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数列大题综合练习

数 列
1. 如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的, 第n 行有 n 个数且两端的数均为

1 1 1 1 每个数是它下一行左右相邻两数的和, 如 ? ? , n≥2? , ? n 1 2 2

1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,…, 2 3 6 3 4 12
则第10行第4个数(从左往右数)为( )

1 1260 1 C. 504
A.

1 840 1 D. 360
B.

2.如图3所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整

1 ? n≥2? ,每个数 n 1 1 1 1 1 1 是它下一行左右相邻两数的和,如 ? ? , ? ? , 1 2 2 2 3 6 1 1 1 ? ? ,?,则第7行第4个数(从左往右数)为( ) 3 4 12 1 1 1 1 A. B. C. D. 140 105 42 60 1 3.数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? ,且对任意正整数 m, n ,都有 am?n ? am ? an ,若 3
数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为

Sn ? a 恒成立则实数 a 的最小值为(
1 A. 2 2 3



B.

C.

3 2

D.2

二、解答题 1 . 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 对 任 意 的 n ? N , 都 有 an ? 0 ,
*

Sn ? a13 ? a23 ?

? an3 .
(2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ;

(1)求 a1 , a2 的值; (3)设 bn ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ,若对任意的正整数 n ,当 m ? ? ?1,1? 时,不等 an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

式 t 2 ? 2mt ?

1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围。 6

n n n (4)证明: a2 n ?1≥a2 n ? a2 n ?1 .

2.函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f (1 ? x ) ? (1)求 f ( ) 的值. (2) 数列{an} 满足:an = f (0) + f (

1 2

1 2

数列 ?an ? 是等差数列吗?请给予证明; ( 3 )令 bn

1 2 n ?1 ) ? f ( ) ? ?? ? f ( ) ? f (1) , n n n

?

4 4a n ? 1

2 2 2 2 , Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn , S n ? 32 ?

16 . 试比较 n

Tn 与 Sn 的大小.

3.已知曲线 C : xy ? 4 x ? 4 ? 0 ,数列 {an } 的首项 a1 ? 4 ,且当 n ? 2 时,点 (an ?1 , an ) 恒 在曲线 C 上,数列 {bn }满足 bn ?
1 . 2 ? an

(1)试判断数列 {bn }是否是等差数列?并说明理由; (2)求数列 {an } 和 {bn }的通项公式; (3)设数列 {cn }满足 anbn 2cn ? 1 ,试比较数列 {cn }的前 n 项和 Sn 与 2 的大小.

4.已知 函数 f ( x) ? x ? 2x . g ( x) ? 2 x ? 2
2

(Ⅰ)数 列

{an}满足:a1 =1 ,a n?1 ? g(an ) .求数列 {a } 的通项公式; n

(Ⅱ)已知数列 {bn }满足b1 ? t ? 0, bn?1 ? f (bn )(n ? N*) ,求数列 {bn }的通项公式; (Ⅲ) 设 cn ?

bn ? 1 若不等式 ? ? S n 对所有的正整数 n 恒成立, , 数列{cn } 的前 n 项和为 Sn, bn?1

求 ? 的取值范围。

5.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 ,且对任意 n ?N*都有

1 a1

?

1 a2

? ??

1 an

?

1 2 an an?1



(Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)证明: a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =

a n?1 ( n ?N*) . an

1.已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项 和 为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn -

1 3

S n ?1 = Sn + Sn?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? 2009 bn bn?1

.

2.在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

3.设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
*

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

4.设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N ? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下:对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式;

5.设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2

6. 等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N

?

,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 证明:对任意的 n ? N

bn ? 2 ( l o2g an ?
?

1) n? (N ?

)
.

,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn

7.首项为正数的数列 ?an ? 满足 an ?1 ?

1 2 (an ? 3), n ? N ? . 4

(I)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2, an 都是奇数; (II)若对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an ,求 a1 的取值范围.

8.数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2

2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ; (2) bn ?

S3n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n

n ?1 9.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。

1 2

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ? 明。

n ?1 5n an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证 2n ? 1 n

10. 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由;
* (III) 记 cn ? b2n ? b 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都 2 n1 ? (n ? N ) ,

有 Tn ?

3 ; 2

11. 已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== 列{bn}的前 n 项和 Sn

a2+a7=16.

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数 2 2 2 2n


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