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圆的方程(2015版)


2015—2016 年高三复习讲义

圆的方程与圆的性质(2 课时)
【教学目标】掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程等形式,能根据已知条件求出圆的方程,掌 握圆的性质. 【教学重点】圆的三种形式的方程,圆的性质. 【教学难点】圆的三种形式的方程及圆的性质的灵活运用. 一.基础知识 (一)圆的方程 1.圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是: ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 『几何意义』两点间的距离的平方. 2.圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ?4 F ? 0 ).
2 2

3.圆的参数方程: ?

? x ? a ? r cos? ( ? 为参数) . ? y ? b ? r sin ?

【备注】利用圆的参数方程进行三角换元. 2.圆系方程:过圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 (设为 f1 ( x, y) ? 0 )与圆 C2 : x 2 ? y 2

? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 (设为 f 2 ( x, y) ? 0 )交点的圆系方程是: ( x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ) . ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 (不含圆 C2 ) 当 ? ? ?1 时圆系方程变为:两圆公共弦所在直线方程. P 【备注】曲线 f1 ( x, y) ? 0 f 2 ( x, y) ? 0 可以是直线或圆.
(二)圆的性质
D C O C A O B A B B C

M

A C P

d
A B A C

R

B N D

?DAB+ ?DCB=

R2 =d2 +(

AB 2

2

)

?AOB=

?ACB

PA2 =

二.典例分析: (一)方程与圆 例 1、已知方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0 表示一个圆. (1)求实数 m 的取值范围; (2)求该圆半径 r 的取值范围; (3)求圆心的轨迹方程. 【解】(1) 方程表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0, 1 即 4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0,所以- <m<1. 7 3 16 4 7 4 7 (2) r= -7?m- ?2+ ≤ ,所以 0<r≤ . 7 7 7 7 ? ?x=m+3, (3) 设圆心坐标为(x,y),则? 2 ?y=4m -1. ? 消去 m,得 y=4(x-3)2-1. 1 20 20 因为- <m<1,所以 <x<4,即轨迹为抛物线的一段.y=4(x-3)2-1( <x<4). 7 7 7
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例 2、已知圆的方程为 x +y +ax+2y+a2=0,一定点 A(1,2),要使过定点 A 的圆的切线有两条, 求实数 a 的取值范围. 4-3a2 a 【解法一】将圆的方程配方,得(x+ )2+(y+1)2= . 2 4 4-3a2 a ∴圆心 C 的坐标为(- ,-1),半径 r= . 2 4 则 4-3a2>0,过点 A(1,2)所作圆的切线有两条,则点 A 必在圆外, 4-3a2 a 2 2 ∴|AC|>r.即 (? 1 + )?? +?(2+1?)? > ,化简得 a2+a+9>0. 2 4 a∈R, ? ?a2+a+9>0, ? ? 2 3 2 3 由? 解得? 2 3 ∴- < a< . 2 3 2 3 3 ?4-3a >0, ? - <a< . ? 3 ? 3 2 3 2 3 故 a 的取值范围是(- , ). 3 3 ?a2+22-4a2>0, ? 【解法二】由题意,A 在圆外,则需满足? 2 2 2 ? ?x +y +ax+2y+a >0, 2 3 2 3 2 3 2 3 将 A(1,2)代入,得- <a< . 故 a∈(- , ). 3 3 3 3 例 3、曲线 ( x ? cos? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? 1(? ? R) 在直角坐标平面上形成的面积是 . 【解】 ( x ? cos? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? 1(? ? R) 圆心的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,所以所有圆覆盖的区 域是以原点为圆心,半径为 2 的圆,所以形成的面积为 4? . 例 4、已知圆 C:x2+y2+bx+ay-3=0(a>0,b>0)上任意一点关于直线 l:x+y+2=0 的对称点都在圆 C 上, 1 4 则 + 的最小值为( ) a b 9 A. B.9 C.1 D .2 4 b a 【解】依题意得:直线 l:x+y+2=0 经过圆的圆心,则有- - +2=0,所以 a+b=4. 2 2 1 4 1 4 1 1 b 4a 9 + = ( + )(a+b)× = × (5+ + )≥ , 当且仅当 b=2a 时取等号 a b a b 4 4 a b 4 【补充练习】 1、已知圆的方程为 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ?1 ? 0 ,则圆心的轨迹方程为
2 2 2

