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(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第3讲 三角函数、解三角形、平面向量课件


第四篇

回归教材,纠错例析,帮你减少高考失分点

3.三角函数、解三角形、 平面向量

栏目索引

要点回扣 易错警示

查缺补漏

要点回扣 1.α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)?α=θ +2kπ(k∈Z),注意:相等的角的终边一定相同,终边相同 的角不一定相等. 任意角的三角函数的定义:设 α 是任意一个角,P(x,y)是 α
的终边上的任意一点 ( 异于原点 ) ,它与原点的距离是 r = y x y x +y >0,那么 sin α=r,cos α=r ,tan α=x(x≠0),三角
2 2

函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关.

问题1 已知角α的终边经过点P(3,-4),则sin α+cos α的
1 -5 值为________.

2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
sin α (2)商数关系:tan α=cos α. (3)诱导公式记忆口诀:奇变偶不变、符号看象限
角 正弦 余弦 -α -sin α cos α π -α sin α π+α -sin α 2π-α -sin α cos α π - α 2 cos α sin α

-cos α -cos α

问题 2 cos

? 7π? 9π ? ? - + tan ? ?+sin 6 4 ? ?

2 3 -3 2 21π 的值为____________.

3.三角函数的图象与性质 (1)五点法作图;
π (2)对称轴: y=sin x, x=kπ+2, k∈Z; y=cos x, x=kπ, k∈Z; ? ? π ? 对称中心:y=sin x,(kπ,0),k∈Z;y=cos x,?kπ+2,0? ?, ? ?
k∈Z;y=tan
?kπ ? ? ? , 0 x,? 2 ?,k∈Z. ? ?

(3)单调区间:
y=sin x
? π ? π ? 的增区间:?-2+2kπ,2+2kπ? ? ? ?

(k∈Z),

?π ? 3π ? 减区间:?2+2kπ, 2 +2kπ? ? ? ?
? ? ?

(k∈Z);
?

y=cos x 的增区间: -π+2kπ,2kπ?? (k∈Z),
减区间:[2kπ,π+2kπ] (k∈Z); y=tan x
? π ? π ? 的增区间:?-2+kπ,2+kπ? ? ? ?

(k∈Z).

(4)周期性与奇偶性: y=sin x的最小正周期为2π,为奇函数;y=cos x的最小正周期为2π,

为偶函数;y=tan x的最小正周期为π,为奇函数.
易错警示:求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,容易出现以下错误:

(1)不注意ω的符号,把单调性弄反,或把区间左右的值弄反;
(2)忘掉写+2kπ,或+kπ等,忘掉写k∈Z;

(3)书写单调区间时,错把弧度和角度混在一起.如[0,90° ]应
? π? ? ? 写为?0,2?. ? ?

? π? ? 问题 3 函数 y=sin?-2x+3? ?的递减区间是 ? ? ? ? π 5 ? ? ?kπ-12,kπ+12π?(k∈Z) ________________________. ? ?

4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
令α=β sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β ——→ sin 2α=2sin αcos α.
令α=β cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β ——→ cos 2α=cos2α-sin2α =2cos2α-1=1-2sin2α.
tan α± tan β tan(α± β)= . 1?tan αtan β
1+cos 2α 1-cos 2α 2tan α 2 cos α= ,sin α= ,tan 2α= . 2 2 1-tan2α
2

在三角的恒等变形中,注意常见的拆角、拼角技巧,如: α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),
1 α=2[(α+β)+(α-β)]. ? ? π? π? π ? ? ? ? π α+4=(α+β)-?β-4?,α=?α+4?-4. ? ? ? ?

问题 4 已知 则

?3π ? ? π? 3 ? ? ? ? 12 α, β∈? 4 ,π?, sin(α+β)=-5, sin?β-4?=13, ? ? ? ?

? π? -65 ? ? cos?α+4?=________. ? ?

56

a b c (1)正弦定理:sin A=sin B=sin C=2R(R 为三角形外接圆的半 径).注意:①正弦定理的一些变式:(ⅰ)a∶b∶c=sin A∶sin B a b c ∶sin C; (ⅱ)sin A=2R, sin B=2R, sin C=2R; (ⅲ)a=2Rsin A, b=2Rsin B,c=2Rsin C;②已知三角形两边及一对角,求解三 角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具 体情况进行取舍.在△ABC 中 A>B?sin A>sin B.

