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2012年安徽省高考-文数-含答案-解析版(免费)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形 码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号 后两位。 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、笔迹清晰。作 .... 图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在 ... 题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效 ,在试题卷 、草稿纸上答题无效 。 ......... .... ........ 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 (1)复数 z 满足: ( z ? i)i ? 2 ? i ;则 z ? ( )

( A) ? 1 ? i
【解析】选 B

( B) 1 ? i
2?i ? 1? i i

(C ) ? ? ? i?

( D ) ? ? ?i

( z ? i )i ? 2 ? i ? z ? i ?

(2)设集合 A ? {x ?3 ? 2x ?1 ? 3} ,集合 B 是函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域;则 A

B?(



( A) (1, 2)
【解析】选 D

( B) [ 1 , 2 ]

(C ) [?, ?)

( D) (?, ?]

A ? {x ?3 ? 2x ?1 ? 3} ? [?1,2] , B ? (1, ??) ? A B ? (1, 2]
(3) log 2 9 ? log3 4 ? (



( A)

1 4

( B)

1 2

(C ) ?

( D) ?

【解析】选 D

log 2 9 ? log3 4 ?

lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 ? ? ? ?4 lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

1

4. 命题“存在实数 x ,,使 x ? 1 ”的否定是(



( A) 对任意实数 x , 都有 x ? 1

( B ) 不存在实数 x ,使 x ? 1 ( D) 存在实数 x ,使 x ? 1

(C ) 对任意实数 x , 都有 x ? 1
【解析】选 C 存在---任意, x ? 1 --- x ? 1

5. 公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且

a3 a11 =16,则 a5 ? (
( D) ?



( A) 1
【解析】选 A

( B) 2

(C ) ?

2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1

(6)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(



( A) 3
【解析】选 B

( B) 4

(C ) ?

( D) ?

x
y

1 1

2 2

4

8
4


3

(7)要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象(

( A) 向左平移 1 个单位 (C ) 向左平移
【解析】选 C

( B ) 向右平移 1 个单位
1 ( D) 向右平移 个单位 2

1 个单位 2

y?cos 2 x? y? cos( x2 ? 左+1 1) ,平移

1 2


? x?0 ? (8)若 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的最小值是( ?2 x ? y ? 3 ?
( A) ? 3
【解析】选 A 【解析】 x ? y 的取值范围为 _____ [?3, 0] 约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(0,3), B(0, ), C (1,1)
2

( B) 0

(C )

3 2

( D) 3

3 2

[ ? 3, 0 ] 则t ? x ? y?

(9) )若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是(



( A) [? 3 ? , 1]
【解析】选 C

( B ) [?1,3]

(C ) [?3,1]

( D) (??, ?3] [1, ??)

圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 2 的圆心 C (a, 0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d 则 d ?r?

2?

a ?1 2

? 2 ? a ? 1 ? 2 ? ?3 ? a ? 1

(10)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中 任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )

1 5 【解析】选 B

( A)

( B)

2 5

(C )

3 5

( D)

4 5

1 个红球,2 个白球和 3 个黑球记为 a1 , b1 , b2 , c1 , c2 , c3 从袋中任取两球共有

a1 , b1 ; a1 , b2 ; a1 , c1 ; a1 , c2 ; a1 , c3 ; b1 , b2 ; b1 , c1; b1 , c2 ; b1 , c3 b2 , c1 ; b2 , c2 ; b2 , c3 ; c1 , c2 ; c1 , c3 ; c2 , c3
6 2 ? 15 5

15 种;

满足两球颜色为一白一黑有 6 种,概率等于

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 考生注意事项:请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效 . ................. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. (11)设向量 a ? (1, 2m), b ? (m ? 1,1), c ? (2, m) ,若 (a ? c) ⊥ b ,则 a ? _____ 【解析】 a ? _____

2
3m (? ? 1 ) m3 ? 1 ? 0 m? ? 2 ?a ? 2

a ? c ?( 3 , 3 m ) ,a (? c )b ?

(12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是 _____ 【解析】表面积是 _____ 56 该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱 几何体的的体积是 V ?

1 ? (2 ? 5) ? 4 ? 4 ? 56 2

(13)若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递 增区间是 [3, ??) ,则 a ? _____ 【解析】 a ? _____ ?6 由对称性: ?

a ? 3 ? a ? ?6 2

3

(14)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若 | AF |? 3 ,则 | BF | =______ 【解析】 | BF |? _____

3 2

设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3

1 2 3 ? 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2 (15)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC ,
得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ? 则______ __.(写出所有正确结论编号) ①四 面体 ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体 ABCD 每个面的面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90 而小于 180 ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【解析】正确的是 _____ ②④⑤
[来源:Z*xx*k.Com]

?

?

②四面体 ABCD 每个面是全等三角形,面积相等 ③从四面体 A B C D 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 180
?

