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3.历届高考中的导数试题精选及详细答案(文科)

历届高考中的“导数”试题精选及详细答案 (文科自我测试)
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1

2
3

3
2

4

5

6

7

8

9

10
)

1.(2005 全国卷Ⅰ文)函数 f ( x ) ? x ? ax ? 3 x ? 9 ,已知 f ( x ) 在 x ? ? 3 时取得极值,则 a =( (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.(2008 海南、宁夏文)设 f ( x ) ? x ln x ,若 f '( x 0 ) ? 2 ,则 x 0 ? ( ) A. e
2

B. e

C.

ln 2 2
3 2

D. ln 2 )

3. (2005 广东)函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 1 是减函数的区间为( A. ( 2 , ?? ) B. ( ?? , 2 ) C. ( ?? , 0 )
1 x

D. (0,2) )

4.(2008 安徽文)设函数 f ( x ) ? 2 x ?

? 1( x ? 0 ), 则 f ( x ) (

A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 5. (2007 福建文、理)已知对任意实数 x 有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f’(x)>0,g’(x)>0, 则 x<0 时( ) A f’(x)>0,g’(x)>0 B f’(x)>0,g’(x)<0 C f’(x)<0,g’(x)>0
1 2
3 2

D f’(x)<0,g’(x)<0
2

6.(2008 全国Ⅱ卷文)设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ( A.1 B. C. ?
1 2

)

D. ? 1 ) )

7. (2006 浙江文) f ( x ) ? x ? 3 x ? 2 在区间 ? ? 1,1 ? 上的最大值是(

(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 2 8. (2004 湖南文科)若函数 f(x)=x +bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f /(x)的图象是( y y y y

o

x

o B

x

o C

x

o D

x

A

9. (2004 全国卷Ⅱ理科)函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( ) ? 3? 3? 5? (A)( , ) (B)( ? ,2 ? ) (C)( , ) (D)(2 ? ,3 ? )
2 2 2

2 10.(2004 浙江理科)设 f ? ( x ) 是函数 f(x)的导函数,y= f ? ( x ) 的图象如图所示,则 y= f(x)的

图象最有可能的是(



二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11.(2007浙江文)曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 在点(1,一3)处的切线方程是________________.
3 2

3 12.(2005 重庆文科)曲线 y ? x 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的 面积为 .

13. (2007 江苏)已知函数 f ( x ) ? x ? 1 2 x ? 8 在区间 [ ? 3, 3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,
3

则 M ? m ? _____________; 14.(2008 北京文)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4)(2,0)(6,4) , , ,则 f(f(0))= ____ ; 函数 f(x)在 x=1 处的导数 f′(1)= ______

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分)
15.(2005 北京理科、文科) 已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (I)求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
3 2 16.(2006 安徽文)设函数 f ? x ? ? x ? b x ? cx ( x ? R ) ,已知 g ( x ) ? f ( x ) ? f ?( x ) 是奇函数。

(Ⅰ)求 b 、 c 的值。

(Ⅱ)求 g ( x ) 的单调区间与极值。
3 2

17.(2005 福建文科)已知函数 f ( x ) ? x ? bx ? c x ? d 的图象过点 P(0,2) ,且 在点 M(-1,f(-1) )处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x ) 的单调区间. 18.(2007 重庆文)用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽 之比为 2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 19.(2008 全国Ⅱ卷文) 设 a ? R ,函数 f ( x ) ? ax ? 3 x .
3 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点,求 a 的值;
2] (Ⅱ)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? f ?( x ), x ? [0, ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围.

20. (2008 湖北文) 已知函数 f ( x ) ? x ? m x ? m x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9.
3 2 2

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为-5 的直线是曲线 y ? f ( x ) 的切线,求此直线方程.

历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试) 参考答案
一. 选择题: (每小题 5 分,计 50 分) 题号 1 2 3 4

5 B

6 A

7 C

8 A

9 B

10 C

答案 D B D A 二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11. 5 x ? y ? 2 ? 0 ; 12.
8 3

;13. 32 ;14. 2

,

-2

.

