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郑:2-3-1.2.2 组合(2)导学案-006


2012-13 高二数学选修 2-3 一导学案 006 编制人:郑淑芬 课题 学习 目标 §1.2.2 组合(2) 课时 1 1、掌握排列数和组合数及排列和组合的定义、性质,并 能运用。 2、认识分组分配和分组组合问题的区别。 3、能够区分和解决分组分配和分组组合问题。 熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用 能够区分和解决分组分配和分组组合问题。

审核人:杨洪波

班级:

姓名:

_____组

层次:

教师评价得分:_______批阅日期________月________日

练习题: 1、一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种 不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则 不同的选法有 种

例 3:分成三份,一份 1 本,一份 2 本,一份 3 本;

重点 难点

4、有序不等分:要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作 元素个数作全排列.

【知识链接】 : 1、排列: ( 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
m m 2、排列数:用符号 An 表示, An =

2、3 名医生和 )叫做

6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分 种

例 4:分给甲、乙、丙 3 人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本;

配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有

5、无序局部等分 ),叫做从 n 个不 :合作探究 二、平均分组问题除法策略 6 本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法; 1、无序等分:若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆,要 将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 m! 例 1:分成三份,每份两本; 6、有序局部等分 例 6:分给甲、乙、丙 3 人,甲四本,乙、丙各一本; 例 5:一堆四本,两堆各一本。

3、组合: ( 同元素中取出 m 个元素的一个组合
m m 4、组合数:用符号 C n 表示, C n = m m An 与 C n 关系公式是

4、组合数的两个性质 (1) (2) :自主学习 一、排列组合混合问题先选后排策略 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想 例 1、对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品,一一进行 测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第 5 次测试时全 部发现,则这样的测试方法有种可能?

练习题: 反思:一般地:将 mn 个元素平均分成 n 组(每组 m 个元素),共有 _______________________________________ 2、有序等分:要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作元素 个数作全排列 例 2:分给甲、乙、丙三人,每人两本; 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能 分在同一组,有______ 种不同的分组方法 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队,

有______ 分法

例 2、 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球, 有 共有多少不同的装法. 3、无序不等分:非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原 理作积.
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目; 1

3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排 到该年级的两个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为 ______

C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象

2012-13 高二数学选修 2-3 一导学案 006 编制人:郑淑芬 4.6 本相同的书,分给甲乙丙三人,每人至少一本,有______ 种 不同的分法

审核人:杨洪波

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教师评价得分:_______批阅日期________月________日

7 、现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各 [达标检测] 1、 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至 一张,100元人民币2张,从中至少取一张,共可组成不同的币值 种数是( ) (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种

反思:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分 组后要一定要除以 A n ( n 为均分的组数)避免重复计数。 n 三、元素相同问题隔板策略 将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素, 可以用 m-1 块隔板,插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有 分法数为 Cn?1
m?1

少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有

种.

(A)1024种

2、 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球,排成一排, 共有______ 种不同的排列方法?

8、 现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻 的排法有(
3 5 (A) A6 ? A5

)种.
8 6 3 3 3 (B) A8 ? A6 ? A3 (C) A5 ? A3 8 4 (D) A8 ? A6

3、 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生, 那么不同的夺冠情况共有(
3 (A) A4

例 1:有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种 分配方案?

)种. (C) 3 4
3 (D) C 4

9、 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践, 其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分 配方案有( ). (B)18 种 (C)37 种 (D)48 种

(B) 4 3

4 、 5 本不同的书全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同 的分法种数为( (A)480 种 练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 5 、 某交通岗共有 3 人,从周一到周日的七天中,每天安排一人 值班,每人至少值 2 天,其不同的排法共有( (A)5040 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数 (B)1260 (C)210 )种. ) (B)240 种 (C)120 种 (D)96 种

(A)16 种

10、 从一楼到二楼的楼梯有 17 级,上楼时可以一步走一级,也可 以一步走两级,若要求 11 步走完,则有多少种不同的走法?

(D)630 11 、 已 知 a x2 ? b ? 0 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 , 其 中 a 、
b ? {1,2,3,4} ,求解集不同的一元二次方程的个数.

