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桐柏县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

桐柏县实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知抛物线 C: x ? 8 y 的焦点为 F,准线为 l ,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若
2

姓名__________

分数__________

PF ? 2 FQ ,则 QF ? (
A.6 B.3

) C.

8 3

D.

4 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 2. 将函数 y ? sin ? 2 x ? ? ? ( ? ? 0 )的图象沿 x 轴向左平移 最小值为( (A) ) ( B )

?
8

个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的

?
8

3? 4

3? 8

(C)

?
4

(D)

3. 下列关系式中,正确的是( A.?∈{0} 为负数的项是 ( ) A. a21 和 a22 D. a24 和 a25 B.0?{0}

) D.?={0}
*

C.0∈{0}

4. 在数列 {an } 中, a1 ? 15 , 3an ?1 ? 3an ? 2( n ? N ) ,则该数列中相邻两项的乘积

B. a22 和 a23

C. a23 和 a24 )

5. 已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,则下列说法正确的是( A.m?α,n∥m?n∥α B.m?α,n⊥m?n⊥α

C.m?α,n?β,m∥n?α∥β D.n?β,n⊥α?α⊥β   6. 如图是某几何体的三视图,正视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环,侧视图 是直角梯形.则该几何体表面积等于( )

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A.12+

B.12+23π

C.12+24π

D.12+

π ) C. 3 或 2 3 D.2 ,类比这个结论可

7. 在 ?ABC 中, b ? A. 3

3 , c ? 3 , B ? 30? ,则等于(
B. 12 3

8. 设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则

知 : 四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 r= ( A. C. ) B. D.

9. 设 i 是虚数单位,则复数 A.第一象限

2i 在复平面内所对应的点位于( 1? i
C.第三象限 D.第四象限



B.第二象限

10. 已知定义在 R 上的可导函数 y=f(x) 是偶函数, 且满足 xf′(x) <0, 的 x 的范围为( ) B.( ,1)∪(1,2)

=0, 则满足

A.(﹣∞, )∪(2,+∞)

C.( ,1)∪(2,+∞) D.(0, )∪(2,+∞

)   11.已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个互不重合的平面,则下列命题中 正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β



C.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n D.若 m∥α,m∥β,则 α∥β   12.已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 60? , C 为该球面上的动点,若三棱锥 O ? ABC 体积的最大 值为 18 3 ,则球 O 的体积为( ) A. 81?     B. 128?     C. 144?     D. 288?

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【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算 求解能力.

二、填空题
13.递增数列{an}满足 2an=an﹣1+an+1,(n∈N*,n>1),其前 n 项和为 Sn,a2+a8=6,a4a6=8,则 S10=  . 14.【泰州中学 2018 届高三 10 月月考】设函数 f ? x ? ? e
x

? 2 x ? 1? ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数

x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 ,则 a 的取值范围是
15.设函数 系是______. 16.已知函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数,且满足对任意的实数 x 都有 f[f(x)﹣2x]=6,则 f(x)+f(﹣x) 的最小值等于      .   17.下列四个命题: ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是      .   18.执行如图所示的程序框图,输出的所有值之和是 则 ______;若 , ,则 的大小关

.

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【命题意图】本题考查程序框图的功能识别,突出对逻辑推理能力的考查,难度中等.

三、解答题
19.某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式. (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能 使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元.(精确到 1 万元).

 

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20.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ (1)求 ω,φ;

<φ<

)的部分图象如图所示;

(2)将 y=f(x)的图象向左平移 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象的一个 对称点为( ,0),求 θ 的最小值. , ]时,方程 f(x)=m 有两个不等根,求 m 的取值范围.

(3)对任意的 x∈[

 

21.A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|ax﹣2=0},若 B?A,求 a.

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22. 【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】 已知函数 f(x) =(2﹣a) (x﹣1) ﹣2lnx, g(x) = xe1? x. (a ∈R,e 为自然对数的底数) (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 ? 0,

? ?

1? ? 上无零点,求 a 的最小值; 2?

(Ⅲ)若对任意给定的 x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1,2),使得 f(xi)=g(x0)成立, 求 a 的取值范围.

23.在△ABC 中,D 为 BC 边上的动点,且 AD=3,B= (1)若 cos∠ADC= ,求 AB 的值;



(2)令∠BAD=θ,用 θ 表示△ABD 的周长 f(θ),并求当 θ 取何值时,周长 f(θ)取到最大值?

