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阜城县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

阜城县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知等比数列{an}的第 5 项是二项式(x+ )4 展开式的常数项,则 a3?a7( A.5 B.18 C.24 D.36 )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 已知函数 f(x)=xex﹣mx+m,若 f(x)<0 的解集为(a,b),其中 b<0;不等式在(a,b)中有且只 有一个整数解,则实数 m 的取值范围是( A. B. C. ) D. )

3. 已知直线 l∥平面 α,P∈α,那么过点 P 且平行于 l 的直线( A.只有一条,不在平面 α 内 B.只有一条,在平面 α 内 C.有两条,不一定都在平面 α 内 D.有无数条,不一定都在平面 α 内 4. 等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a2a6=( A.6 的是( B.9 ) C.36
x ﹣x



D.72

5. 若函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数,则 g(x)=loga(x+k)

A.

B.

C.

D.

6. 有下列四个命题: ①“若 a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若“q≤1”,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“矩形的对角线相等”的逆命题. 其中真命题为( A.①②
2 2

) B.①③ D.4 C.②③ ) D.③④

7. 双曲线 4x +ty ﹣4t=0 的虚轴长等于( A. B.﹣2t C.

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8. 已知直线 l :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点 B 和左焦点 F ,且被圆 a2 b2 4 5 ,则椭圆离心率 e 的取值范围是( ) x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为 L ,若 L ? 5

y ? kx ? 2 过椭圆

(A) ? 0, ? ?

? ?

5? 5 ?

( B ) ? 0, ?

? ?

2 5? ? 5 ?

(C) ? 0,

? ? ?

3 5? ? 5 ?

(D) ? 0,

? ? ?

4 5? ? 5 ?


9. 如果过点 M(﹣2,0)的直线 l 与椭圆

有公共点,那么直线 l 的斜率 k 的取值范围是(

A.

B.

C.

D. )

10.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)=( A.﹣2 B.2 C.﹣98 D.98

36p , 11.在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, M 是线段 AC 1 1 的中点,若四面体 M - ABD 的外接球体积为
则正方体棱长为( A.2 ) B.3 C.4 D.5

【命题意图】 本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题, 意在考查空间想象能力和基本运算能力. 12. =sin2x 的图象向右平移 将函数 f (x) A. B. C. 个单位, 得到函数 y=g (x) 的图象, 则它的一个对称中心是 ( D. )

二、填空题
13.若实数 x,y 满足 x +y ﹣2x+4y=0,则 x﹣2y 的最大值为
2

2

2

. . .

14.若 P(1,4)为抛物线 C:y =mx 上一点,则 P 点到该抛物线的焦点 F 的距离为|PF|= 15.一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是 16.若关于 x,y 的不等式组 k= . ,则 f(﹣ )+f( )等于 = . .

(k 是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则

17.已知 f(x)= 18.已知函数 f(x)=sinx﹣cosx,则

三、解答题
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19.已知函数 f(x)=loga(x2+2),若 f(5)=3; (1)求 a 的值; (2)求 的值; (3)解不等式 f(x)<f(x+2).

20.甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加 5 次预赛,成绩如下: 甲:78 76 74 90 82 乙:90 70 75 85 80 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.

21.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

(不等式选做题)设 (几何证明选做题)如图, 若 ,则

,且 中, ,以

,则

的最小值为 于点 ,

为直径的半圆分别交

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22.设函数 f(x)=lnx+ ,k∈R. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,求 k 值; (Ⅱ)若对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2 恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)已知函数 f(x)在 x=e 处取得极小值,不等式 f(x)< 的解集为 P,若 M={x|e≤x≤3},且 M∩P≠?,求 实数 m 的取值范围.

23.在数列 (Ⅰ)当

中, 时,求

, 的值; ,使

,其中





(Ⅱ)是否存在实数 (Ⅲ)当

构成公差不为 0 的等差数列?证明你的结论; ,使得 .

时,证明:存在

1? x 24.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)= xe .

(a∈R,e 为自然对数的底数) (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间;

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(Ⅱ)若函数 f(x)在 ? 0,

? ?

1? ? 上无零点,求 a 的最小值; 2?

(Ⅲ)若对任意给定的 x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1,2),使得 f(xi)=g(x0)成立, 求 a 的取值范围.

