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永年区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

永年区第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 垂直于同一条直线的两条直线一定( A.平行 B.相交 ) 2. 下列判断正确的是( ) C.异面 D.以上都有可能

座号_____

姓名__________

分数__________

A.①不是棱柱 B.②是圆台C.③是棱锥D.④是棱台 3. 若 f(x)=﹣x2+2ax 与 g(x)= A.(﹣∞,1] C.(﹣2,﹣1)∪(﹣1,1] 4. 双曲线 A. 的渐近线方程是( B. 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( B.[0,1] D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,1] ) C. D. )

5. 设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣2)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使 得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ∪(0,2) 6. 空间直角坐标系中,点 A(﹣2,1,3)关于点 B(1,﹣1,2)的对称点 C 的坐标为( A.(4,1,1) B.(﹣1,0,5) C.(4,﹣3,1) D.(﹣5,3,4)
2

) D. 0) (﹣2, )

A.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C.(﹣2,0)∪(2,+∞)

7. 设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)﹣g(x)在 x∈[a,b]上有两 个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若 f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为( A.(﹣ ,﹣2] B.[﹣1,0] C.(﹣∞,﹣2] ) D.(﹣ ,+∞) )

8. 已知 A={﹣4,2a﹣1,a2},B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9},则 a 的值是( A.a=3 B.a=﹣3 C.a=±3 D.a=5 或 a=±3

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9. 设 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

10.如图所示,在三棱锥 P ? ABC 的六条棱所在的直线中,异面直线共有( A.2 对 B.3 对 C.4 对

)111] D.6 对

11.已知圆 C1:x +y =4 和圆 C2:x +y +4x﹣4y+4=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( A.x+y=0 B.x+y=2 C.x﹣y=2 D.x﹣y=﹣2

2

2

2

2

) )

12.一个算法的程序框图如图所示,若运行该程序后输出的结果为 ,则判断框中应填入的条件是(

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A.i≤5?B.i≤4? C.i≥4? D.i≥5?

二、填空题
13.调查某公司的四名推销员,其工作年限与年推销金额如表 1 2 3 4 推销员编号 工作年限 x/(年) 3 5 3 = x+ 10 7 14 12 年推销金额 y/(万元)2 由表中数据算出线性回归方程为 推销金额为 万元.

.若该公司第五名推销员的工作年限为 8 年,则估计他(她)的年

14.【启东中学 2018 届高三上学期第一次月考(10 月)】已知函数 f ? x ?=-xlnx+ax 在 ? 0,e ? 上是增函

a2 3 数,函数 g ? x ?= e -a + ,当 x ??0,ln3? 时,函数 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的差为 ,则 a 的值 2 2
x

为______. 15.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρcosθ=5,则点(4, )到直线 l 的距离为 .

16.【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】函数 f ? x ? ?

1 2 x ? lnx 的单调递减区间为__________. 2
_________ 。

17. 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线, 若 l1 与 l2 的交点为 (1, 3) , 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 18.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是____.

三、解答题
19.(本题满分 15 分) 如图 AB 是圆 O 的直径, C 是弧 AB 上一点, VC 垂直圆 O 所在平面, D , E 分别为 VA , VC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 VBC ; (2)若 VC ? CA ? 6 ,圆 O 的半径为 5 ,求 BE 与平面 BCD 所成角的正弦值.

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【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系,线面等基础知识,意在考查空间想象能力和运算求解能力.

20.在极坐标系下,已知圆 O:ρ =cosθ +sinθ 和直线 l: (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标.



21.已知 f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行. (1)求函数的单调区间; (2)若 x∈[1,3]时,f(x)>1﹣4c2 恒成立,求实数 c 的取值范围.

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22.已知定义域为 R 的函数 (1)求 f(x);

是奇函数.

(2)判断函数 f(x)的单调性(不必证明); (3)解不等式 f(|x|+1)+f(x)<0.

23.求同时满足下列两个条件的所有复数 z: ①z+ 是实数,且 1<z+ ≤6;

②z 的实部和虚部都是整数.