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分)
15. 解: (I) f ’(x)=-3x2+6x+9.令 f ‘(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)(3,+∞) , . (II)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上 f ‘(x)>0,所以 f(x)在[-1, 2]上单调递增, 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有 22+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
3 2 2 16.解(Ⅰ)∵ f ? x ? ? x ? b x ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3 x ? 2 b x ? c 。从而

3 2 2 3 2 g ( x ) ? f ( x ) ? f ?( x ) ? x ? bx ? cx ? (3 x ? 2 bx ? c ) = x ? ( b ? 3) x ? ( c ? 2 b ) x ? c 是一个奇函数,所

以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x ) ? x ? 6 x ,从而 g ? ( x ) ? 3 x ? 6 ,由此可知,
3 2

( ? ? , ? 2 ) 和 ( 2 , ? ? ) 是函数 g ( x ) 是单调递增区间; ( ?

2,

2 ) 是函数 g ( x ) 是单调递减区间;

g ( x) 在 x ? ?

2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x ) 在 x ?
3 2

2 时,取得极小值,极小值为 ? 4 2 。

17.解:(Ⅰ)由 f ( x ) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P(0,2),d=2 知,所以
3 2 2 f ( x ) ? x ? b x ? cx ? 2 , f ? (x)=3x +2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0,知

-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1, f ? (-1)=6,∴ ? 故所求的解析式为 f(x)=x3-3x2-3x+2,

? 3 ? 2 b ? c ? 6, ? ? 1 ? b ? c ? 2 ? 1,

即?

? b ? c ? 0, ? 2 b ? c ? ? 3,

解得 b=c=-3.

(Ⅱ) f ? (x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 x1=1- 2 ,x2=1+ 2 , 当 x<1- 2 或 x>1+ 2 时, f ? (x)>0;当 1- 2 <x<1+ 2 时, f ? (x)<0 ∴f(x)=x3-3x2-3x+2 在(1+ 2 ,+∞)内是增函数,在(-∞, 1- 2 )内是增函数,在(1- 2 ,1+ 2 )内是减函数. 18.解:设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m),高为 h 故长方体的体积为 V ( x ) ?
2 x ( 4 .5 ? 3 x ) ? 9 x
2 2 3

?

18 ? 12 x 4
3

? 4 . 5 ? 3 x (m)
3 2

3? ? ? 0< x < ? . 2? ?

? 6 x (m )

( 0< x <

).

从而 V ?( x ) ? 18 x ? 18 x 2 ( 4 . 5 ? 3 x ) ? 18 x (1 ? x ). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
2 3

时,V′(x)<0,

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。
2 19.解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 3 a x ? 6 x ? 3 x ( a x ? 2 ) .

因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6 ( 2 a ? 2 ) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点. (Ⅱ)由题设, g ( x ) ? ax ? 3 ( a ? 1) x ? 6 x . g ( 0 ) ? 0
3 2

2 当 g ( x ) 在区间 [0,] 上的最大值为 g (0 ) 时, ax ? 3 ( a ? 1) x ? 6 x ? 0 对一切 x ? ?0 , 2 ? 都成立,
3 2

解法一:即 a ? 由 ? ?( x ) ?

3x ? 6 x
2

? 3x
2

对一切 x ? ?0 , 2 ? 都成立.令 ? ( x ) ?
2

3x ? 6 x
2

? 3x

, x ? ?0 , 2 ? ,则 a ? ?? ( x ) ?min

? 3( x ? 2 ) ? 6 (x ? 3x)
2

? 0 ,可知 ? ( x ) ?
6

3x ? 6 x
2

? 3x
?

在 x ? ?0 , 2 ? 上单调递减,
6?

所以 ?? ( x ) ? min ? ? ( 2 ) ? 解法二:也即 ax
2

, 故 a 的取值范围是 ? ? ? , ? 5 5? ?

? 3 ( a ? 1) x ? 6 ? 0 对一切 x ? ?0 , 2 ? 都成立,
3 ( a ? 1) 2a

(1)当 a=0 时,-3x-6<0 在 x ? ?0 , 2 ? 上成立; (2)当 a ? 0 时,抛物线 h ( x ) ? ax 当 a<0 时, ?
3 ( a ? 1) 2a
2

? 3 ( a ? 1) x ? 6 的对称轴为 x ? ?



