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满洲里市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

满洲里市第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若等边三角形 ABC 的边长为 2, N 为 AB 的中点,且 AB 上一点 M 满足 CM ? xCA ? yCB , 则当 A.6

姓名__________

分数__________

1 4 ? 取最小值时, CM ? CN ? ( x y
B.5

) C.4
2

D.3

2. 已知圆 M 过定点 (0,1) 且圆心 M 在抛物线 x ? 2 y 上运动,若 x 轴截圆 M 所得的弦为 | PQ | ,则弦长

| PQ | 等于(
A.2 难度较大.

) B.3 C.4 D.与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质,对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高,

3. 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象,则幂函数 y=x

的图象是(



A.①

B.②

C.③

D.④ )

4. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为(

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A.1

B.

C.

D. )

5. 如图可能是下列哪个函数的图象(

A.y=2x﹣x2﹣1

B.y= D.y= )

C.y=(x2﹣2x)ex

6. 给出下列结论:①平行于同一条直线的两条直线平行;②平行于同一条直线的两个平面平行; ③平行于同一个平面的两条直线平行;④平行于同一个平面的两个平面平行.其中正确的个数是( A.1 个
2

B.2 个 )

C.3 个

D.4 个

7. 已知 M 、N 为抛物线 y ? 4 x 上两个不同的点, F 为抛物线的焦点.若线段 MN 的中点的纵坐标为 2 ,

| MF | ? | NF |? 10 ,则直线 MN 的方程为(
A. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

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8. (2011 辽宁)设 sin( A.﹣ B.﹣

+θ)= ,则 sin2θ=( C.

) D.

9. 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AA1 ? 平面 ABC,AA1 =2,BC ? 2 3, ?BAC ? 柱各个顶点都在一个球面上,则球的体积为( A. ) C. )

?
2

,此三棱

32? 3
B.p 假

B. 16?

25? 3

D.

31? 2

10.若命题“p∧q”为假,且“?q”为假,则( A.“p∨q”为假 C.p 真 D.不能判断 q 的真假

11.某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个等腰三角形,及其底边构成的正 方形所组成,该八边形的面积为( )

A. 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 C. 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 12. y) 已知 P (x, 为区域 A.6 B.0 C.2 D.2

B. sin ? ? 3 cos ? ? 3 D. 2sin ? ? cos ? ? 1 z=2x﹣y 的最大值是 内的任意一点, 当该区域的面积为 4 时, ( )

二、填空题
13.在△ ABC 中,已知 =2,b=2a,那么 cosB 的值是 .

14.考察正三角形三边中点及 3 个顶点,从中任意选 4 个点,则这 4 个点顺次连成平行四边形的概率等 于 . . _________ 。 .

15.以点(1,3)和(5,﹣1)为端点的线段的中垂线的方程是 17.无论 m 为何值时,直线(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0 恒过定点
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16. 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线, 若 l1 与 l2 的交点为 (1, 3) , 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于

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18.已知 | a |? 2 , | b |? 1 , ?2a 与 b 的夹角为

1 3

? ,则 | a ? 2b |? 3



三、解答题
19.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn=2an﹣n2+3n+2(n∈N*) (Ⅰ)求证:数列{an+2n}是等比数列; (Ⅱ)设 bn=ansin (Ⅲ)设 Cn=﹣ π,求数列{bn}的前 n 项和; ,数列{Cn}的前 n 项和为 Pn,求证:Pn< .

20.(本题满分 15 分)

1 1 ? ? d ( d 为常数, n ? N * ),则称 ? xn ? 为调和数列,已知数列 ?an ? 为调和数 xn ?1 xn 1 1 1 1 1 列,且 a1 ? 1 , ? ? ? ? ? 15 . a1 a2 a3 a4 a5
若数列 ? xn ? 满足: (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)数列 {

2n } 的前 n 项和为 Sn ,是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2015 ?若存在,求出 n 的取值集合;若不存 an

在,请说明理由. 【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识,意在考查运算求解能力.

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21.已知直线 l:x﹣y+9=0,椭圆 E:

+

=1,

(1)过点 M( , )且被 M 点平分的弦所在直线的方程; (2)P 是椭圆 E 上的一点,F1、F2 是椭圆 E 的两个焦点,当 P 在何位置时,∠F1PF2 最大,并说明理由; (3)求与椭圆 E 有公共焦点,与直线 l 有公共点,且长轴长最小的椭圆方程.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? 1 ? 2x ?1 ? ,数列 ?an ? 满足: a1 ? 2 , an ?1 ? f ? ? ( n ? N ). x ? an ?