2

2



【解】 ( x ?

a 2 3 3 2 a ) ? ( y ? a) 2 ? 1 ? a ? a 2 ,由 1 ? a ? a 2 ? 0 得: ? 2 ? a ? ,圆心 ( ? ,? a ) 2 4 4 3 2 a ? 1 ?x ? ? 即? 2 消参数 a 得: y ? 2 x ( ?1 ? x ? ) .易忽视 a 的限制条件. 3 ? ? y ? ?a
2 2 ?

2、已知圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0 (a, b ? R ) 对称,则 ab 的最大值 为 ,

1 2 ? 的最小值为 a b



【解】易知圆心 (?1,2) 在直线 2ax ? by ? 2 ? 0 上,所以有 a ? b ? 1 ,所以 ab ? (

a?b 2 1 ) ? 2 4

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1 2 1 2 b 2a ? 3? 2 2 ? ? ( ? )( a ? b) ? 3 ? ? a b a b a b 3、如果直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 相交于 M , N 两点,且 M , N 关于直线

?kx ? y ? 1 ? 0 ? x ? y ? 0 对称,若 ?kx ? m y ? 0 ,则 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 的取值范围是 ?y ? 0 ?
【解】 由圆的性质得 y ? kx ? 1 与 x ? y ? 0 垂直, 所以 k ? 1 , 圆心 ( ?



k m ,? ) 在直线 x ? y ? 0 2 2 上,所以 m ? ?1 ,由线性规划知识得: ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 的取值范围是 [ 25,34]

(二)圆的方程求解 求圆的方程有两种方法: ① 几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本量(圆心、 半径)和方程; ② 代数法,即用“待定系数法”求圆的方程,其一般步骤是: a.根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例中涉及圆心及切线,故设标准 形式较简单); b.利用条件列出关于 a,b,r,或 D,E,F 的方程组; c.解出 a,b,r 或 D,E,F,代入标准方程或一般方程. 例 1、根据下列条件,求圆的方程. (1) 过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程; (2) 经过 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上; (3) 与 x 轴相交于 A(1,0)和 B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程; (4) 圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分. 【解】(1) 由题意可知,圆心在线段 AB 的中垂线上, 又∵kAB=-1 且线段 AB 的中点为(0,0),则线段 AB 的中垂线方程为 y=x. ?y=x, ? 联立? 得圆心为(1,1).半径 r= ? 1 -1?2+? 1 +1?2=2. ?x+y-2=0, ? (2) 方法一:从数的角度,若选用一般式:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, D E 则圆心(- ,- ). 2 2

? ?3 +2 +3D+2E+F=0, ∴? D E ? ?2×?- 2 ?-?-2 ?-3=0.
2 2

52+22+5D+2E+F=0,

D=-8, ? ? 解之,得?E=-10, ? ?F=31.

∴圆的一般方程为 x2+y2-8x-10y+31=0. (3) 方法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=5. ? -a?2+? 0 -b?2=5, ?? 1 ∵点 A,B 在圆上,所以可得到方程组? 解得 a=3,b=± 1. ?? 5 -a?2+? 0 -b?2=5, ? ∴圆的标准方程是(x-3)2+(y-1)2=5 或(x-3)2+(y+1)2=5. 方法二:由 A,B 两点在圆上,那么线段 AB 是圆的一条弦,根据平面几何知识: 这个圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线 x=3 上,于是可设圆心为 C(3,b),又|AC|= 5,
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即 ?3 -1?2+b2= 5,解得 b=1 或 b=-1. 因此,所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=5 或(x-3)2+(y+1)2=5. (4) 设直线与圆相交于 A,B 两点,因为圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分, 15 所以∠AOB=120° .而圆心到直线 3x+4y+15=0 的距离 d= 2 2=3, 3 +4 在△ABO 中,可求得|OA|=6.所以所求圆的方程为 x2+y2=36. 例 2、已知圆满足:① 截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1;③圆心 5 到直线 l:x-2y=0 的距离为 ,求该圆的方程. 5 【解】设圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, r=| 2b|, ? ?|a-2b| 5 = , 由题意? 5 5 ? ?2 r -a =2.
2 2

?a=1, ? 解得?b=1, ? ?r= 2

?a=-1, ? 或?b=-1, ? ?r= 2.