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阜城县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D
4 【解析】解:二项式(x+ ) 展开式的通项公式为 Tr+1=

?x4﹣2r,

令 4﹣2r=0,解得 r=2,∴展开式的常数项为 6=a5,
2 ∴a3a7=a5 =36,

故选:D. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题. 2. 【答案】C 【解析】解:设 g(x)=xex,y=mx﹣m, 由题设原不等式有唯一整数解, 即 g(x)=xex 在直线 y=mx﹣m 下方, g′(x)=(x+1)ex, g(x)在(﹣∞,﹣1)递减,在(﹣1,+∞)递增, 故 g(x)min=g(﹣1)=﹣ ,y=mx﹣m 恒过定点 P(1,0), 结合函数图象得 KPA≤m<KPB, 即 ≤m< ,



故选:C. 【点评】本题考查了求函数的最值问题,考查数形结合思想,是一道中档题. 3. 【答案】B 【解析】解:假设过点 P 且平行于 l 的直线有两条 m 与 n ∴m∥l 且 n∥l 由平行公理 4 得 m∥n 这与两条直线 m 与 n 相交与点 P 相矛盾

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又因为点 P 在平面内 所以点 P 且平行于 l 的直线有一条且在平面内 所以假设错误. 故选 B. 【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明,此类题目属于难度较高的题型.

4. 【答案】D 【解析】解:设等比数列{an}的公比为 q,
2 4 2 ∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3(1+q +q )=21,解得 q =2. 6 则 a2a6=9×q =72.

故选:D. 5. 【答案】C
x x 【解析】解:∵函数 f(x)=ka ﹣a﹣ ,(a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是奇函数

则 f(﹣x)+f(x)=0 即(k﹣1)(a ﹣a﹣ )=0 则 k=1 又∵函数 f(x)=ka ﹣a﹣ ,(a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是增函数 则 a>1 则 g(x)=loga(x+k)=loga(x+1) 函数图象必过原点,且为增函数 故选 C 【点评】若函数在其定义域为为奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶函数,则 f(﹣x) ﹣f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质,在公共单调区间上:增函数﹣减函数 =增函数也是解决本题的关键. 6. 【答案】B
2 2 【解析】解:①由于“若 a +b =0,则 a,b 全为 0”是真命题,因此其逆否命题是真命题; x x x x

②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,不正确; ③若 x2+2x+q=0 有实根,则△=4﹣4q≥0,解得 q≤1,因此“若“q≤1”,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题是真命 题; ④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题. 综上可得:真命题为:①③.

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故选:B. 【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法,考查了推理能力,属于基础题. 7. 【答案】C
2 2 【解析】解:双曲线 4x +ty ﹣4t=0 可化为:


2 2 ∴双曲线 4x +ty ﹣4t=0 的虚轴长等于

故选 C. 8. 【答案】 B

【解析】依题意, b ? 2, kc ? 2.
4 5 16 , 解得 d 2 ? 5 5 。 1 1 16 1 又因为 d ? ,所以 ? , 解得 k 2 ? 。 2 2 1? k 5 4 1? k

设圆心到直线 l 的距离为 d ,则 L ? 2 4 ? d 2 ?

2 5 4 c2 c2 1 . 故选 B. 0 ? e2 ? , 解得 0 ? e ? ? ? 2 2 2 2 ,所以 5 5 a b ? c 1? k 9. 【答案】D
2 于是 e ?

【解析】解:设过点 M(﹣2,0)的直线 l 的方程为 y=k(x+2), 联立
2 2 2 2 ,得(2k +1)x +8k x+8k ﹣2=0,

∵过点 M(﹣2,0)的直线 l 与椭圆
4 2 2 ∴△=64k ﹣4(2k +1)(8k ﹣2)≥0,

有公共点,

整理,得 k 解得﹣

2

, . , ].

≤k≤

∴直线 l 的斜率 k 的取值范围是[﹣ 故选:D.

【点评】 本题考查直线的斜率的取值范围的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意根的判别式的合理运用.

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10.【答案】A 【解析】解:因为 f(x+4)=f(x),故函数的周期是 4 所以 f(7)=f(3)=f(﹣1), 又 f(x)在 R 上是奇函数,
2 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2×1 =﹣2,

故选 A. 【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性. 11.【答案】C

12.【答案】D 【解析】解:函数 y=sin2x 的图象向右平移 考察选项不难发现: 当 x= ∴( 时,sin(2× ﹣ )=0; 个单位,则函数变为 y=sin[2(x﹣ )]=sin(2x﹣ );

,0)就是函数的一个对称中心坐标.

