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任意角的三角函数教学设计方案


教学设计:任意角的三角函数 锦州中学 数学组 郑莉
一、 教学内容分析 任意角的三角函数是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中都具有重要 的作用。 本节课先学习任意角三角函数的定义, 新教材改变了过去习惯用角的终边上的点的 坐标的“比值”来定义的做法,转为利用单位圆上点的坐标来定义任意角的三角函数。新的 定义可以更好地反映三角函数的本质, 使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接, 数形 结合更加紧密, 也为后续学习带来方便, 例如从这个定义可以更加方便地推导同角三角函数 的基本关系、诱导公式、和(差)角公式,而且为公式的记忆提供了图形支持;单位圆为讨 论三角函数图像与性质提供了很好的直观载体。 因此学生理解和掌握任意角三角函数的定义 是学好本章的基础。 二、教学目标的确定 知识目标:理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;会利用定义求三角函数值。 能力目标: 培养学生勇于探索发现问题的科学精神、 严谨的数学思维和良好的语言表达能力。 情感目标:引导学生探索知识,让学生体验学习过程的乐趣。 三、教学的重点和难点 重点:任意角三角函数的定义 难点:用单位圆上点的坐标刻画三角函数。学生熟悉的函数 y=f(x)是实数到实数的对应, 而这里给出的函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实 数(横坐标或纵坐标)的对应,这就会给学生的理解造成一定的困难。 四、教学基本流程 锐角三角函数的定义 (在直角三角形中定义) →在直角坐标系中利用终边上的点的坐标定义 →在直角坐标系中利用单位圆化简定义)→任意角三角函数定义(利用单位圆)→定义的应 用→课时小结 五、学生情况分析 学生在初中已经学过锐角三角函数的定义,对三角函数(正弦、 余弦、 正切) 有一定的了解, 而且学生通过任意角与弧度制的学习, 已经会利用直角坐标系来研究任意角。 因此本课从初 中锐角三角函数的定义出发, 过渡到锐角三角函数在直角坐标系中的定义, 在从锐角过渡到

任意角三角函数的定义,让学生运用从特殊到一般的探究方法探究任意角三家函数的定义, 体会在直角坐标系中定义三角函数的优越性, 避免传统教学中老师给出定义、 诠释定义的填 鸭式教学方法。 六、教学情景设计 问题 1、 什么叫做函数关系?我们学 过哪些特殊的函数? 设计意图 提出本章学习任务,并通过复 习为下面探究三角函数中的函 数关系做铺垫。 2、 初中时我们已学过锐角三角 函数,当时是怎样定义的? 从原有的知识基础出发,来认 识任意角的三角函数。 师生活动 教师提出问题,学生口头回答。 教师提出本节课的学习的任务就 是学习三角函数。 教师提出问题,学生口头回答。 教师在课件中显示直角三角形及 三个三角函数值的定义。 3、 任意角的三角函数应如何定 义呢? 直角三角形不能满足非锐角的 三角函数,新问题与学生原有 认知产生冲突,引发学生求知 欲望。 问题 4、 探究在直角坐标系下锐角的 三角函数是否能用其终边上点 的坐标来表示? 设计意图 引导学生用坐标法来研究锐角 三角函数。 师生活动 教师在课件中建立直角坐标系, 显示一锐角α 的终边及终边上的 一点 P(x,y),学生思考并回 答如何用这个点的坐标表示锐角 α 的三个三角函数。 5、思考在上述做法中,改边点 P 在终边上的位置,这三个比 值会改变吗? 要学生明确这三个比值与点 P 在终边上的位置无关。 教师利用几何画板演示点 P 在终 边上滑动的过程,计算比值,学 生观察比值的变化情况,得到具 体认识,由相似三角形的性质证 明。 6、 既然三个比值与点 P 在终边 上的位置无关,则能否用过取 适当的点 P 使比值简化? 引入单位圆,点 P 为终边与单 位圆的交点,使正弦值用点 P 的纵坐标表示,余弦值用点 P 教师引导学生考虑点 P 到原点的 距离,当距离为 1 时,可使比值 化简。 教师引导学生一起探究,先从下 一问题开始

的横坐标表示,体现由一般到 特殊的思想。 7、 给出任意角三角函数定义 利用终边与单位圆的交点坐标 定义任意角的三角函数事实上 是一种简化后的表示,要求学 生看清本质。 8、 研究定义中角α 与点的坐 标的对应关系。 通过对应关系的认识,深化对 定义的理解。 教师引导学生以正弦为例,考虑角 α 与纵坐标 y 是否满足函数关系, 特别注意角α 用弧度数表示时是一 个实数。类似得出余弦与正切也满 足函数关系。 类比锐角的三角函数定义得出。

问题 9、例 1 的教学

设计意图 通过例 1 熟悉定义,并有意识 利用终边上点的坐标来求三角 函数值, 突破原有知识的限制。

师生活动 由学生自主完成,然后点评

10、例 2 的教学

例 2 是例 1 的一个引申,只给 出角的大小,没有明确给出终 边与单位圆交点坐标,但可以 通过解直角三角形的知识,结 合角所在的象限求得交点的坐 标,再归结为例 1。

教师在课件中演示角的终边位 置,提问学生如何解决,边问边 在课件中演示做法,主要是有求 点的坐标的意识。

11、练习的教学

巩固利用定义求三角函数值的 方法。

学生在黑板上演练,教师与学生 一起点评。 教师在课件中演示点在直角坐标 系中的位置,然后由学生自主思 考解题思路。

12、思考题的教学

思考题也是例 1 的一个引申, 例 1 知道的是特殊点的坐标, 而思考题则给出了终边上非特 殊点的坐标,通过相似三角形

联系两者关系,体现从特殊回 到一般的思想,加深对定义本 质的理解。

13、小结与作业

对学习过程进行反思,对讨论 问题的思想方法进行总结。

先让学生自己总结。教师在学生 总结的基础上进行再概括时,应 注意思想性,例如在得出用单位 圆上点的坐标定义三角函数的过 程中的化归思想,用一般的函数 概念指导三角函数研究的思想 等。

七、附例题和练习 例 1:如图已知角α 的终边与单位圆的交点是 ,求角α 的正弦、余弦和正切值。 例 2:求角 的正弦、余弦和正切值。 练习: 1、已知角β 的终边过点 ,求角β 的三个三角函数值。 2、求角 的三个三角函数值。 3、求角 的三个三角函数值。 思考题:已知角α 的终边经过点 ,求角α 的正弦、余弦和正切值。


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