(2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ?

【命题意图】本题主要考查等差数列的概念,通项公式的求法,裂项求和公式,以及运算求解能力.

23.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan﹣n(n﹣1). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别求出 an 的表达式; (2)设数列 (3)设 Cn= 的前 n 项和为 Pn,求证:Pn< ; ,Tn=C1+C2+…+Cn,试比较 Tn 与 的大小.

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24.(本题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? AD ? a , E 是棱 CD 上的一点, P 是棱 AA 1 上的一点. (1)求证: AD1 ? 平面 A1B1D ; (2)求证: B1E ? AD1 ; (3)若 E 是棱 CD 的中点, P 是棱 AA 1 的中点,求证: DP // 平面 B 1 AE .

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满洲里市第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】 试题分析: 由题知 BM ? CM ? CB ? xCA ? ( y ?1)CB , 设B BA ? CA ? CB ; M k ? B A 可得 x ? y ? 1 ,当 , 则 x ? k , y ? 1 ? ?k ,

1 4 y 4x 1 4 ?1 4? 4x y 时取到,此 ? 取最小值时, ? ? ? ? ? ? x ? y ? ? 5 ? ? ,最小值在 ? x y x y x y ?x y? y x 2 1 1 CA ? CB 代入,则 时 y ? , x ? ,将 CM ? xCA ? yCB, CN ? 3 3 2 2 2 1 1 x? y ?1 2? CM ? CN ? xCA ? yCB ? CA ? CB ? 3 ? x ? y ? ? 3 ? ? ? ? 3 .故本题答案选 D. 2 2 2 ?3 3?

?

?

考点:1.向量的线性运算;2.基本不等式. 2. 【答案】A 【解析】过 M 作 MN 垂直于 x 轴于 N ,设 M ( x0 , y0 ) ,则 N ( x0 ,0) ,在 Rt?MNQ 中, | MN |? y0 , MQ 为 圆的半径, NQ 为 PQ 的一半,因此
2 2 2 | PQ |2 ? 4 | NQ |2 ? 4(| MQ |2 ? | MN |2 ) ? 4[ x0 ? ( y0 ? 1)2 ? y0 ] ? 4( x0 ? 2 y0 ? 1) 2 2 2 又点 M 在抛物线上,∴ x0 ? 2 y0 ,∴ | PQ | ? 4( x0 ? 2 y0 ? 1) ? 4 ,∴ | PQ |? 2 .

3. 【答案】D 【解析】解:幂函数 y=x 只有④符合. 故选:D. 【点评】本题考查了幂函数的图象与性质,属于基础题. 4. 【答案】 C 为增函数,且增加的速度比价缓慢,

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【解析】解:第一次循环 第四次循环得到的结果 …

第二次循环得到的结果

第三次循环得到的结果

所以 S 是以 4 为周期的,而由框图知当 k=2011 时输出 S ∵2011=502×4+3 所以输出的 S 是 故选 C 5. 【答案】 C
x 2 x 2 【解析】解:A 中,∵y=2 ﹣x ﹣1,当 x 趋向于﹣∞时,函数 y=2 的值趋向于 0,y=x +1 的值趋向+∞, x 2 ∴函数 y=2 ﹣x ﹣1 的值小于 0,∴A 中的函数不满足条件;

B 中,∵y=sinx 是周期函数,∴函数 y= ∴B 中的函数不满足条件;

的图象是以 x 轴为中心的波浪线,

C 中,∵函数 y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,当 x<0 或 x>2 时,y>0,当 0<x<2 时,y<0; 且 y=e >0 恒成立,
2 x ∴y=(x ﹣2x)e 的图象在 x 趋向于﹣∞时,y>0,0<x<2 时,y<0,在 x 趋向于+∞时,y 趋向于+∞; x

∴C 中的函数满足条件; D 中,y= ∴y= 的定义域是(0,1)∪(1,+∞),且在 x∈(0,1)时,lnx<0,

<0,∴D 中函数不满足条件.

故选:C. 【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题,解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征, 是综合性题目. 6. 【答案】B 【解析】

考 点:空间直线与平面的位置关系.