? 0 ,有 h(0)= -6<0, 所以 h(x)在 ( 0 , ?? ) 上单调递减,h(x) <0 恒成立;

当 a>0 时,因为 h(0)= -6<0,,所以要使 h(x)≤0 在 x ? ?0 , 2 ? 上恒成立,只需 h(2) ≤0 成立即可,解得 a≤

6 5

;

综上, a 的取值范围为 ? ? ? , ? .
? 5?

?

6?

20.解:(Ⅰ) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= 当 x 变化时,f’(x)与 f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-m) -m (-m, m )
3 1

1 3

m,

1 3

m

( m ,+∞)
3

1

+ f’(x) 0 0 + - f (x) 极大值 极小值 从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9,即 f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1, 依题意知 f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1 或 x=- 所以切线方程为 y-6=-5(x+1),或 y- 即 5x+y-1=0,或 135x+27y-23=0.
68 27 1 3 1 3

. 又 f(-1)=6,f(- ),

1 3

)=

68 27



=-5(x+

历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1

2
3

3

4

5

6

7


8

9

10

1. (2004 湖北理科)函数 f ( x ) ? ax ? x ? 1 有极值的充要条件是( (A) a ? 0 (B) a ? 0
x

(C) a ? 0
2

(D) a ? 0
1 2

2.(2007 全国Ⅱ理)已知曲线 y ? (A)3 (B) 2

? 3lnx 的一条切线的斜率为

4

,则切点的横坐标为(



1 (D) 2 ′ ′ ′ 3.(2005 湖南理)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0 (x),f2(x)=f1 (x),…,fn+1(x)=fn (x),n∈N, 则 f2005(x)=( ) A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx (C) 1 4.(2008 广东理)设 a ? R ,若函数 y ? e A. a ? ? 3 B. a ? ? 3
ax

? 3 x , x ? R 有大于零的极值点,则(
1 3
3



C. a ? ?

D. a ? ?

1 3

5.(2001 江西、山西、天津理科)函数 y ? 1 ? 3 x ? x 有( ) (A)极小值-1,极大值 1 (B)极小值-2,极大值 3 (C)极小值-2,极大值 2 (D)极小值-1,极大值 3 6. (2004 湖南理科)设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ? ( x ) >0.且 g ? ? 3 ? ? 0 ,.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) (A) ( ? 3 , 0 ) ? ( 3 , ?? ) (C) ( ?? , ? 3 ) ? ( 3 , ?? )
1 x

(B) ( ? 3 , 0 ) ? ( 0 ,3 ) (D) ( ?? , ? 3 ) ? ( 0 ,3 ) )

2 7.(2007 海南、宁夏理)曲线 y ? e 2 在点 (4, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

A.

9 2

e

2

B. 4 e
1 2
2

2

C. 2 e

2

D. e

2

8. (2008 湖北理)若 f(x)= ? A.[-1,+∞]

x ? b ln ( x ? 2 ) 在 ( - 1 , + ? ) 上是减函数,则 b 的取值范围是(



B.(-1,+∞) C. ? ? ? ,? 1?

D.(-∞,-1)

9. (2005 江西理科)已知函数 y ? x f ?( x ) 的图像如右图所示(其中 f ?( x ) 是函数 f ( x )的导函数 ) ,下面四 个图象中 y ? f ( x ) 的图象大致是 ( )
y
2 1 -2 -1 -2
o

y
2 1
1 23 x
o

y
4

y
4 2 1

y y=xf'(x)
1 -1
o

-1 -2
B

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x

1

x

-1

A

C

D )

10.(2000 江西、天津理科)右图中阴影部分的面积是( (A) 2 3 (B) 9 ? 2 3 (C)
32 3

(D)

35 3

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11.(2007 湖北文)已知函数 y ? f ( x ) 的图象在 M(1,f(1) )处的切线方程是 y ? f(1)—f’(1)=______________. 12. (2007 湖南理)函数 f ( x ) ? 12 x ? x 在区间 [ ? 3, 上的最小值是 3]
3 ax

1 2

x

+2,



1) 13.(2008 全国Ⅱ卷理)设曲线 y ? e 在点 (0, 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? _____ . 2 14. (2006 湖北文)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量, 2 1 1 则 (? ? r ) ? =2 ? r ○, ○式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