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24.已知等边三角形 PAB 的边长为 2,四边形 ABCD 为矩形,AD=4,平面 PAB⊥平面 ABCD,E,F,G 分别 是线段 AB,CD,PD 上的点. (1)如图 1,若 G 为线段 PD 的中点,BE=DF= ,证明:PB∥平面 EFG; (2)如图 2,若 E,F 分别是线段 AB,CD 的中点,DG=2GP,试问:矩形 ABCD 内(包括边界)能否找到 点 H,使之同时满足下面两个条件,并说明理由. ①点 H 到点 F 的距离与点 H 到直线 AB 的距离之差大于 4; ②GH⊥PD.

 

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桐柏县实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 解析:抛物线 C: x ? 8 y 的焦点为 F(0,2),准线为 l :y=﹣2,
2

设 P(a,﹣2),B(m, ∵ ,∴2m=﹣a,4=

),则

=(﹣a,4),

=(m,

﹣2), +2=4+2=6.故选 A.

﹣4,∴m2=32,由抛物线的定义可得|QF|=

2. 【答案】B

【 解 析 】 将 函 数 y ? sin ? 2 x ? ? ? (? ? 0) 的 图 象 沿 x 轴 向 左 平 移

?
8

个单位后,得到一个偶函数

y ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) 的图象,可得 ? ? ? ,求得 ? 的最小值为 ,故选 B. 8 4 4 2 4
3. 【答案】C 【解析】解:对于 A??{0},用“∈”不对, 对于 B 和 C,元素 0 与集合{0}用“∈”连接,故 C 正确; 对于 D,空集没有任何元素,{0}有一个元素,故不正确.   4. 【答案】C 【解析】

?

?

?

?

?

考 点:等差数列的通项公式. 5. 【答案】D 【解析】解:在 A 选项中,可能有 n?α,故 A 错误; 在 B 选项中,可能有 n?α,故 B 错误; 在 C 选项中,两平面有可能相交,故 C 错误; 在 D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.  

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6. 【答案】C 【解析】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱, 其表面积为 S=[ ×(2+8)×4﹣2×4]+[ ×π?(42﹣12)+ ×(4π× =12+24π. 故选:C. 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题,是基础题 目.   7. 【答案】C 【解析】 ﹣π× )+ ×8π]

考 点:余弦定理. 8. 【答案】 C 【解析】解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 ∴R= 故选 C.

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【点评】 类比推理是指依据两类数学对象的相似性, 将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象 ①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 上去.一般步骤 : 得出一个明确的命题(或猜想).   9. 【答案】B 【解析】因为 所以,对应的点位于第二象限 故答案为:B 【答案】B

10.【答案】D 【解析】解:当 x>0 时,由 xf′(x)<0,得 f′(x)<0,即此时函数单调递减, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴不等式 即| |> ,即 等价为 f(| > 或 |)< <﹣ , ,

解得 0<x< 或 x>2, 故 x 的取值范围是(0, )∪(2,+∞) 故选:D 【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.   11.【答案】C 【解析】解:对于 A,若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 相交、平行或者异面;故 A 错误; 对于 B,若 α⊥γ,β⊥γ,则 α 与 β 可能相交,如墙角;故 B 错误; 对于 C,若 m⊥α,n⊥α,根据线面垂直的性质定理得到 m∥n;故 C 正确; 对于 D,若 m∥α,m∥β,则 α 与 β 可能相交;故 D 错误; 故选 C. 【点评】本题考查了空间线线关系.面面关系的判断;熟练的运用相关的定理是关键.   12.【答案】D 【解析】当 OC ? 平面 AOB 平面时,三棱锥 O ? ABC 的体积最大,且此时 OC 为球的半径.设球的半径为

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1 1 4 R ,则由题意,得 ? ? R 2 sin 60? ? R ? 18 3 ,解得 R ? 6 ,所以球的体积为 ?R 3 ? 288? ,故选 D. 3 2 3

二、填空题
13.【答案】 35 . 【解析】解:∵2an=an﹣1+an+1,(n∈N*,n>1), ∴数列{an}为等差数列, 又 a2+a8=6,∴2a5=6,解得:a5=3, 又 a4a6=(a5﹣d)(a5+d)=9﹣d2=8, ∴d2=1,解得:d=1 或 d=﹣1(舍去) ∴an=a5+(n﹣5)×1=3+(n﹣5)=n﹣2. ∴a1=﹣1, ∴S10=10a1+ 故答案为:35. 【点评】本题考查数列的求和,判断出数列{an}为等差数列,并求得 an=2n﹣1 是关键,考查理解与运算能力, 属于中档题.   14.【答案】 【解析】试题分 析 : 设 的下方 . 因为 当 时, ,函数 ,故当 , 故当 , 由题设可知存在唯一的整数 x0 ,使得 时, , 函数 在直线 单调递减 ; ,而当 ,解之得 时, =35.