∴圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2 或(x-1)2+(y-1)2=2. 例 3、求经过两已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 和 C2 : x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 的交点,且圆心在直 线 l : 2 x ? 4 y ? 1 上的圆的方程.

? ( x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4) ? 0 ,整理得: 2 ? ?1 2 ? ?1 , ) ,依题意知: ( , ) 在直线 l : 2 x ? 4 y ? 1 上, 圆系的圆心为 ( 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 4 ? ?1 1 ? 4? ? 1 得: ? ? ,代入得: x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 1 ? 0 代入得: 1? ? 1? ? 3 2 例 4、 (2008 年江苏)设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? x ? R ? 的图象
【解】设满足条件的圆系为: ( x ? y ? 4x ? 2 y) ?
2 2

与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C .求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 【解】 (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ;
2 令 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? 0 ,由题意 b ? 0 且 Δ>0,解得 b ? 1 且 b ? 0 .

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

2

令 y =0 得 x ? Dx ? F ? 0 这与 x ? 2 x ? b =0 是同一个方程,
2 2

故 D ? 2, F ? b .
2 令 x =0 得 y ? Ey =0,此方程有一个根为 b ,代入得出 E ? ?b ? 1 .

所以圆 C 的方程为 x ? y ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
2 2

(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) . 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程, 得左边= 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (b ? 1) ? b ? 0 ,
2 2

右边=0,所以圆 C 必过定点(0,1) .同理可证圆 C 必过定点(-2,1) . 【另】 x ? y ? 2 x ? 1 ? b( y ? 1) ? 0
2 2

?x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? 0 则? 解得: x ? 0, x ? ?2 ?y ?1 ? 0
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2? 例 5、已知以点 C? ?t, t ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为 原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2) 设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 【证明】 (1)∵圆 C 过原点 O, 2?2 2 4 4 ∴|OC|2=t2+ 2.设圆 C 的方程是(x-t)2+? ?y- t ? =t +t2, t 4 令 x=0,得 y1=0,y2= ;令 y=0,得 x1=0,x2=2t. t 1 1 ?4? ∴S△OAB= |OA|×|OB|= × × |2t|=4, 即△OAB 的面积为定值. 2 2 ?t? (2)∵|OM|=|ON|,∴|CM|=|CN|, 1 ∴OC 垂直平分线段为 MN. ∵kMN=-2,∴kOC= . 2 1 2 1 ∴直线 OC 的方程是 y= x. ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. 2 t 2 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),|OC|= 5, 1 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离为 d= < 5, 5 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),|OC|= 5, 9 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离为 d= > 5, 5 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交,∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 【补充练习】 1、 已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称. 直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为__________________. 【解】易知圆心坐标为 (0,?1) , d ? 圆的方程为 x ? ( y ? 1) ? 18
2 2

| ?4 ? 11 | ? 3 ,由垂经定理得: r ? 9 ? 9 ? 18 ,所以所求 5

2 2 2、求经过直线 2 x ? y ? 4 ? 0 及圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点,并且面积最小的圆的方程. 2 2 【解】设满足条件的圆系为: ( x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1) ? ? (2 x ? y ? 4) ? 0 要使面积最小,则需

圆心落在直线 2 x ? y ? 4 ? 0 上,代入解得: ? ? 所以圆方程为: 5x ? 5 y ? 18x ? 12y ? 29 ? 0
2 2

8 , 5

3、设圆满足:① 截得 y 轴的弦长为 2 ,② 被 x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为 3 : 1 ,在满足条件 ①、②的所有圆中,求圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离最小时圆的方程. 【解法一】设圆的圆心为 P (a, b) ,半径为 r ,则点 P 到 x 轴, y 轴的距离分别为 | b | , | a | 由题意知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90 ,知 P 截 x 轴所得弦长为 2r , 故 r ? 2b
2 2
0