5.解三角形

2 2 2 b + c - a (2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,cos A= 2bc 等,

常选用余弦定理判定三角形的形状.
问题 5 在 △ABC 中, a = 3 , b = 2 , A = 60° ,则 B =

45° ________.

6.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a∥b?b=λa?x1y2

-x2y1=0.
a⊥b (a≠0)?a· b=0?x1x2+y1y2=0.

0看成与任意向量平行,特别在书写时要注意,否则有质的
不同.

问题6

下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,

则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0,则-a ④ =0.其中正确命题是________.

7.向量的数量积 |a|2=a2=a· a, a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2,
x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2, |a||b| x1+y1 x2+y2
a· b x1x2+y1y2 a 在 b 上的投影=|a|cos〈a,b〉= = 2 2 . |b| x2+y2

注意:〈a,b〉为锐角?a· b>0且a、b不同向;
〈a,b〉为直角?a· b=0且a、b≠0;

〈a,b〉为钝角?a· b<0且a、b不反向.
易错警示:投影不是“影”,投影是一个实数,可以是正 数、负数或零. 问题7 已知|a|=3,|b|=5,且a· b=12,则向量a在向量b 12 上的投影为________. 5

8. 当 a· b = 0 时,不一定得到 a⊥b ,当 a⊥b 时, a· b = 0 ; a· b =c· b,不能得到a=c,消去律不成立;(a· b)c与a(b· c)不一 定相等,(a· b)c与c平行,而a(b· c)与a平行. 问题8 下列各命题:①若a· b=0,则a、b中至少有一个为

0;②若a≠0,a· b = a· c,则b=c;③对任意向量a、b、c,
有(a· b)c≠a(b· c);④对任一向量a,有a2=|a|2.其中正确命题 ④ 是________.

9.几个向量常用结论
→ → → (1)PA+PB+PC=0?P 为△ABC 的重心;

→ → → → → → (2)PA· PB=PB· PC=PC· PA?P 为△ABC 的垂心;
→ → AB AC (3)向量 λ( + ) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心; → → |AB| |AC|

→ → → (4)|PA|=|PB|=|PC|?P 为△ABC 的外心.

易错警示 易错点1 忽视角的范围 5 10 例 1 已知 sin α= 5 ,sin β= 10 ,且 α,β 为锐角,则 α
+β=________.

错因分析 只考虑α,β为锐角. 5 10 没有注意到 sin α= 5 , sin β= 10 本身对角的范围的限制,
造成错解.

解析

2 5 因为 α,β 为锐角,所以 cos α= 1-sin α= 5 ,
2
2

3 10 cos β= 1-sin β= 10 .

所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
2 5 3 10 5 10 2 = 5 × 10 - 5 × 10 = 2 .
π 又因为 0<α+β<π,所以 α+β=4. π 答案 4

易错点2 图象平移把握不准
例2 π 已知函数 f(x)=sin(2x+4), 为了得到函数 g(x)=cos 2x )

的图象,只要将 y=f(x)的图象(
π A.向左平移8个单位长度 π C.向左平移4个单位长度

π B.向右平移8个单位长度 π D.向右平移4个单位长度

错因分析

①没有将 f(x) ,g(x) 化为同名函数;②平移时看

2x变成了什么,而没有认识到平移过程只是对“x”而言.
π π π 解析 g(x)=sin(2x+2)=sin[2(x+8)+4], π ∴y=f(x)的图象向左平移8个单位长度即可得到 y=g(x)的

图象.

答案 A

易错点3 三角函数单调性判断错误 1 π 2x 例 3 求函数 y=2sin(4- 3 )的单调区间.
错因分析 由于受思维定势的影响,本题容易出现仍然按

照函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的判断方法进行, π π 2 π 如认为当 x 满足 2kπ-2≤4-3x≤2kπ+2(k∈Z)时函数单调 递增,就会求错函数的单调区间.

