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平邑县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

平邑县高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学 一、选择题
1. 设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 则 r=( 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ A. C. ) B. D. ) ,类比这个结论可

知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,

2. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),P(0<X<4)=0.8,则 P(X>4)的值等于( A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 )

3. 底面为矩形的四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 的表面上,且 O 在底面 ABCD 内,PO⊥平面 ABCD,当四 棱锥 PABCD 的体积的最大值为 18 时,球 O 的表面积为( A.36π C.60π B.48π D.72π )

4. 如图是某几何体的三视图,正视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环,侧视图 是直角梯形.则该几何体表面积等于(

A.12+ A.2015

B.12+23π

C.12+24π

D.12+

π ) C.2116 D.2048

5. 执行下面的程序框图,若输入 x ? ?2016 ,则输出的结果为( B.2016

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6. “ p ? q 为真”是“ ?p 为假”的( A.充分不必要 B.必要不充分

)条件 C.充要 ) D.既不充分也不必要

7. 执行如图所示的程序框图,则输出的 S 等于(

A.19

B.42

C.47

D.89 )

8. 若方程 C:x2+

=1(a 是常数)则下列结论正确的是( B.?a∈R﹣,方程 C 表示双曲线 D.?a∈R,方程 C 表示抛物线 )

A.?a∈R+,方程 C 表示椭圆 C.?a∈R﹣,方程 C 表示椭圆
2

9. ? x∈R,x ﹣2x+3>0 的否定是( C.? x∈R,x2﹣2x+3≤0 A.p∧q B.¬p∧q

A.不存在 x∈R,使? x2﹣2x+3≥0 B.? x∈R,x2﹣2x+3≤0 D.? x∈R,x2﹣2x+3>0 ) D.¬p∧¬q ) 10.已知命题 p:? x∈R,2x<3x;命题 q:? x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是( C.p∧¬q 11.设 i 是虚数单位,若 z=cosθ+isinθ 且对应的点位于复平面的第二象限,则 θ 位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.已知函数 f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当 x<0 时,函数的部分图象如图所示,则不 等式 xf(x)<0 的解集是( )

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A.(﹣2,﹣1)∪(1,2)

B.(﹣2,﹣1)∪(0,1)∪(2,+∞)

C.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(1,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)

二、填空题
13.已知圆 O:x2+y2=1 和双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0).若对双曲线 C 上任意一点 A(点 A 在圆 O ﹣ = .

外),均存在与圆 O 外切且顶点都在双曲线 C 上的菱形 ABCD,则

?2 x ? y ? 2 ? 14.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? 2 x ? ay 仅在点 ( 3, 4 ) 取得最小值,则 a 的 ?x ? y ?1 ?
取值范围是 . +λ )⊥ ,则 λ 的值为 . . . 15.已知向量 =(1,2), =(1,0), =(3,4),若 λ 为实数, ( 16.函数 17.已知线性回归方程 的单调递增区间是 =9,则 b=

18.若不等式组

表示的平面区域是一个锐角三角形,则 k 的取值范围是



三、解答题
19. 在某大学自主招生考试中, 所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科 目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数 学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

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(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的 平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A.在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽 取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

20.如图 1,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连

接 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90°(如图 2 所示),

(1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大;

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(2)当三棱锥 A﹣BCD 的体积最大时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD 上确 定一点 N,使得 EN⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小。

21.设函数 f(x)=a(x+1)2ln(x+1)+bx(x>﹣1),曲线 y=f(x)过点(e﹣1,e2﹣e+1),且在点(0, 0)处的切线方程为 y=0. (Ⅰ)求 a,b 的值;
2 (Ⅱ)证明:当 x≥0 时,f(x)≥x ; 2 (Ⅲ)若当 x≥0 时,f(x)≥mx 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22.(本题 12 分) 正项数列 {an } 满足 an 2 ? (2n ?1)an ? 2n ? 0 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)令 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前项和为 Tn . (n ? 1) an

23.十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”,为响应号召,某市红星路小区的环保人士向 该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”.为此,红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15,75) 的市民进行问卷调查,随机抽查了 50 人,并将调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75) 6 10 12 12 5 5 频数 赞成人数 3 6 10 6 4 3 (1)请估计红星路小区年龄在[15,75)的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值;
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(2)若从年龄在[55,65)、[65,75)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记被选 4 人中不赞成“禁 放烟花、炮竹”的人数为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.