1 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○的式子: 2 ○式可以用语言叙述为: 。

2 ○

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分)
15.(2004 重庆文)某工厂生产某种产品, 已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 p (元/吨)之间的 关系式为: p ? 2 4 2 0 0 ?
1 5 x ,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x (元) 。问该产每月生产多少吨产品
2

才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本) 16.(2008 重庆文) 设函数 f ( x ) ? x ? ax ? 9 x ? 1( a ? 0). 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与 直线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的单调区间.
3 2

17.(2008 全国Ⅰ卷文、理)已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? x ? 1 , a ? R .
3 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ?
? ? 2 3
?x

, ?

1? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. 3?

18. (2004 浙江理)设曲线 y ? e S(t) 。

( x ≥0)在点 M(t, e

?t

)处的切线 l 与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为

(Ⅰ)求切线 l 的方程;

(Ⅱ)求 S(t)的最大值。
2

19.(2007 海南、宁夏文)设函数 f ( x ) ? ln ( 2 x ? 3) ? x (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?
?

?

3 1? , 的最大值和最小值. 4 4? ?

20..(2007 安徽理)设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (x) (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1.

历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)

参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号

1

2

3

4

5 D

6 D

7 D

8 C

9 C

10 C

答案 C A C B 二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11. 3 ; 12. ? 16 ; 13. 2

? ?4 3 ? 2 ; 14. ? ? R ? ? 4 ? R ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数 3 ? ?
1 5

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分)
15. 解:每月生产 x 吨时的利润为 f ( x ) ? ( 24200 ?
? ? 1 5 由 f ?( x ) ? ? x ? 24000 ? 0 解得 x 1 ? 200 , x 2 ? ? 200 ( 舍去 ). 5 因 f ( x ) 在 [ 0 , ?? )内只有一个点 x ? 200 使 f ? ( x ) ? 0 ,故它就是最大值点,且最大值为:
2

x ) x ? ( 50000 ? 200 x )
2

x ? 24000 x ? 50000
3

( x ? 0)

3

f ( 200 ) ? ?

1 5

( 200 ) ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 ( 元 )
3

答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元. 16. 解:(Ⅰ)因为 f ( x ) ? x ? a x ? 9 x ? 1 , 所以 f ? ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? 9 ? 3( x ?
2 2 2

a 3

) ?9?
2

a

2

.

3

即当 x ? ?

a 3 a
2

时 , f ?( x ) 取 得 最 小 值 ? 9 ?

a

2

.

3

因斜率最小的切线与 1 2 x ? y ? 6 平行,即该切线的斜率为-12, 所以 ? 9 ?
? ? 1 2, 即 a ? 9 .
2

解得 a ? ? 3,由 题 设 a ? 0, 所 以 a ? ? 3.
3 2

3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ? 3, 因 此 f ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x ? 1,
2 f ? ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3( x ? 1)

令 f ? ( x ) ? 0, 解 得 : x1 ? ? 1, x 2 ? 3 . 当 x ? ( ? ? , ? 1)时 , f ? ( x ) ? 0, 故 f ( x ) 在 ( ? ? , 1) 上 为 增 函 数 ; ? 当 x ? ( ? 1, 3)时 , f ? ( x ) ? 0, 故 f ( x ) 在 ( ? 1,) 上 为 减 函 数 ; 3 当 x ? ( 3 , + ? ) 时 , f ? ( x ) ? 0, 故 f ( x ) 在 ( 3 , ? ) 上 为 增 函 数 . ? 由 此 可 见 , 函 数 f ( x )的 单 调 递 增 区 间 为 ( ? ? , ? 1) 和 ( 3 , ? ) ; ? 单 调 递 减 区 间 为 ( ? 1,) 3 .

17.解: (1) f ( x ) ? x ? ax ? x ? 1
3 2
2 当 a ≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ? ( x ) ≥ 0 ,

2 求导: f ? ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? 1

f ( x ) 在 R 上递增
?a ? 3 a ?3
2

2 当 a ? 3 , f ?( x ) ? 0 求得两根为 x ?