1 2x π 解 原函数变形为 y=-2sin( 3 -4), 2x π 令 u= 3 -4,则只需求 y=sin u 的单调区间即可, π 2x π π 所以 y=sin u 在 2kπ-2≤ 3 -4≤2kπ+2(k∈Z), 3π 9π 即 3kπ- 8 ≤x≤3kπ+ 8 (k∈Z)上单调递增;
π 2x π 3π y=sin u 在 2kπ+2≤u= 3 -4≤2kπ+ 2 (k∈Z),

9π 21 即 3kπ+ 8 ≤x≤3kπ+ 8 π(k∈Z)上单调递减.
1 π 2x 故 y=2sin(4- 3 )=-sin u 的单调递减区间为 3π 9π [3kπ- 8 ,3kπ+ 8 ](k∈Z),

9π 21π 单调递增区间为[3kπ+ 8 ,3kπ+ 8 ](k∈Z).

易错点4 解三角形忽视检验
例 4 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 a=1,c= 3. π (1)若角 C=3,则角 A=________; π (2)若角 A=6,则 b=________.

错因分析 在用正弦定理解三角形时, 易出现漏解或多解的 错误,如第(1)问中没有考虑 c 边比 a 边大,在求得 sin A= asin C 1 π 5π c =2后,得出角 A=6或 6 ; csin A 3 在第(2)问中没有考虑角 C 有两解,由 sin C= a = 2 ,
π π 只得出角 C=3,所以角 B=2,解得 b=2,这样就出现漏解 的错误.

asin C 1 a c 解析 (1)由正弦定理sin A=sin C,得 sin A= c =2, π 又 a<c,所以 A<C.所以 A=6. a c (2)由sin A=sin C,
csin A 3 π 2π 得 sin C= a = 2 ,得 C=3或 3 , π π 当 C=3时,B=2,可得 b=2; 2π π 答案 当 C= 3 时,B=6,此时得 b=1.

π (1)6

(2)2或1

易错点5 忽视向量共线致误
例5 已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ

为锐角,则λ的取值范围是_____________________. 错因分析 误认为θ为锐角?cos θ>0,没有排除θ=0即两

向量同向的情况.

解析 由θ为锐角,有0<cos θ<1.
2λ+1 2λ+1 a· b 又∵cos θ= = ,∴0< <1, 2 2 |a|· |b| 5· λ +1 5· λ +1
1 ? ? 2 λ + 1>0 , ?λ>- , ? 2 ∴? 解得? 2 ? ? ?2λ+1< 5· λ +1, ?λ≠2.
∴λ
? ? 1 ? ? ? 的取值范围是?λ|λ>-2且λ≠2? . ? ? ?
? ? 1 ? ? ?λ|λ>- 且λ≠2? ? ? 2 ? ?

答案

查缺补漏 于( D ) 4 A.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.(2014· 大纲全国)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α等
3 B.5 3 C.-5 4 D.-5

解析 因为角α的终边经过点(-4,3),
4 x 所以 x=-4,y=3,r=5,所以 cos α=r=-5.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( C )
A.a>b>c C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b

解析 ∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,
sin 35° c=tan 35°=cos 35°,

又0<cos 35°<1,∴c>b>a.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 π 2 3.已知 sin αcos α=3,则 cos (α+4)的值为( C ) 1 1 1 2 A.2 B.3 C.6 D.3 1 解析 ∵sin αcos α=3, 2 ∴sin 2 α=2sin αcos α=3, π 2 1+cos ?2α+2? 1-sin 2 α 1-3 π 1 2 ∴cos (α+4)= = = 2 =6. 2 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

π 4.函数 y=2sin( 6-2x)(x∈[ -π,0] )的单调递增区间是 ( 5π π A.[-π,- 6 ] B.[-3,0]
2π π π π C.[- 3 ,-6] D.[-3,-6] π π 解析 因为 y=2sin( 6-2x)=-2sin(2 x-6), π 所以函数 y=2sin( 6-2x)的单调递增区间就是函数 y=sin(2 x π -6)的单调递减区间 .