24.已知函数 f(x)=lnx﹣a(1﹣ ),a∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的最小值为 0. (i)求实数 a 的值; (ii)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=f(an)+2,记[x]表示不大于 x 的最大整数,求证:n>1 时[an]=2.
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永年区第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:分两种情况:①在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行; ②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面. 故选 D 【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系. 2. 【答案】C 【解析】解:①是底面为梯形的棱柱; ②的两个底面不平行,不是圆台; ③是四棱锥; ④不是由棱锥截来的, 故选:C. 3. 【答案】D
2 【解析】解:∵函数 f(x)=﹣x +2ax 的对称轴为 x=a,开口向下,

∴单调间区间为[a,+∞) 又∵f(x)在区间[1,2]上是减函数, ∴a≤1 ∵函数 g(x)= ∵g(x)= 在区间(﹣∞,﹣a)和(﹣a,+∞)上均为减函数,

在区间[1,2]上是减函数,

∴﹣a>2,或﹣a<1, 即 a<﹣2,或 a>﹣1, 综上得 a∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,1], 故选:D 【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断,以及根据所给函数单调区间,求参数的范围.

4. 【答案】B 【解析】解:∵双曲线标准方程为 其渐近线方程是 =0, ,

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整理得 y=± x. 故选:B. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程.属于基础题.

5. 【答案】A 【解析】解:设 g(x)= g′(x)= , ,则 g(x)的导数为:

∵当 x>0 时总有 xf′(x)﹣f(x)<0 成立, 即当 x>0 时,g′(x)<0, ∴当 x>0 时,函数 g(x)为减函数, 又∵g(﹣x)= = = =g(x),

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数, ∴x<0 时,函数 g(x)是增函数, 又∵g(﹣2)= =0=g(2),

∴x>0 时,由 f(x)>0,得:g(x)<g(2),解得:0<x<2, x<0 时,由 f(x)>0,得:g(x)>g(﹣2),解得:x<﹣2, ∴f(x)>0 成立的 x 的取值范围是:(﹣∞,﹣2)∪(0,2). 故选:A. 6. 【答案】C 【解析】解:设 C(x,y,z), ∵点 A(﹣2,1,3)关于点 B(1,﹣1,2)的对称点 C,



,解得 x=4,y=﹣3,z=1,

∴C(4,﹣3,1). 故选:C. 7. 【答案】A

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【解析】解:∵f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”, 故函数 y=h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点, 故有 ,即 ,解得﹣ <m≤﹣2,
2

2

故选 A. 【点评】本题考查函数零点的判定定理,“关联函数”的定义,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于 基础题. 8. 【答案】B
2 【解析】解:∵A={﹣4,2a﹣1,a },B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9}, 2 ∴2a﹣1=9 或 a =9,

当 2a﹣1=9 时,a=5,A∩B={4,9},不符合题意;
2 当 a =9 时,a=±3,若 a=3,集合 B 违背互异性;

∴a=﹣3. 故选:B. 【点评】本题考查了交集及其运算,考查了集合中元素的特性,是基础题. 9. 【答案】D 【解析】解:根据函数与导数的关系:可知,当 f′(x)≥0 时,函数 f(x)单调递增;当 f′(x)<0 时,函数 f(x)单调递减 结合函数 y=f(x)的图象可知,当 x<0 时,函数 f(x)单调递减,则 f′(x)<0,排除选项 A,C 当 x>0 时,函数 f(x)先单调递增,则 f′(x)≥0,排除选项 B 故选 D 【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象,属于基础试题 10.【答案】B 【解析】 试题分析:三棱锥 P ? ABC 中,则 PA 与 BC 、 PC 与 AB 、 PB 与 AC 都是异面直线,所以共有三对,故选 B. 考点:异面直线的判定. 11.【答案】D

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【解析】【分析】由题意可得圆心 C1 和圆心 C2,设直线 l 方程为 y=kx+b,由对称性可得 k 和 b 的方程组,解 方程组可得. 【解答】解:由题意可得圆 C1 圆心为(0,0),圆 C2 的圆心为(﹣2,2), 2 2 2 2 ∵圆 C1:x +y =4 和圆 C2:x +y +4x﹣4y+4=0 关于直线 l 对称, ∴点(0,0)与(﹣2,2)关于直线 l 对称,设直线 l 方程为 y=kx+b, ∴ ?k=﹣1 且 =k? +b,

解得 k=1,b=2,故直线方程为 x﹣y=﹣2, 故选:D. 12.【答案】 B 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 i=1,sum=0,s=0 满足条件,i=2,sum=1,s= 满足条件,i=3,sum=2,s= 满足条件,i=4,sum=3,s= 满足条件,i=5,sum=4,s= + + + + + + =1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ = .

由题意,此时不满足条件,退出循环,输出 s 的 ,则判断框中应填入的条件是 i≤4. 故选:B. 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的 考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考 试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.

二、填空题
13.【答案】 . = (2+3+7+12)=6,

【解析】解:由条件可知 = (3+5+10+14)=8, 代入回归方程,可得 a=﹣ 当 x=8 时,y= , 万元. ,所以 = x﹣ ,

估计他的年推销金额为 故答案为: .

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【点评】本题考查线性回归方程的意义,线性回归方程一定过样本中心点,本题解题的关键是正确求出样本中 心点,题目的运算量比较小,是一个基础题. 14.【答案】

【 解 析 】 f ? ? x? ? ?1 ?lnx ? a, 因 为 f ? x ? 在 ? 0,e ? 上 是 增 函 数 , 即 f ? ? x ? ? 0 在 ? 0,e ? 上 恒 成 立 ,

5 2

? a ? lnx ? 1 ,则 a ? ? lnx ?1?max ,当 x ? e 时, a ? 2 ,

a2 a2 x , t ? ?1,3? , 又 g ? x? ? e ? a ? ,令 t ? e ,则 g ? t ? ? t ? a ? 2 2 a2 a2 (1)当 2 ? a ? 3 时, g ? t ?max ? g ?1? ? a ? 1 ? , g ? t ?min ? g ? a ? ? , 2 2 3 5 则 g ? t ?max ? g ? t ?min ? a ? 1 ? ,则 a ? , 2 2 a2 a2 (2)当 a ? 3 时, g ? t ?max ? g ?1? ? a ? 1 ? , g ? t ?min ? g ? 3? ? a ? 3 ? , 2 2 则 g ?t ?max ? g ?t ?min ? 2 ,舍。
x

?a ?

5 。 2

15.【答案】 3 .

【解析】解:直线 l 的方程为 ρcosθ=5,化为 x=5. 点(4, )化为 .

∴点到直线 l 的距离 d=5﹣2=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离,属于基础题. 16.【答案】 ? 0,1?

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【解析】

17.【答案】 【解析】设 l1 与 l2 的夹角为 2θ ,由于 l1 与 l2 的交点 A(1,3)在圆的外部, 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= 圆的半径为 r= , = ,

∴sinθ =

=



∴cosθ =

,tanθ =

=



∴tan2θ =

=

=



故答案为:



18.【答案】 27

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【解析】由程序框图可知:

S

0 1

1 2

6 3

27 4

n

4 ? 3 符合,跳出循环.

三、解答题
3 146 . 146 【解析】(1)∵ D , E 分别为 VA , VC 的中点,∴ DE / / AC ,…………2 分
19.【答案】(1)详见解析;(2) ∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? BC ,…………4 分 又∵ VC ? 圆 O ,∴ VC ? AC ,…………6 分

BC ? C ,∴ DE ? 面VBC ;…………7 分 1 1 (2)设点 E 平面 BCD 的距离为 d ,由 VD?BCE ? VE ?BCD 得 ? DE ? S ?BCE ? ? d ? S ?BCD ,解得 3 3 3 2 ,…………12 分 设 BE 与平面 BCD 所成角为 ? ,∵ BC ? AB2 ? AC 2 ? 8 , d? 2 d 3 146 .…………15 分 ? BE ? BC 2 ? CE 2 ? 73 ,则 sin ? ? BE 146
∴ DE ? BC , DE ? VC ,又∵ VC 20.【答案】
2 【解析】解:(1)圆 O:ρ =cosθ +sinθ ,即 ρ =ρ cosθ +ρ sinθ , 2 2 2 2 故圆 O 的直角坐标方程为:x +y =x+y,即 x +y ﹣x﹣y=0.