2 2 2 ? ? ? ? ? ? 即 f ( x ) 在 ? ? ? , a ? a ? 3 ? 递增, ? ? a ? a ? 3 , a ? a ? 3 ? 递减,

? ?

3

? ?

? ?

3

3

? ?

? ?a ? a2 ? 3 ? , ? ? 递增 ? ? ? ? 3 ? ?

(2)要使 f(x)在在区间 ? ?
?

?

2 3

, ?

1? 1 ? 2 ? ? 内是减函数,当且仅当, f ? ( x ) ? 0 在 ? ? , 3? 3 ? 3

? ? 恒成立, ?

? ? 2? ? 7 4a ? f ?? ? ? ? 0 ?3 ? 3 ? 0 3? ? ? ? 由 f ? ( x ) 的图像可知,只需 ? ,即 ? , 4 2a ? f ?? ? 1 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? 3 ? ? 3? ?3 ? ?

解得。a≥2。

所以, a 的取值范围 ?2 , ?? ? 。 故切线 l 的方程为 y ? e
1 2
1 2 e
?t

?x ?x ?t 18.解: (Ⅰ)因为 f ?( x ) ? ( e ) ? ? ? e , 所以切线 l 的斜率为 ? e , ?t

? ?e

?t

( x ? t ). 即 e
?t

?t

x? y?e

?t

( t ? 1) ? 0 。

(Ⅱ)令 y= 0 得 x=t+1, x=0 得 y ? e ( t ? 1) 所以 S(t)=
( t ? 1) ? e
?t

( t ? 1) =

1 2

( t ? 1) e

2

?t

从而 S ? ( t ) ?

(1 ? t )( 1 ? t ).

∵当 t ? (0,1)时, S ?(t ) >0, 当 t ? (1,+∞)时, S ?(t ) <0, 所以 S(t)的最大值为 S(1)=
? ? 3 2

2 e


? ?

? 19.解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ∞ ? .

(Ⅰ) f ? ( x ) ? 当?
3 2

2 2x ? 3

? 2x ?

4x ? 6x ? 2
2

2x ? 3

?

2 ( 2 x ? 1)( x ? 1) 2x ? 3
1 2


1 2

? x ? ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? ?

时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? ?
? ? ? ?

时, f ?( x ) ? 0 .
1? ? 单调减少. 2?

? ? ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , 1 ? , ? ? , ∞ ? 单调增加,在区间 ? ? 1, ? 2 ? ? 2

?

3

?

?

1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ?
?

?

3 1? 1 ? 1? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 4? 4 ? 2?

又 f ??
?

?

3? 3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ?1? ? ln ? ? ln ? ? ? 1 ? ln ? ? f ? ? ? ln ? ? ? 0. 4? 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ?4?

所以 f ( x ) 在区间 ? ?
?

?

1 7 3 1? ?1? ? ln . , ? 的最大值为 f ? ? ? 2 4 4? ? 4 ? 16

20.(Ⅰ)解:根据求导法则得 f ? ( x ) ? 1 ? 故 F ( x ) ? xf ?( x ) ? x ? 2 In x ? 2 a , x ? 0 ,

2 In x x

?

2a x

, x ? 0.

于是 F ? ( x ) ? 1 ?

2 x

?

x?2 x

, x ? 0.

列表如下: x (0,2) 2 (2,+∞) 0 + F′(x) F(x) ↓ 极小值 F(2) ↑ 故知 F x) (0, 内是减函数, (2, ( 在 2) 在 +∞) 内是增函数, 所以, x=2 处取得极小值 F 在 (2) =2-2In2+2a. (Ⅱ)证明:由 a ? 0 知, F ( x )的极小值 F ( 2 ) ? 2 ? 2 In 2 ? 2 a ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? ( 0 , ?? ), 恒有 F ( x ) ? xf ? ( x ) ? 0 . 从而当 x ? 0时,恒有 f ? ( x ) ? 0 , 故 f ( x ) 在( 0 , ?? )内单调增加 所以当 x ? 1时, f ( x ) ? f (1) ? 0 , 即 x ? 1 ? In x ? 2 a In x ? 0 .
2

.

故当 x ? 1时,恒有 x ? In x ? 2 a In x ? 1 .
2


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