故选:D. 【点评】本题是基础题,考查三角函数图象的平移变换,函数的对称中心坐标问题,考查计算能力,逻辑推理 能力,常考题型.

二、填空题
13.【答案】10 【解析】 【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形,设 z=x﹣2y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直线 z=x﹣ 2y 过图形上的点 A 的坐标,即可求解. 2 2 2 2 【解答】解:方程 x +y ﹣2x+4y=0 可化为(x﹣1) +(y+2) =5, 即圆心为(1,﹣2),半径为 的圆,(如图)

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设 z=x﹣2y,将 z 看做斜率为 的直线 z=x﹣2y 在 y 轴上的截距, 经平移直线知:当直线 z=x﹣2y 经过点 A(2,﹣4)时,z 最大, 最大值为:10. 故答案为:10. 14.【答案】 5 .
2 【解析】解:P(1,4)为抛物线 C:y =mx 上一点, 2 即有 4 =m,即 m=16, 2 抛物线的方程为 y =16x,

焦点为(4,0), 即有|PF|= 故答案为:5. 【点评】本题考查抛物线的方程和性质,考查两点的距离公式,及运算能力,属于基础题. 15.【答案】 2:1 . 【解析】解:设圆锥、圆柱的母线为 l,底面半径为 r, 所以圆锥的侧面积为: 圆柱的侧面积为:2πrl 所以圆柱和圆锥的侧面积的比为:2:1 故答案为:2:1 16.【答案】 ﹣1 或 0 .
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=5.

=πrl

【解析】解:满足约束条件

的可行域如下图阴影部分所示:

kx﹣y+1≥0 表示地(0,1)点的直线 kx﹣y+1=0 下方的所有点(包括直线上的点) 由关于 x,y 的不等式组 (k 是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,

可得直线 kx﹣y+1=0 与 y 轴垂直,此时 k=0 或直线 kx﹣y+1=0 与 y=x 垂直,此时 k=﹣1 综上 k=﹣1 或 0 故答案为:﹣1 或 0 【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式(组)与平面区域,其中根据已知分析出直线 kx﹣y+1=0 与 y 轴垂直或与 y=x 垂直,是解答的关键. 17.【答案】 4 .

【解析】解:由分段函数可知 f( )=2× = . f(﹣ )=f(﹣ +1)=f(﹣ )=f(﹣ ∴f( )+f(﹣ )= + 故答案为:4. 18.【答案】 . sin(x﹣ ), . )=f( )=2× = ,

【解析】解:∵函数 f(x)=sinx﹣cosx=

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=

sin(﹣ .

)=﹣

=﹣



故答案为:﹣

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵f(5)=3, ∴ 即 loga27=3 解锝:a=3… (2)由(1)得函数 则 即为 化简不等式得 ∵函数 y=log3x 在(0,+∞)上为增函数,且 ∴x +2<x +4x+6… 即 4x>﹣4, 解得 x>﹣1, 所以不等式的解集为:(﹣1,+∞)… 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)用茎叶图表示如下:
2 2



, …

=

(3)不等式 f(x)<f(x+2),

… 的定义域为 R.

(Ⅱ) =

= =80,



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= = ∵ =

[(74﹣80)2+(76﹣80)2+(78﹣80)2+(82﹣80)2+(90﹣80)2]=32, [(70﹣80)2+(75﹣80)2+(80﹣80)2+(85﹣80)2+(90﹣80)2]=50, , ,

∴在平均数一样的条件下,甲的水平更为稳定,应该派甲去. 21.【答案】 【解析】A

B

22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由条件得 f′(x)= ﹣ (x>0),

∵曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x﹣2=0 垂直, ∴此切线的斜率为 0, 即 f′(e)=0,有 ﹣ =0,得 k=e;

(Ⅱ)条件等价于对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2 恒成立…(*) 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ ﹣x(x>0),∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 由 h′(x)= ﹣
2 2 ﹣1≤00 在(0,+∞)上恒成立,得 k≥﹣x +x=(﹣x﹣ ) + (x>0)恒成立,