,又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2 ,所以有 r ? a ? 1
2 2

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5 2 所以 5d ?| a ? 2b | ? 4b ? a ? 4ab ? a ? 4b ? 2(a ? b ) ? 2b ? a ? 1 2 当且仅当 a ? b 时上式等号成立,此时 5d ? 1 从而 d 取得最小值. 2 2 由此有: a ? b 及 2b ? a ? 1 解得: a ? 1, b ? 1 或 a ? ?1, b ? ?1
2 2
2 2

从而得 2b ? a ? 1 , 又点 P (a, b) 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d ?
2 2

| a ? 2b |
2

2

2

2

2

2 . 于是,所求圆的方程是 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 . | a ? 2b | 【解法二】同解法一得 : d ? ∴ a ? 2b ? ? 5d 5 2 2 2 得 a ? 4b ? 4 5bd ? 5d ---------------------------------------------------------① 2 2 2 2 将 2b ? a ? 1 代入①式,整理得: 2b ? 4 5bd ? 5d ? 1 ? 0 ------------② 把它看作 b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负, 2 即△ ? 8(5d 2 ? 1) ? 0 ,得 5d ? 1
5 , 5 2 将其代入②式得 2b ? 4b ? 2 ? 0 解得 b ? ?1 . 2 2 2 2 将 b ? ?1 代入 r ? 2b ,得 r ? 2 .由 r ? a ? 1 得 a ? ?1 . 综上 a ? 1, b ? 1 或 a ? ?1, b ? ?1 .
所以 5d 有最小值 1 ,从而 d 有最小值
2

由于 r ? 2b 知 r ?
2 2

于是,所求圆的方程是: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 . 2? 4、已知以点 C? ?t, t ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为 原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2) 设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 【证明】 (1)∵圆 C 过原点 O, 2 4 4 y- ?2=t2+ 2, ∴|OC|2=t2+ 2.设圆 C 的方程是(x-t)2+? ? t? t t 4 令 x=0,得 y1=0,y2= ; 令 y=0,得 x1=0,x2=2t. t 1 1 ?4? ∴S△OAB= |OA|×|OB|= ×? t ?×|2t|=4, 即△OAB 的面积为定值. 2 2 (2)∵|OM|=|ON|,∴|CM|=|CN|, 1 ∴OC 垂直平分线段为 MN. ∵kMN=-2,∴kOC= . 2 1 2 1 ∴直线 OC 的方程是 y= x. ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. 2 t 2 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),|OC|= 5, 1 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离为 d= < 5, 5 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),|OC|= 5, 9 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离为 d= > 5, 5
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圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, ∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 5、已知圆 C 的圆心在直线 l1:x ? y ? 1 ? 0 上,与直线 l 2: 4 x ? 3 y ? 14 ? 0 相切,且截直线

l3: 3x ? 4 y ? 10 ? 0 所得的弦长为 6 ,求圆 C 的方程.
【解】设圆 C 的圆心坐标为 ( a , a ? 1) , 因为圆 C 与直线 l 2: 4 x ? 3 y ? 14 ? 0 相切,所以圆 C 的半径 R ? 圆 C 的圆心到直线 l3: 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离为 d ? 由圆 C 截直线 l3: 3x ? 4 y ? 10 ? 0 所得的弦长为 6 ,

| 7a ? 6 | , 5

| 7 a ? 11 | , 5

| 7a ? 11 | 2 | 7a ? 6 | 2 ) ?9?( ) 解得: a ? 2 , 5 5 2 2 所以圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 25 .
所以 (
2 2 6、 已知圆 P 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 外切, 并且与直线 l:x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3 , ? 3 ) , 求圆 P 的方程.