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【方法点晴】 本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明, 其中解答中涉及到直线与直线平行 的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档 试题,本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键. 7. 【答案】D 【解析】解析:本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法. 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) , 那么 | MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 ? 10 ,x1 ? x2 ? 8 , ∴线段 MN 的中点坐标为 (4, 2) .
2 2 由 y1 而 ? 4 x1 ,y2 ? 4 x2 两式相减得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,

y1 ? y2 y ? y2 ?2, ∴ 1 ∴直线 MN ? 1, 2 x1 ? x2

的方程为 y ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? y ? 2 ? 0 ,选 D. 8. 【答案】A

【解析】解:由 sin(

+θ)=sin

cosθ+cos

sinθ=

(sinθ+cosθ)= ,

两边平方得:1+2sinθcosθ= ,即 2sinθcosθ=﹣ , 则 sin2θ=2sinθcosθ=﹣ . 故选 A 【点评】 此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、 两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 简求值,是一道基础题. 9. 【答案】A 【解析】

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考点:组合体的结构特征;球的体积公式. 【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算,其中解答中涉及到三棱柱的线面位置 关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答 问题的能力,以及推理与运算能力和学生的空间想象能力,试题有一定的难度,属于中档试题. 10.【答案】B 【解析】解:∵命题“p∧q”为假,且“?q”为假, ∴q 为真,p 为假; 则 p∨q 为真, 故选 B. 【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断,属于基础题. 11.【答案】A 【解析】 试题分析:利用余弦定理求出正方形面积 S1 ? 1 ? 1 - 2 cos? ? 2 ? 2 cos? ;利用三角形知识得出四个等
2 2

?

?

腰三角形面积 S 2 ? 4 ? 确答案为 A.

1 ? 1 ? 1 ? sin ? ? 2 sin ? ; 故八边形面积 S ? S1 ? S 2 ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 2 .故本题正 2

考点:余弦定理和三角形面积的求解. 【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目,掌握正余弦定理是解题的关键;首先根据三角

1 1 ? 1 ? 1 ? sin ? ? sin ? 求出个三角形的面积 4 S ? 2 sin ? ;接下来利用余弦定理可求出正 2 2 2 2 2 2 方形的边长的平方 1 ? 1 - 2 cos? ,进而得到正方形的面积 S1 ? 1 ? 1 - 2 cos? ? 2 ? 2 cos? ,最后得到
形面积公式 S ?

?

?

?

?

答案. 12.【答案】A 解析:解:由 作出可行域如图,

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由图可得 A(a,﹣a),B(a,a), 由 ∴A(2,﹣2), 化目标函数 z=2x﹣y 为 y=2x﹣z, ∴当 y=2x﹣z 过 A 点时,z 最大,等于 2×2﹣(﹣2)=6. 故选:A. ,得 a=2.

二、填空题
13.【答案】 【解析】解:∵ b=2a, ∴ ∴cosB= . 故答案为: . 【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14.【答案】 . =15 种选法, = = . . =2,由正弦定理可得: ,即 c=2a.

【解析】解:从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择 4 个,共有 其中 4 个点构成平行四边形的选法有 3 个, ∴4 个点构成平行四边形的概率 P= 故答案为: . = .

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【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,是基础题.确定基本事件的个数是关键. 15.【答案】 x﹣y﹣2=0 . 【解析】解:直线 AB 的斜率 kAB=﹣1,所以线段 AB 的中垂线得斜率 k=1,又线段 AB 的中点为(3,1), 所以线段 AB 的中垂线得方程为 y﹣1=x﹣3 即 x﹣y﹣2=0, 故答案为 x﹣y﹣2=0. 【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法,此外,本题还可以利用线段的中垂线的性质(中垂线上的 点到线段的 2 个端点距离相等)来求中垂线的方程.

16.【答案】 【解析】设 l1 与 l2 的夹角为 2θ ,由于 l1 与 l2 的交点 A(1,3)在圆的外部, 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= 圆的半径为 r= , = ,

∴sinθ =

=



∴cosθ =

,tanθ =

=



∴tan2θ =

=

=



故答案为:



17.【答案】 (3,1) . 【解析】解:由(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0,得 即(2x+y﹣7)m+(x+y﹣4)=0, ∴2x+y﹣7=0,① 且 x+y﹣4=0,②

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∴一次函数(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0 的图象就和 m 无关,恒过一定点. 由①②,解得解之得:x=3 y=1 所以过定点(3,1); 故答案为:(3,1) 18.【答案】 2 【解析】解析:本题考查向量夹角与向量数量积的应用. a 与 b 的夹角为 ∴ | a ? 2b |?

2? , a ? b ? ?1 , 3

(a ? 2b) 2 ? | a |2 ?4a ? b ? 4 | b |2 ? 2 .