24.已知函数 f(x)=lnx﹣ax+ (a∈R). (Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数 y=f(x)在定义域内存在两个极值点,求 a 的取值范围.

25.某中学为了普及法律知识,举行了一次法律知识竞赛活动.下面的茎叶图记录了男生、女生各 10 名学生在该次竞赛活动中的成绩(单位:分).

已知男、女生成绩的平均值相同. (1)求的值; (2)从成绩高于 86 分的学生中任意抽取 3 名学生,求恰有 2 名学生是女生的概率.

26.已知函数 f(x)= x3﹣ x2+cx+d 有极值. (Ⅰ)求 c 的取值范围;
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2 (Ⅱ)若 f(x)在 x=2 处取得极值,且当 x<0 时,f(x)< d +2d 恒成立,求 d 的取值范围.

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平邑县高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 C 【解析】解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 ∴R= 故选 C.

【点评】 类比推理是指依据两类数学对象的相似性, 将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象 ①找出两类事物之间的相似性或者一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 上去. 一般步骤: 得出一个明确的命题(或猜想). 2. 【答案】A 【解析】解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,o ), ∴正态曲线的对称轴是 x=2 P(0<X<4)=0.8, ∴P(X>4)= (1﹣0.8)=0.1, 故选 A. 3. 【答案】 【解析】选 A.设球 O 的半径为 R,矩形 ABCD 的长,宽分别为 a,b, 则有 a2+b2=4R2≥2ab,∴ab≤2R2, 1 又 V 四棱锥 P-ABCD= S 矩形 ABCD·PO 3 1 2 3 = abR≤ R . 3 3 2 3 ∴ R =18,则 R=3, 3
2

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∴球 O 的表面积为 S=4πR2=36π,选 A. 4. 【答案】C 【解析】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱, 其表面积为 S=[ ×(2+8)×4﹣2×4]+[ ×π?(42﹣12)+ ×(4π× =12+24π. 故选:C. 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题,是基础题 目. 5. 【答案】D 【解析】 试题分析:由于 ?2016 ? 0 ,由程序框图可得对循环进行加运算,可以得到 x ? 2 ,从而可得 y ? 1 ,由于 ﹣π× )+ ×8π]

2015 ? 1 ,则进行 y ? 2 y 循环,最终可得输出结果为 2048 .1
考点:程序框图. 6. 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 p 假真时, p ? q 真,此时 ? p 为真,所以,“ p ? q 真”不能得“ ? p 为假”,而“ ? p 为 假”时 p 为真,必有“ p ? q 真”,故选 B. 考点:1、充分条件与必要条件;2、真值表的应用. 7. 【答案】B 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 k=1 S=1 满足条件 k<5,S=3,k=2 满足条件 k<5,S=8,k=3 满足条件 k<5,S=19,k=4 满足条件 k<5,S=42,k=5 不满足条件 k<5,退出循环,输出 S 的值为 42. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 S,k 的值是解题的关键,属于 基础题. 8. 【答案】 B 【解析】解:∵当 a=1 时,方程 C:
2 2 即 x +y =1,表示单位圆

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∴?a∈R ,使方程 C 不表示椭圆.故 A 项不正确; ∵当 a<0 时,方程 C: 表示焦点在 x 轴上的双曲线

+

∴?a∈R﹣,方程 C 表示双曲线,得 B 项正确;?a∈R﹣,方程 C 不表示椭圆,得 C 项不正确 ∵不论 a 取何值,方程 C: 中没有一次项

∴?a∈R,方程 C 不能表示抛物线,故 D 项不正确 综上所述,可得 B 为正确答案 故选:B 9. 【答案】C
2 2 【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,?x∈R,x ﹣2x+3>0 的否定是:?x∈R,x ﹣2x+3≤

0. 故选:C. 10.【答案】B
1 1 x x 【解析】解:因为 x=﹣1 时,2﹣ >3﹣ ,所以命题 p:?x∈R,2 <3 为假命题,则¬p 为真命题. 3 2 3 2 令 f(x)=x +x ﹣1,因为 f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0.所以函数 f(x)=x +x ﹣1 在(0,1)上存在零点, 3 2 即命题 q:?x∈R,x =1﹣x 为真命题.

