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高中数学第一章三角函数13三角函数的诱导公式教学案新人教A版必修4(数学教案)

1.3 三角函数的诱导公式 第 1 课时 诱导公式二、三、四 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P23~P26 的内容,回答下列问题. (1)给定一个角 α ,则角π +α 的终边与角 α 的终边有什么关系?它们的三角函数之 间有什么关系? 提示:π +α 的终边与 α 的终边关于原点对称,sin(π +α )=-sin_α ,cos(π + α )=-cos_α ,tan(π +α )=tan_α . (2)给定一个角 α ,则角π -α 的终边与角 α 的终边有什么关系?它们的三角函数之 间有什么关系? 提示:π -α 的终边与角 α 的终边关于 y 轴对称,sin(π -α )=sin_α ,cos(π - α )=-cos_α ,tan(π -α )=-tan_α . (3)给定一个角 α ,则角-α 的终边与角 α 的终边有什么关系?它们的三角函数之间 有什么关系? 提示:-α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称,sin(-α )=-sin_α ,cos(-α )= cos_α ,tan(-α )=-tan_α . 2.归纳总结,核心必记 (1)特殊角的终边对称性 ①π +α 的终边与角 α 的终边关于原点对称,如图①; ②-α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称,如图②; ③π -α 的终边与角α 的终边关于 y 轴对称,如图③. (2)诱导公式 公式一 sin(α +2kπ )=sin α cos(α +2kπ )=cos α tan(α +2kπ )= tan_α 1 公式二 sin(π +α )=- sin__α sin(-α )=-sin_α cos(π +α )=- cos_α cos(-α )=cos_α cos(π -α )=- cos_α tan(π +α )=tan_ α tan(-α )=-tan_ α tan(π -α )=- tan_α 公式三 公式四 sin(π -α )=sin_α (3)公式一~四的应用 记忆口诀:负化正,大化小,化到锐角再求值. [问题思考] (1)诱导公式一、二、三、四中的角 α 有什么限制条件? 提示: sin(α +2kπ ), sin(π ±α ), sin(-α ), cos(α +2kπ ), cos(π ±α ), cos(- π α )公式中的 α ∈R;而 tan(α +2kπ ),tan(π ±α ),tan(-α )中的 α ≠ +kπ ,k∈Z. 2 (2)在△ABC 中,你认为 sin A 与 sin(B+C) ,cos A 与 cos(B+C)之间有什么关系? 提示:∵A+B+C=π ,即 B+C=π -A, 故 sin A=sin[π -(B+C)]=sin(B+C), cos A=cos[π -(B+C)]=-cos(B+C). [课前反思] (1)π +α ,-α ,π -α 的终边与 α 终边的关系: ; (2)诱导公式一、二、三、四的内容: ; (3)公式一~四的应用: . 2 讲一讲 1.求下列三角函数值: 119π (1)sin(-1 200°);(2)tan 945°; (3)cos . 6 [尝试解答] (1)sin(-1 200°)=-sin 1 200°=-sin(3×360°+120°)=-sin 120°=-sin(180°-60°)=-sin 60°=- 3 . 2 (2)tan 945°=tan(2×360°+225°)=tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°= 1. π? 119π π 3 ? ? π? (3)cos =cos?20π - ?=cos?- ?=cos = . 6? 6 6 2 ? ? 6? 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 1.求 sin 585°cos 1 290°+cos(-30°)sin 210°+tan 135°的值. 解:sin 585°cos 1 290°+cos(-30°)sin 210°+tan 135° =sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+cos 30°sin 210°+tan(180°-45°) =sin 225°cos 210°+cos 30°sin 210°-tan 45° =sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos 30°·sin(180°+30°)-tan 45° =sin 45°cos 30°-cos 30°sin 30°-tan 45° = 2 3 3 1 6- 3-4 × - × -1= . 2 2 2 2 4 讲一讲 3 cos(-α )tan(7π +α ) 2.(1)化简: =________; sin(π -α ) sin(1 440°+α )·cos(α -1 080°) (2)化简 =________. cos(-180°-α )·sin(-α -180°) [ 尝 试 解 答 ] (1) cos(-α )tan(7π +α ) cos α tan(π +α ) = = sin(π -α ) sin α cos α ·tan α sin α = =1. sin α sin α sin(4×360°+α )·cos(3×360°-α ) (2)原式= cos(180°+α )·[-sin(180°+α )] = sin α ·cos(-α ) cos α = =-1. (-cos α )·sin α -cos α 答案:(1)1 (2)-1 利用诱导公式一~四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的; (2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变; (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切. 练一练 sin[(k+1)π +θ ]·cos[(k+1)π -θ ] 2.化简: (

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