三、解答题
19.【答案】
2 * ∴当 n≥2 时, 【解析】 (I) 证明: 由 Sn=2an﹣n +3n+2 (n∈N ) ,



an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4, 变形为 an+2n=2[an﹣1+2(n﹣1)],当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1+3+2,解得 a1=﹣4,∴a1+2=﹣2,∴数列{an+2n} 是等比数列,首项为﹣2,公比为 2;
n 1 n (II)解:由(I)可得 an=﹣2×2 ﹣ ﹣2n=﹣2 ﹣2n.

∴bn=ansin

π=﹣(2n+2n)

,∵

=

=(﹣1)n,

n+1 n ∴bn=(﹣1) (2 +2n).

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
* 2 3 4 2k 1 2k 当 n=2k(k∈N )时,T2k=(2﹣2 +2 ﹣2 +…+2 ﹣ ﹣2 )+2(1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k)

=

﹣2k=

﹣n. ﹣2k﹣(﹣2 ﹣4k)=
2k

当 n=2k﹣1 时,T2k﹣1= (III)证明:Cn=﹣ =

+n+1+2n+1=

+n+1.

,当 n≥2 时,cn



∴数列{Cn}的前 n 项和为 Pn<

=

= ,

当 n=1 时,c1= 综上可得:?n∈N ,
*

成立. .

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递 推式的应用,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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20.【答案】(1) an ?

1 ,(2)详见解析. n



n ? 8 时 S8 ? 7 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2015 ,…………13 分
9 11

* ∴存在正整数 n ,使得 Sn ? 2015 的取值集合为 n | n ? 8, n ? N ,…………15 分

?

?

21.【答案】 【解析】解:(1)设以点 M( , )为中点的弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴x1+x2=1,y1+y2=1, 把 A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆 E: + =1,



,∴kAB=

=﹣

=﹣ ,

∴直线 AB 的方程为 y﹣ =﹣ (x﹣ ),即 2x+8y﹣5=0. (2)设|PF1|=r1,|PF2|=r1, 则 cos∠F1PF2= = ﹣1= ﹣1= ﹣1,

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又 r1r2≤(

2 2 ) =a (当且仅当 r1=r2 时取等号)

∴当 r1=r2=a,即 P(0, (3)∵ =12,

)时,cos∠F1PF2 最小, =9. + =1(a2>9),

又∠F1PF2∈(0,π),∴当 P 为短轴端点时,∠F1PF2 最大. =3,∴

则由题意,设所求的椭圆方程为

2 2 2 2 4 将 y=x+9 代入上述椭圆方程,消去 y,得(2a ﹣9)x +18a x+90a ﹣a =0, 2 2 2 2 4 依题意△=(18a ) ﹣4(2a ﹣9)(90a ﹣a )≥0, 2 2 化简得(a ﹣45)(a ﹣9)≥0, 2 2 ∵a ﹣9>0,∴a ≥45,

故所求的椭圆方程为

=1.

【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法,考查当 P 在何位置时,∠F1PF2 最大的判断与求法,是中档题, 解题时要认真审题,注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用. 22.【答案】 【解析】(1)∵ f ( x) ?

2x ?1 1 1 ? 2 ? ,∴ an ?1 ? f ( ) ? 2 ? an . x x an
(5 分)

即 an?1 ? an ? 2 ,所以数列 {an } 是以首项为 2,公差为 2 的等差数列, ∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n . (2)∵数列 {an } 是等差数列,

(a1 ? an )n (2 ? 2n) n ? ? n(n ? 1) , 2 2 1 1 1 1 ∴ . (8 分) ? ? ? Sn n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? ? ? ? ? S1 S2 S3 Sn 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )?( ? )?( ? )? ?( ? ) 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n 1 ? ? 1? . (12 分) n ?1 n ?1
∴ Sn ? 23.【答案】 【解析】解:(1)证明:∵Sn=nan﹣n(n﹣1) ∴Sn+1=(n+1)an+1﹣(n+1)n…

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∴an+1=Sn+1﹣Sn=(n+1)an+1﹣nan﹣2n… ∴nan+1﹣nan﹣2n=0 ∴an+1﹣an=2, ∴{an}是以首项为 a1=1,公差为 2 的等差数列 … 由等差数列的通项公式可知:an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1, 数列{an}通项公式 an=2n﹣1;… (2)证明:由(1)可得 … = (3)∴ = 两式相减得 = , , … … , ,

=



= = ∴ ∴ ∵n∈N , ∴2 >1, ∴ ∴ , …
n *

, , … …

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24.【答案】 【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明,对空间想象能力及 逻辑推理有较高要求,对于证明中辅助线的运用是一个难点,本题属于中等难度.

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