则¬p∧q 为真命题. 故选 B. 11.【答案】B 【解析】解:∵z=cosθ+isinθ 对应的点坐标为(cosθ,sinθ), 且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限, ∴ 故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,考查三角函数值的符号,注意解题方法的积累,属于中档题. 12.【答案】D 【解析】解:根据奇函数的图象关于原点对称,作出函数的图象,如图 则不等式 xf(x)<0 的解为: 或 ,∴θ 为第二象限角,

解得:x∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(2,+∞) 故选:D.

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二、填空题
13.【答案】 1 .

【解析】解:若对双曲线 C 上任意一点 A(点 A 在圆 O 外), 均存在与圆 O 外切且顶点都在双曲线 C 上的菱形 ABCD, 可通过特殊点,取 A(﹣1,t), 则 B(﹣1,﹣t),C(1,﹣t),D(1,t), 由直线和圆相切的条件可得,t=1. 将 A(﹣1,1)代入双曲线方程,可得 故答案为:1. 【点评】本题考查双曲线的方程和运用,同时考查直线和圆相切的条件,属于基础题. 14.【答案】 (??, ?2) 【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为 A(1,0), B(0,1), C (3, 4) , ∴ z A ? 2 , zB ? a , zC ? 6 ? 4a . ∴? ﹣ =1.

?6 ? 4a ? 2 ,解得 a ? ?2 . ?6 ? 4a ? a


15.【答案】 ﹣

【解析】解: 故答案为﹣

+λ =(1+λ,2λ),∵( +λ )⊥ ,∴( .

+λ )? =0,即 3(1+λ)+8λ=0,解得 λ=﹣



【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,向量垂直与数量积的关系,是基础题. 16.【答案】 [2,3) . 【解析】解:令 t=﹣3+4x﹣x >0,求得 1<x<3,则 y= 本题即求函数 t 在(1,3)上的减区间. 利用二次函数的性质可得函数 t 在(1,3)上的减区间为[2,3), 故答案为:[2,3).
2



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17.【答案】 4 . 【解析】解:将 故答案为:4 【点评】本题考查线性回归方程,考查计算能力,属于基础题. 18.【答案】 (﹣1,0) . 代入线性回归方程可得 9=1+2b,∴b=4

【解析】解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ABC 及其内部,其中 A(0,5),B(2,7),C(2,2k+5) △ABC 的形状随着直线 AC:y=kx+5 斜率的变化而变化, 将直线 AC 绕 A 点旋转,可得 当 C 点与 C1(2,5)重合或与 C2(2,3)重合时,△ABC 是直角三角形, 当点 C 位于 B、C1 之间,或在 C1C2 的延长线上时,△ABC 是钝角三角形, 当点 C 位于 C1、C2 之间时,△ABC 是锐角三角形, 而点 C 在其它的位置不能构成三角形 综上所述,可得 3<2k+5<5,解之得﹣1<k<0 即 k 的取值范围是(﹣1,0) 故答案为:(﹣1,0)

【点评】本题给出二元一次不等式组,在表示的图形为锐角三角形的情况下,求参数 k 的取值范围,着重考查 了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10÷0.25=40 人, 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为: 40×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3 人;

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(Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为: ×=2.9; (Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学, 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为: Ω ={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有 6 个基本事件. 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个, 则 P(B)= .

【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容. 20.【答案】(1)1 (2)60° 【解析】(1)设 BD=x,则 CD=3﹣x ∵∠ACB=45°,AD⊥BC,∴AD=CD=3﹣x ∵折起前 AD⊥BC,∴折起后 AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩DC=D ∴AD⊥平面 BCD ∴VA﹣BCD= ×AD×S△BCD= ×(3﹣x)× ×x(3﹣x)= (x3﹣6x2+9x) 设 f(x)= (x3﹣6x2+9x) x∈(0,3), ∵f′(x)= (x﹣1)(x﹣3),∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,3)上为减函数 ∴当 x=1 时,函数 f(x)取最大值 ∴当 BD=1 时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大; (2)以 D 为原点,建立如图直角坐标系 D﹣xyz,

21.【答案】
2 【解析】解:(Ⅰ)f′(x)=2a(x+1)ln(x+1)+a(x+1)+b,∵f′(0)=a+b=0,f(e﹣1)=ae +b(e﹣1)

=a(e2﹣e+1)=e2﹣e+1∴a=1,b=﹣1. (Ⅱ)f(x)=(x+1) ln(x+1)﹣x,
2



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2 2 设 g(x)=(x+1) ln(x+1)﹣x﹣x ,(x≥0),g′(x)=2(x+1)ln(x+1)﹣x,

