100.这与已知a1+a2+a3+a4>100矛盾,故假设不成立. 所以,a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25.

误区警示

用反证法证明时,忽略步骤致错

已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反证法证 【示例】 明:关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.

[错解] 假设方程 x2-2x+5-p2=0 有实根, 由已知实数 1 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0,解得-2<p<-2,方 程 x2-2x+5-p2=0 的判别式 Δ=4(p2-4),∵-2<p 1 <-2, 1 2 ∴4<p <4,∴Δ<0. 即关于 x 的方程 x2-2x+5-p2=0 无实根.

利用反证法进行证明时,首先要对所要证明的结

论进行否定性的假设,并以此为条件进行推理,得到矛
盾,从而证明原命题成立.即反证法必须严格按照“否定 →推理→否定”的步骤进行.
[正解] 假设方程 x2-2x+5-p2=0 有实根, 则该方程的 判别式 Δ=4-4(5-p2)≥0,解得 p≥2 或 p≤-2,而由 已知实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0 得-2<p<- 1 2,二者矛盾,所以假设错误,从而原方程无实根.

(1)应用反证法证题时必须先否定结论.

(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作
为条件,且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结 论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.


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