单调递增;故 且

,应填答案

?3 ? ,1? . ? ? 2e ?
考点:函数的图象和性质及导数知识的综合运用. 【易错点晴】 本题以函数存在唯一的整数零点 x0 , 使得 f ? x0 ? ? 0 为背景,设置了一道求函数解析式中的参数 的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也 综合考查学生运用所学知 识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化 为存在唯一的整数 x0 ,使得 在直线 的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依

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据题设建立不等式组求出解之得 15.【答案】 ,

.

【解析】【知识点】函数图象分段函数,抽象函数与复合函数 【试题解析】

,因为 又若 所以: ,结合图像知: 。

,所以

故答案为: , 16.【答案】 6 . 【解析】解:根据题意可知:f(x)﹣2x 是一个固定的数,记为 a,则 f(a)=6, ∴f(x)﹣2x=a,即 f(x)=a+2x, ∴当 x=a 时, 又∵a+2a=6,∴a=2, ∴f(x)=2+2x, ∴f(x)+f(﹣x)=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4 ≥2 +4=6,当且仅当 x=0 时成立, ∴f(x)+f(﹣x)的最小值等于 6, 故答案为:6. 【点评】本题考查函数的最值,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.   17.【答案】 ③ . 【解析】解:①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上,故错误; ②经过空间不共线三点有且只有一个平面,故错误; ③过两平行直线有且只有一个平面,正确; ④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面,三线共点时,三线可能不共面,故错误, 故正确命题的序号是③,

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故答案为:③   18.【答案】54 【解析】根据程序框图可知循环体共运行了 9 次,输出的 x 是 1,3,5,7,9,11,13,15, 17 中不是 3 的 倍数的数,所以所有输出值的和 1 ? 5 ? 7 ? 11 ? 13 ? 17 ? 54 .

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元, 由题设 f(x)=k1x,g(x)=k2 由图知 f(1)= ,∴k1= 又 g(4)= ,∴k2= 从而 f(x)= ,g(x)= (x≥0) ,(k1,k2≠0;x≥0)

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10﹣x 万元,设企业的利润为 y 万元 y=f(x)+g(10﹣x)= 令 ,∴ ,(0≤x≤10), (0≤t≤ )

当 t= ,ymax≈4,此时 x=3.75 ∴当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万元. 【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题.解题 的关键是换元,利用二次函数的求最值的方法求解.   20.【答案】 【解析】解 : (1)根据函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ = 求得 ω=2. 再根据五点法作图可得 2? +φ= ,求得 φ=﹣ ,∴f(x)=2sin(2x﹣ ). )的图 , <φ< )的部分图象,可得 ?

(2)将 y=f(x)的图象向左平移 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)=2sin=2sin(2x+2θ﹣ 象,

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∵y=g(x)图象的一个对称点为( 故 θ 的最小正值为 (3)对任意的 x∈[ . ,

,0),∴2?

+2θ﹣

=kπ,k∈Z,∴θ=





]时,2x﹣

∈[

, ,

],sin(2x﹣

)∈,即 f(x)∈,

∵方程 f(x)=m 有两个不等根,结合函数 f(x),x∈[

]时的图象可得,1≤m<2.

  21.【答案】 【解析】解:解:集合 A={x|x2﹣3x+2=0}={1,2} ∵B?A, ∴(1)B=?时,a=0 (2)当 B={1}时,a=2 (3))当 B={2}时,a=1 故 a 值为:2 或 1 或 0.  

22.【答案】(1) f(x)的单调减区间为(0,2],单调增区间为[2,+∞);(2) 函数 f(x)在 ? 0, 上无零点,则 a 的最小值为 2﹣4ln2;(3)a 的范围是 ? ??, 2 ?

? ?

1? ? 2?

? ?

3 ? ?. e ? 1?

【解析】试题分析:(Ⅰ)把 a=1 代入到 f(x)中求出 f′(x),令 f′(x)>0 求出 x 的范围即为函数的增 区间,令 f′(x)<0 求出 x 的范围即为函数的减区间; (Ⅱ)f(x)<0 时不可能恒成立,所以要使函数在(0,

1 1 )上无零点,只需要对 x∈(0, )时 f(x)> 2 2

0 恒成立,列出不等式解出 a 大于一个函数,利用导数得到函数的单调性,根据函数的增减性得到这个函数的 最大值即可得到 a 的最小值;

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试题解析: (1)当 a=1 时,f(x)=x﹣1﹣2lnx,则 f′(x)=1﹣ , 由 f′(x)>0,得 x>2; 由 f′(x)<0,得 0<x<2. 故 f(x)的单调减区间为(0,2],单调增区间为[2,+∞); (2)因为 f(x)<0 在区间 故要使函数 只要对任意的 上恒成立不可能, 上无零点, ,f(x)>0 恒成立,即对 恒成立.