(g′(x))′=2ln(x+1)+1>0,∴g′(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴g′(x)≥g′(0)=0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,
2 ∴g(x)≥g(0)=0.∴f(x)≥x .… 2 2 (Ⅲ)设 h(x)=(x+1) ln(x+1)﹣x﹣mx ,h′(x)=2(x+1)ln(x+1)+x﹣2mx, 2 2 (Ⅱ) 中知(x+1) ln(x+1)≥x +x=x(x+1),∴(x+1)ln(x+1)≥x,∴h′(x)≥3x﹣2mx,

①当 3﹣2m≥0 即 ②当 3﹣2m<0 即 (x)=0,得

时,h′(x)≥0,∴h(x)在[0,+∞)单调递增,∴h(x)≥h(0)=0,成立. 时,h′(x)=2(x+1)ln(x+1)+(1﹣2m)x,h′′(x)=2ln(x+1)+3﹣2m,令 h′′ ,

当 x∈[0,x0)时,h′(x)<h′(0)=0,∴h(x)在[0,x0)上单调递减, ∴h(x)<h(0)=0,不成立. 综上, .…

22.【答案】(1) an ? 2n ;(2) Tn ?

n . 2(n ? 1)

考 点:1.一元二次方程;2.裂项相消法求和. 23.【答案】 【解析】(1)解:赞成率为 ,

被调查者的平均年龄为 20×0.12+30×0.2+40×0.24+50×0.24+60×0.1+70×0.1=43 (2)解:由题意知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, ,

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, ∴ξ 的分布列为: 0 ξ P ∴ .

1

2

3

【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识,考查数据处理能力, 考查化归与转化思想,是中档题. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x+ , ∴f(1)=1, ∴切点为(1,1) ∵f′(x)= ﹣1﹣ ∴f′(1)=﹣2, ∴切线方程为 y﹣1=﹣2(x﹣1), 即 2x+y﹣3=0; (Ⅱ)f(x)的定义域是(0,+∞), f′(x)= , = ,

若函数 y=f(x)在定义域内存在两个极值点,
2 则 g(x)=ax ﹣x+2 在(0,+∞)2 个解,





解得:0<a< . 25.【答案】(1) a ? 7 ;(2) P ? 【解析】

3 . 10

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试题分析: (1)由平均值相等很容易求得的值; (2)成绩高于 86 分的学生共五人,写出基本事件共 10 个, 可得恰有两名为女生的基本事件的个数,则其比值为所求.

其 中恰有 2 名学生是女生的结果是 (96,93,87) , (96,91,87) , (96,90,87) 共 3 种情况. 所以从成绩高于 86 分的学生中抽取了 3 名学生恰有 2 名是女生的概率 P ? 考点:平均数;古典概型. 【易错点睛】古典概型的两种破题方法:(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较 复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时, ( x, y ) 可以看成是有序的,如 ?1, 2 ? 与 ? 2,1? 不同;有 时也可以看成是无序的,如 (1,2)(2,1) 相同.(2)含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比 较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用 P( A) ? 1 ? P( A) 求解较好. 26.【答案】
3 2 【解析】解(Ⅰ)∵f(x)= x ﹣ x +cx+d, 2 2 ∴f′(x)=x ﹣x+c,要使 f(x)有极值,则方程 f′(x)=x ﹣x+c=0 有两个实数解,

3 .1 10

从而△=1﹣4c>0, ∴c< . (Ⅱ)∵f(x)在 x=2 处取得极值, ∴f′(2)=4﹣2+c=0, ∴c=﹣2.
3 2 ∴f(x)= x ﹣ x ﹣2x+d, 2 ∵f′(x)=x ﹣x﹣2=(x﹣2)(x+1),

∴当 x∈(﹣∞,﹣1]时,f′(x)>0,函数单调递增,当 x∈(﹣1,2]时,f′(x)<0,函数单调递减. ∴x<0 时,f(x)在 x=﹣1 处取得最大值 ∵x<0 时,f(x)< 恒成立, ,

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,即(d+7)(d﹣1)>0,

∴d<﹣7 或 d>1, 即 d 的取值范围是(﹣∞,﹣7)∪(1,+∞). 【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件,导数在最大值,最小值问题中的应用,其中根据已 知中函数的解析式,求出函数的导函数的解析式,是解答本题的关键.

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