直线 l: 为:y﹣x=1,即 x﹣y+1=0. (2)由 (0,1), 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 ,可得

,即 ρ sinθ ﹣ρ cosθ =1,则直线的直角坐标方程

,直线 l 与圆 O 公共点的直角坐标为



【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,属于基础题. 21.【答案】 【解析】解:(1)由题意:f′(x)=3x2+6ax+3b 直线 6x+2y+5=0 的斜率为﹣3;

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由已知

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分)

所以由 f′(x)=3x2﹣6x>0 得心 x<0 或 x>2; 所以当 x∈(0,2)时,函数单调递减; 当 x∈(﹣∞,0),(2,+∞)时,函数单调递增.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)由(1)知,函数在 x∈(1,2)时单调递减,在 x∈(2,3)时单调递增; 所以函数在区间[1,3]有最小值 f(2)=c﹣4 要使 x∈[1,3],f(x)>1﹣4c2 恒成立 只需 1﹣4c2<c﹣4 恒成立,所以 c< 故 c 的取值范围是{c|c 或 c>1.

或 c>1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

【点评】 本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义, 以及利用导数解决函数在闭区间上的最 值问题和函数恒成立问题,综合性较强,属于中档题.

22.【答案】 【解析】解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0,即 从而有 经检验,符合题意;… (2)由(1)知,f(x)= =﹣ + ; =0,解得 b=1; ;…

x 由 y=2 的单调性可推知 f(x)在 R 上为减函数; …

(3)因为 f(x)在 R 上为减函数且是奇函数,从而不等式 f(1+|x|)+f(x)<0 等价于 f(1+|x|)<﹣f(x), 即 f(1+|x|)<f(﹣x); … 又因 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 1+|x|>﹣x,… 解得 x∈R.… 23.【答案】

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【解析】解:设 z+ 解方程得 z= ±

=t,则 z2﹣tz+10=0.∵1<t≤6,∴△=t2﹣40<0, i.

又∵z 的实部和虚部都是整数,∴t=2 或 t=6, 故满足条件的复数共 4 个:z=1±3i 或 z=3±i. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= ﹣ 当 a≤0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; 当 a>0 时,由 f′(x)>0,解得 x>a;由 f′(x)<0,解得 0<x<a. 所以 f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a). 综上述:a≤0 时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞); a>0 时,f(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+∞). (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知,当 a≤0 时,f(x)无最小值,不合题意; 当 a>0 时,[f(x)]min=f(a)=1﹣a+lna=0, 令 g(x)=1﹣x+lnx(x>0),则 g′(x)=﹣1+ = , = .

由 g′(x)>0,解得 0<x<1;由 g′(x)<0,解得 x>1. 所以 g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 故[g(x)]max=g(1)=0,即当且仅当 x=1 时,g(x)=0. 因此,a=1. (ⅱ)因为 f(x)=lnx﹣1+ ,所以 an+1=f(an)+2=1+ +lnan.

由 a1=1 得 a2=2 于是 a3= +ln2.因为 <ln2<1,所以 2<a3< . 猜想当 n≥3,n∈N 时,2<an< . 下面用数学归纳法进行证明. ①当 n=3 时,a3= +ln2,故 2<a3< .成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N)时,不等式 2<ak< 成立. 则当 n=k+1 时,ak+1=1+ +lnak,

由(Ⅰ)知函数 h(x)=f(x)+2=1+ +lnx 在区间(2, )单调递增,

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所以 h(2)<h(ak)<h( ),又因为 h(2)=1+ +ln2>2, h( )=1+ +ln <1+ +1< . 故 2<ak+1< 成立,即当 n=k+1 时,不等式成立. 根据①②可知,当 n≥3,n∈N 时,不等式 2<an< 成立. 综上可得,n>1 时[an]=2. 【点评】 本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、 创新意识等, 考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等,属难题.

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