∴k≥ (对 k= ,h′(x)=0 仅在 x= 时成立), 故 k 的取值范围是[ ,+∞); (Ⅲ)由题可得 k=e, 因为 M∩P≠?,所以 f(x)< 在[e,3]上有解, 即?x∈[e,3],使 f(x)< 成立, 即?x∈[e,3],使 m>xlnx+e 成立,所以 m>(xlnx+e)min, 令 g(x)=xlnx+e,g′(x)=1+lnx>0,所以 g(x)在[e,3]上单调递增,
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g(x)min=g(e)=2e, 所以 m>2e. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,主要考查函数的单调性的运用,考查不等式存在性 和恒成立问题的解决方法,考查运算能力,属于中档题.

23.【答案】 【解析】【知识点】数列综合应用 【试题解析】(Ⅰ) (Ⅱ) 即 , 成等差数列, , ,即 , 将 , . 代入上式, 的公差不为 0. ,使 构成公差不为 0 的等差数列. , , 令 , , …… , 将上述不等式相加,得 取正整数 ,就有 ,即 . . 解得 . . , . ,

经检验,此时 存在 (Ⅲ) 又 由

24.【答案】(1) f(x)的单调减区间为(0,2],单调增区间为[2,+∞);(2) 函数 f(x)在 ? 0, 无零点,则 a 的最小值为 2﹣4ln2;(3)a 的范围是 ? ??, 2 ?

? ?

1? ? 上 2?

? ?

3 ? ?. e ? 1?

【解析】试题分析:(Ⅰ)把 a=1 代入到 f(x)中求出 f′(x),令 f′(x)>0 求出 x 的范围即为函数的增

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区间,令 f′(x)<0 求出 x 的范围即为函数的减区间; (Ⅱ)f(x)<0 时不可能恒成立,所以要使函数在(0,

1 1 )上无零点,只需要对 x∈(0, )时 f(x)> 2 2

0 恒成立,列出不等式解出 a 大于一个函数,利用导数得到函数的单调性,根据函数的增减性得到这个函数的 最大值即可得到 a 的最小值;

试题解析: (1)当 a=1 时,f(x)=x﹣1﹣2lnx,则 f′(x)=1﹣ 由 f′(x)>0,得 x>2; 由 f′(x)<0,得 0<x<2. 故 f(x)的单调减区间为(0,2],单调增区间为[2,+∞); (2)因为 f(x)<0 在区间 故要使函数 只要对任意的 上恒成立不可能, 上无零点, ,f(x)>0 恒成立,即对 恒成立. ,

令 再令 则 从而,l(x)>0,于是 l(x)在 故要使

,则 , ,故 m(x)在 上为增函数,所以



上为减函数,于是 ,



恒成立,只要 a∈[2﹣4ln2,+∞),

综上,若函数 f(x)在 ? 0,

? ?

1? ? 上无零点,则 a 的最小值为 2﹣4ln2; 2?

(3)g′(x)=e1﹣x﹣xe1﹣x=(1﹣x)e1﹣x,

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当 x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数 g(x)单调递增; 当 x∈(1,e]时,g′(x)<0,函数 g(x)单调递减. 又因为 g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e?e1﹣e>0, 所以,函数 g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]. 当 a=2 时,不合题意;

当 a≠2 时,f′(x)= 当 x= 时,f′(x)=0. ,即

,x∈(0,e]

由题意得,f(x)在(0,e]上不单调,故



此时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x) (0, ﹣ ↘ ) 0 最小值 ( + ↗ ,e]

又因为,当 x→0 时,2﹣a>0,f(x)→+∞, , 所以,对任意给定的 x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1,2), 使得 f(xi)=g(x0)成立,当且仅当 a 满足下列条件:

即 令 h(a)= 则h , ,令 h′(a)=0,得 a=0 或 a=2,

故当 a∈(﹣∞,0)时,h′(a)>0,函数 h(a)单调递增; 当 所以,对任意 时,h′(a)<0,函数 h(a)单调递减. ,有 h(a)≤h(0)=0,

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即②对任意 由③式解得:

恒成立. .④

综合①④可知,当 a 的范围是 ? ??, 2 ?

? ?

3 ? ? 时,对任意给定的 x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的 e ? 1?

xi(i=1,2),使 f(xi)=g(x0)成立.

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