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第二章基本初等函数知识点总结


第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算
n 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中

n >1,且 n ∈ N *.
n 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 0 ? 0 。

n

n n 当 n 是奇数时, a ? a ,当 n 是偶数时,

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ,
m n

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
r r ?s r (1) a · a ? a

(a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) .

r s rs (2) (a ) ? a r r s (3) (ab) ? a a

(二)指数函数及其性质
x 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,

其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质

a>1
6 5

0<a<1
6 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
x (1)在[a,b]上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a), f (b)] 或 [f (b), f (a)] ;

(2)若 x ? 0 ,则 f (x) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ;
x (3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;

二、对数函数 (一)对数
x 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为

底 N 的对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对 数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ;
x ○ 2 a ? N ? loga N ? x ;

loga N

○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:

○ 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . 指数式与对数式的互化 幂值 真数

ab = N ? log a N = b

底数 指数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: ○ 1 loga (M · N ) ? loga M + loga N ; ○ 2
log a M ? N loga M - loga N ;
(n ? R) .

对数

n ○ 3 loga M ? n loga M

注意:换底公式

loga b ?

logc b logc a

c ? 0, b ? 0) (a ? 0, 且 a ? 1; 且c ? 1; .

利用换底公式推导下面的结论 (1)
log a m b n ?

1 n loga b ? log a b logb a m ; (2)



(三)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其 中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨

y ? log 5 5 别。如: y ? 2 log2 x ,

x

都不是对数函数,而只能称其为对数型

函数.○ 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 2、对数函数的性质: a>1
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

0<a<1

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点(1,0) 三、幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

? 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中

? 为常数.

2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函 数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数 的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限 内, 当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴, 当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.


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