④连接四面体 A B C D 每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分 A B C D ⑤从四面体 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答 题卡的制定区域内. (16)(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,且有 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C (Ⅰ)求角 A 的大小; (II) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点 ,求 AD 的长。
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

【解析】 (Ⅰ) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C) ? sin B
? cos A ?
2

1 ? ? A? 2 3
2 2 2 2 2

(II) a ? b ? c ? 2bc cos A ? a ? 3 ? b ? a ? c ? B ?

?
2

在 R t? A B D 中, AD ?

AB2 ? BD 2 ? 1 2? (

3 2 7 ) ? 2 2

4

(17) (本小题满分 12 分) 设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (II)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 【解析】 (I) f ( x) ? ax ?

1 ? b(a ? 0) ax

3 x ,求 a , b 的值。 2

1 1 ? b ? 2 ax ?b ? b?2 ax ax

1 ) 时, f ( x ) 的最小值为 b ? 2 a 3 1 3 (II)由题意得: f (1) ? ? a ? ? b ? ① 2 a 2 1 1 3 f ?( x)? a ? 2 ? ?f ( 1? ) ? a ? ② ax a 2 ? 当且仅当 a x? 1 ( x
由①②得: a ? 2 ,b ? ? 1 (18) (本小题满分 13 分) 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1mm 时,则视为合格品,否则视为不合格品。 在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取 5000 件进行检测,结果发现有 50 件不合格品。计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm), 将所得数据分组, 得到如下频率分布表:

分组 [-3, -2) [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计

频数 8

频率 0.1 0.5

10 50 1

(Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置; (Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率; (Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合格品。据此估算这批产品中 的合格品的件数。 【解析】 (I)

分组 [-3, -2) [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计

频数 5 8 25 10 2 50
5

频率 0.1 0.16 0.5 0.2 0.4 1

(Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.5 ? 0.2 ? 0.7

5000 ? 20 ? 1980 (件) 50 答: (Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.7 (Ⅲ)合格品的件数为 1980 (件)
(Ⅲ)合格品的件数为 20 ? (19) (本小题满分 12 分)
K]

如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形,

O 是 BD 的中点, E 是棱 AA1 上任意一点。
(Ⅰ)证明: BD ? EC1 ; (Ⅱ)如果 AB =2, AE = 2 , OE ? EC1 , 求 AA1 的长。 【解析】 (I)连接 AC , AE / /CC1 ? E, A, C, C1 共面 长方体 A B C D ? A1 B1C1 D1 中,底面 A1B1C1 D1 是正方形

AC ? BD, EA ? BD, AC

EA ? A ? BD ? 面 E A C 1 C ? B D? E 1 C

(Ⅱ)在矩形 ACC1 A C? ? O A E ? 1E A 1 中, O E ? E 1 1 C 得:

? 2 AE AC 2 AA 1 ? 1 1? ? ? AA1 ? 3 2 AO EA1 2 2 2
x2 y2 + =1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, a2 b2

(20) (本小题满分 13 分) 如图, F 1F2 分别是椭圆 C :

B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F1 AF2 ? 60? .
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知 ?AF1B 面积为 40 3 ,求 a , b 的值 【解析】 (I) ?F1 AF2 ? 60 ? a ? 2c ? e ?
?

c 1 ? a 2

(Ⅱ)设 B F ;则 B F ? m 2 ? m 1 ?2 a

? BF ? 在 ?BF1 F2 中, B F 1 2

2

2

F 2 1 F 2 ?

2

B 2F ?

1

F 2F ? c o s 1? 20

3 ?(2 a ?m2 ) ? m2 ? a2 ? a m ? m ? 5

a

1 1 3 3 S ? ? F2 F1 ? AB ? sin 60? ? ? a ? (a ? a) ? ? 40 3 面积 ?A F 2 2 5 2 1 B ? a ? 10, c ? 5, b ? 5 3
6

(21) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) ?

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn } . 2

(Ⅰ)求数列 {xn } ; (Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。 【解析】 (I) f ( x) ?

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 2 2 3 2? 2? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? ? ? ( k ? Z) 得:当 x ? 2 k 时, f ( x ) 取极小值 3 2? 得: xn ? 2n? ? 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? 3 2n? 2n? Sn ? x1 ? x 2 ? x 3? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? n) ? ? n(n ? 1)? ? 3 3
* 当 n ? 3 k( k 时, s i n Sn ? s i? n( k?2 ? ) ? N )

0

当 n ? 3 k ?1 (k ? N 时, ) sin Sn ? sin
*

2? 3 ? 3 2 4? 3 ?? 3 2

当 n ? 3 k ? 2 (k ? N 时, ) sin Sn ? sin
*

得: 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0
*

当 n ? 3 k ?1 (k ? N 时, Sn ? ) sin
*

3 2 3 2

Sn ? ? 当 n ? 3 k ? 2 (k ? N 时, ) sin
*

7


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