令 再令 则 从而,l(x)>0,于是 l(x)在 故要使

,则 , ,故 m(x)在 上为增函数,所以



上为减函数,于是 ,



恒成立,只要 a∈[2﹣4ln2,+∞),

综上,若函数 f(x)在 ? 0,

? ?

1? ? 上无零点,则 a 的最小值为 2﹣4ln2; 2?

(3)g′(x)=e1﹣x﹣xe1﹣x=(1﹣x)e1﹣x, 当 x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数 g(x)单调递增; 当 x∈(1,e]时,g′(x)<0,函数 g(x)单调递减. 又因为 g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e?e1﹣e>0, 所以,函数 g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]. 当 a=2 时,不合题意;

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当 a≠2 时,f′(x)= 当 x= 时,f′(x)=0. ,即

,x∈(0,e]

由题意得,f(x)在(0,e]上不单调,故



此时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x) (0, ﹣ ↘ ) 0 最小值 ( + ↗ ,e]

又因为,当 x→0 时,2﹣a>0,f(x)→+∞, , 所以,对任意给定的 x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1,2), 使得 f(xi)=g(x0)成立,当且仅当 a 满足下列条件:

即 令 h(a)= 则h , ,令 h′(a)=0,得 a=0 或 a=2,

故当 a∈(﹣∞,0)时,h′(a)>0,函数 h(a)单调递增; 当 所以,对任意 即②对任意 由③式解得: 时,h′(a)<0,函数 h(a)单调递减. ,有 h(a)≤h(0)=0, 恒成立. .④

综合①④可知,当 a 的范围是 ? ??, 2 ?

? ?

3 ? 时,对任意给定的 x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的 e ? 1? ?
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xi(i=1,2),使 f(xi)=g(x0)成立. 23.【答案】 【解析】(本小题满分 12 分) 解:(1)∵ ∴ ∴ ∵ , …2 分(注:先算∴sin∠ADC 给 1 分) ,…3 分 ,

∴ (2)∵∠BAD=θ, ∴ 由正弦定理有 ∴ ∴ = 当 ,即

,…5 分

,…6 ,…7 分 ,…8 分 ,…10 分 ,…11 分 时 f(θ)取到最大值 9.…12 分

【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式,正弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函 数的图象和性质在解三角形中的应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题.  
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24.【答案】 【解析】(1)证明:依题意,E,F 分别为线段 BA、DC 的三等分点, 取 CF 的中点为 K,连结 PK,BK,则 GF 为△DPK 的中位线, ∴PK∥GF, ∵PK?平面 EFG,∴PK∥平面 EFG, ∴四边形 EBKF 为平行四边形,∴BK∥EF, ∵BK?平面 EFG,∴BK∥平面 EFG, ∵PK∩BK=K,∴平面 EFG∥平面 PKB, 又∵PB?平面 PKB,∴PB∥平面 EFG. (2)解:连结 PE,则 PE⊥AB, ∵平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, PE?平面 PAB,PE⊥平面 ABCD, 分别以 EB,EF,EP 为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系, ∴P(0,0, =(﹣1,4,﹣ D(﹣1,4,0), ∵ = ),D(﹣1,4,0), ),∵P(0,0, =(﹣1,4,﹣ ), ), ),

=(﹣ , ,﹣ ),

∴G(﹣ , ,

设点 H(x,y,0),且﹣1≤x≤1,0≤y≤4, 依题意得: ∴x2>16y,(﹣1≤x≤1),(i) 又 =(x+ ,y﹣ ,﹣ ), , ,即 y= ,(ii) ,

∵GH⊥PD,∴ ∴﹣x﹣ +4y﹣

把(ii)代入(i),得:3x2﹣12x﹣44>0, 解得 x>2+ 或 x<2﹣ ,

∵满足条件的点 H 必在矩形 ABCD 内,则有﹣1≤x≤1, ②GH ∴矩形 ABCD 内不能找到点 H, 使之同时满足①点 H 到点 F 的距离与点 H 到直线 AB 的距离之差大于 4, ⊥PD.

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【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能 力、空间想象能力,考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识.  

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