)

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π π 3π 由2+2kπ≤2x-6≤ 2 +2kπ(k∈Z), π 5π 解得3+kπ≤x≤ 6 +kπ(k∈Z), π π 5π 即函数 y = 2sin( 6 - 2x) 的单调递增区间为 [ 3 + kπ , 6 +
kπ]( k∈Z)

又x∈[-π,0],所以k=-1,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

π 故函数 y=2sin( 6-2x)(x∈[ -π,0] )的单调递增区间为 2π π [- 3 ,-6].

答案 C

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5.函数f(x)=Asin(2x+φ)(A,φ∈R)的部分图象如图 所示,那么f(0)等于(
1 A.-2 B.-1

)
3 C.- 2 D.- 3

解析 由题图可知,函数的最大值为2,因此A=2.
?π ? ? 又因为函数经过点?3,2? ?,则 ? ? ? ? π ? 2sin?2×3+φ? ?=2, ? ?

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π π 即 2×3+φ=2+2kπ,k∈Z,
π 得 φ=-6+2kπ,k∈Z.
f(0) =2sin
? π ? ? φ=2sin ?-6+2kπ? ?=-1. ? ?

答案 B

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6.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若 a2+b2=2c2,则cos C的最小值为( C )
3 A. 2
解析

2 1 B. 2 C.2 a2+b2-c2 c2 ∵cos C= 2ab =2ab,

1 D.-2

又∵a2+b2≥2ab,∴2ab≤2c2.
1 1 ∴cos C≥2.∴cos C 的最小值为2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7.如图,平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD =1,∠A=60° ,点 M 在 AB 边上,且 AM= 1 → → AB ,则 DM · DB 等于 ( ) 3 3 3 A.- 2 B. 2 C.-1 → → → → 1→ 解析 DM=DA+AM=DA+3AB, → → → 又DB=DA+AB,

D.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

→ → → 1→ → → 所以DM· DB=(DA+3AB)· ( DA+AB)
4 4→ → → 2 1→2 4 → → =DA +3AB +3DA· AB=1+3-3AD· AB
7 4→ → 7 4 1 =3-3|AD|· | AB|cos 60°=3-3×1×2×2=1.

答案 D

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8.在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为 ________ .
解析 3 AB BC 由正弦定理知 sin C=sin 60°=sin A,

∴AB=2sin C,BC=2sin A. 又A+C=120°, ∴AB+2BC=2sin C+4sin(120°-C) =2(sin C+2sin 120°cos C-2cos 120°sin C)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

=2(sin C+ 3cos C+sin C)
=2(2sin C+ 3cos C)=2 7sin( C+α),
3 其中 tan α= 2 ,α 是第一象限角 ,

由于0°<C<120°,且α是第一象限角,
因此 AB+2BC 有最大值 2 7.
答案 2 7

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9.如图是函 数 y=sin( ωx+φ)图象的一部分, A,B 是图象上的一个最高点和一个最低点,

1 2 → → π - 1 O 为坐标原点,则 OA· OB的值为________ . 9

π 2π 解析 由题意可知 A(6,1),B( 3 ,-1), 1 2 → → π 2π OA· OB=6× 3 +1×(-1)=9π -1.

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π 3 2 10.(2014· 天津)已知函数 f(x)=cos x· sin( x+3)- 3cos x+ 4 , x∈R. (1)求f(x)的最小正周期;

1 3 3 2 解 由已知,有 f(x)=cos x· (2sin x+ 2 cos x)- 3cos x+ 4 1 3 2 3 1 3 3 =2sin x· cos x- 2 cos x+ 4 =4sin 2x- 4 (1+cos 2x)+ 4 1 3 1 π =4sin 2x- 4 cos 2x=2sin(2x-3). 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

π π (2) 求 f(x)在闭区间[-4,4]上的最大值和最小值 . π π 解 因为 f(x)在区间[-4,-12]上是减函数, π π 在区间[-12,4]上是增函数, π 1 π 1 π 1 f(-4)=-4,f(-12)=-2,f(4)=4,
ππ 1 1 所以,函数 f(x)在闭区间[-4,4]上的最大值为 4,最小值为- 2.


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