【解】设所求圆 P 的圆心坐标为 (a , b) ,已知圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的圆心为 (1 , 0) ,半径为 r ? 1 因为所求圆 P 与与直线 l:x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3 , ? 3 ) , 所以 PQ ? l , 故 k PQ ? kl ? ?1,

b? 3 3 ? (? ) ? ?1 ,即 3a ? 3b ? 12 ? 0 -------------------------------------① a ?3 3 | a ? 3b | 2 2 又因为两圆相外切,所以有 (a ? 1) ? b ? 1 ? -------------------------② 2 联立方程①②解得: a ? 4 , b ? 0 或 a ? 0 , b ? ?4 3 ,
所以

| a ? 3b | ? 2 或6 ; 2 所以所求圆 P 的方程为: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 或 x 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 36.
此时圆 P 的半径 r ? (三)圆中的最值问题 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解. (2)常见的最值问题有以下几种类型: y-b ① 形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; x-a ② 形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; ③ 形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)可以利用参数方程求解. 例 1、已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. y (1) 求 的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值; x (3) 求 x2+y2 的最大值和最小值. 【解】(1) 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,
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y y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设 =k,即 y=kx. x x |2k-0| 当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值或最小值,此时 2 = 3, k +1 y 解得 k=± 3. 所以 的最大值为 3,最小值为- 3. x (2) 【方法一】y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距, 当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或最小值, |2-0+b| 此时 = 3,解得 b=-2± 6. 2 所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6.

?x=2+ 3cosθ, 【方法二】设圆的参数方程为? (0≤θ≤2π), ?y= 3sinθ π 则 y-x= 3sinθ- 3cosθ-2= 6sin(θ- )-2, 4 3 7 当 θ= π 时,取最大值 6-2,当 θ= π 时,取最小值- 6-2. 4 4 2 2 (3) 【方法一】x +y 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心 连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 ?2 -0?2+? 0 -0?2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3, x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3. 【方法二】由(2)中的参数方程可得:x2+y2=(2+ 3cosθ)2+( 3sinθ)2 =7+4 3cosθ 从而得最值. 例 2、已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1,点 A(-1,0),B(1,0),点 P 为圆上的动点,求 d=|PA|2+|PB|2 的最大、最小值及对应的 P 点坐标. 2 2 2 2 【解】若设 P(x0,y0),则 d=|PA|2+|PB|2=(x0+1)2+y2 0+(x0-1) +y0=2(x0+y0)+2. 2 2 欲求 d 的最值,只需求 ω=x0+y0的最值,即求圆 C 上的点到原点距离的平方的最值. 故过原点 O 与圆心 C 的直线与圆的两个交点 P1,P2 即为所求. 设过 O,C 两点的直线交圆 C 于 P1,P2 两点, 12 16 则 ωmin=(|OC|-1)2=16=|OP1|2,此时 dmin=2× 16+2=34,P1( , ); 5 5 18 24 2 2 ωmax=(|OC|+1) =36=|OP2| ,此时 dmax=2× 36+2=74,P2( , ). 5 5 → → 例 3、设点 P(x,y)是圆 P:x2+(y-3)2=1 上的动点,定点 A(2,0),B(-2,0),则PA· PB的 最大值为________. → → 【解】由题意,知PA=(2-x,-y),PB=(-2-x,-y), → → 所以PA· PB=x2+y2-4.由于点 P(x,y)是圆 P 上的点, 故其坐标满足方程 x2+(y-3)2=1,故 x2=-(y-3)2+1, → → 所以PA· PB=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12. 易知 2≤y≤4, → → 所以,当 y=4 时,PA· PB的值最大,最大值为 6×4-12=12.
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(四)圆中的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下做法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程; (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程; (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程; (4)代入法:找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式.不论哪种方法,充分利用圆 与圆的几何性质,找出动点与定点之间的关系是解题的关键. 例 1、已知圆 C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点 A(2,3)作圆 C 的任意弦,求这些弦的中点 P 的轨迹方程. 【解法一】直接法设 P(x,y),由题意知圆心 C(1,1). → → → → ∵P 点是过点 A 的弦的中点,∴PA⊥PC. 又∵PA=(2-x,3-y),PC=(1-x,1-y), ∴(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0, 3?2 2 5 ∴P 点的轨迹方程为? ?x-2? +(y-2) =4. 【解法二】定义法:由已知知,PA⊥PC,∴由圆的性质知点 P 在以 AC 为直径的圆上, 3 ? 5 2 又圆心 C(1,1),而 AC 中点为? -1?2= 5,所以半径为 . ?2,2?, |AC|= ? 2-1? +? 3 2 3?2 2 5 所求动点 P 的轨迹方程为? ?x-2? +(y-2) =4. 例 2、 如图, 圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1, O1O2=4.过动点 P 分别作圆 O1, 圆 O2 的切线 PM、 PN(M、 N 为切点),使得|PM|= 2|PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点 P 的轨迹方程. 【解】以 O1O2 的连线为 x 轴,以 O1O2 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系, 如图:则:O1(-2,0),O2(2,0),P(x,y) 又∵|PO1|2=|PM|2+1,|PO2|2=|PN|2+1 ∴|PM|2=|PO1|2-1,|PN|2=|PO2|2-1. 2 2 又∵|PM|= 2|PN| ∴|PO1| -1=2(|PO2| -1) ∴(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1] ∴x2+y2-12x+3=0 为动点 P 的轨迹方程. 例 3、已知点 A(3,0),点 P 是圆 x2+y2=1 上的一点,∠AOP 的角平分线交 AP 于 Q,求点 Q 的轨迹方程. 【解】设 Q 点坐标为(x,y),P 点坐标为(x′,y′).∵OQ 是∠AOP 的平分线, |OA| |AQ| ∴ = .又|AO|=3,|OP|=1, |OP| |QP| → → |AQ| ∴ =3,即AQ=3QP,(x-3,y)=3(x′-x,y′-y). |QP| 3 , ?x′=4x- 3 ∴? 4y ?y′= 3 , ?4 x-3?2 16y2 代入圆的方程,得 + =1, 9 9

3 9 即(x- )2+y2= 为所求方程. 4 16 例 4、(2013· 课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴 上截得线段长为 2 3. (1) 求圆心 P 的轨迹方程; 2 (2) 若 P 点到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程. 2
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【解】(1) 设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.由题设 y2+2=r2,x2+3=r2. 从而 y2+2=x2+3,故 P 点的轨迹方程 y2-x2=1. |x0-y0| 2 (2) 设 P(x0,y0),由已知得 = . 2 2 ?|x0-y0|=1, ? 又 P 在双曲线 y2-x2=1 上,从而得? 2 2 ?y0-x0=1. ?
? ? ?x0-y0=1, ?x0=0?λ≠-1?, 由? 2 2 得? 此时,圆 P 的半径 r= 3. ?y0-x0=1 ?y0=-1. ? ? ?x0-y0=-1, ?x0=0, ? ? 由? 2 2 得? 此时,圆 P 的半径 r= 3. ? ? ?y0-x0=1 ?y0=1. 故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.

【补充练习】 1、已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1:x-y-2 2=0 相切. (1) 求圆的标准方程; (2) 设点 A(x0,y0)为圆上任意一点,AN⊥x 轴于 N,若动点 Q 满足=m+n(其中 m+n=1, m,n≠0,m 为常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C2. |-2 2| 【解】(1) 设圆的半径为 r,圆心到直线 l1 的距离为 d,则 r=d= 2 2=2, 1 +1 2 2 所以圆 C1 的方程为 x +y =4. (2) 设动点 Q(x,y),A(x0,y0),AN⊥x 轴于 N, 则 N(x0,0). 由题意,(x,y)=m(x0,y0)+n(x0,0), x =x ? ?x=?m+n?x0=x0 ?0 ? 所以? ,即? , 1 ? y0= y ?y=my0 ? m ? 2 2 1 x y 将 A(x, y)代入 x2+y2=4,得 + 2=1. m 4 4m x2 y2 即动点 Q 的轨迹方程 C2 为: + 2=1. 4 4m

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