6 、 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数 3.将 8 个学生干部的培训指标分配给 5 个不同的班级, 每班至少分 到 1 个名额,共有多少种不同的分配方法? 共有( ) (A)36 个 (B)48 个 (C)66 个 (D)72 个

课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;

2

C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象

2012-13 高二数学选修 2-3 一导学案 006 编制人:郑淑芬

审核人:杨洪波

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教师评价得分:_______批阅日期________月________日

答案
一、排列组合混合问题先选后排策略 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想 例 1、 对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品,一一进行测 试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第 5 次测试时全部 发现,则这样的测试方法有种可能?

将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 m! 例 1:分成三份,每份两本;

反思:一般地:将 mn 个元素平均分成 n 组(每组 m 个元素),共有 _______________________________________ 例 2、某学习小组有 5 个男生 3 个女生,从中选 3 名男生和 1 名女 生参加三项竞赛活动,每项活动至少有 1 人参加,则有不同参赛方 法______种.
6 4 1 1 C10 ? 1 C6 ? C2 ? C1 ? 3150 2

1 2 1 2 2、有序等分:要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作元素

(C3 C6) ? (C 2 C 4) ?1 ? 540

个数作全排列 2

例 2:分给甲、乙、丙三人,每人两本; 例 3、 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球, 有 共有多少不同的装法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C5 种方法.再 6 2 2 2 4 把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 A 4 10 6 4 2
2

C 6C 4 ? A3 ? 540
2 3

C ? C ? C ? C ? 18900

3、无序不等分:非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原 理作积. 例 3:分成三份,一份 1 本,一份 2 本,一份 3 本;

练习题: 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分
5 4 4 法?( C13C8 C4 / A 2 ) 2

2 4 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有 C5 A 4

2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能 分在同一组,有多少种不同的分组方法 (1540) 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排

练习题: 1、 一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种 不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人 参加,则不同的选法有 192 种 2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分 配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?
3 1 4 C4 C6 A4 ? 576

到该年级的两个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为 4、有序不等分:要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作 元素个数作全排列. 例 4:分给甲、乙、丙 3 人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本; 1、 今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分成三份, 二份各 1 件,另一份 4 件, 有多少种分法? 5、无序局部等分 例 5:一堆四本,两堆各一本。 ______
2 2 2 2 C4 C2 A 6 / A 2? 90

4.6 本相同的书,分给甲乙丙三人,每人至少一本。

3 1 二、分组(堆)问题

C5 ? C3 ? C ? A ? 1080
2 4 3 3

2、 今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给甲乙丙三人,每人二件有多 少种分法?

6 本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法; 1、无序等分:若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆,要

6、有序局部等分 例 6:分给甲、乙、丙 3 人,甲四本,乙、丙各一本;
3

反思:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组

课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;

C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象

2012-13 高二数学选修 2-3 一导学案 006 编制人:郑淑芬 后要一定要除以 A ( n 为均分的组数)避免重复计数。
n n

审核人:杨洪波

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_____组

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教师评价得分:_______批阅日期________月________日 正解:8 个小球排好后对应着 8 个位置,题中的排法相当于在

例 1 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至 少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.

8 个位置中选出 3 个位置给红球,剩下的位置给白球,由于这 3 个
3 红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题.这样共有: C8 ? 56 排

误解: 因为可以取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机,所以只有 2 种取法. 错因分析:误解的原因在于没有意识到“选取 2 台原装与 3 台 组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机” 是完成任务的两 “类” 办法,每类办法中都还有不同的取法. 元素相同问题隔板策略 有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方 案?
解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空 隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地 分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 C 种分法。
6 9

法. 3 重复计算出错 在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等,这些 问题要注意避免重复计数,产生错误。 例4 5 本不同的书全部分给 4 个学生,每个学生至少一本, ) (C)120 种 (D)96 种

正解:由分析,完成第一类办法还可以分成两步:第一步在原
2 装计算机中任意选取 2 台,有 C6 种方法;第二步是在组装计算机

不同的分法种数为( (A)480 种

2 3 任意选取 3 台, C 5 种方法, 有 3 据乘法原理共有 C6 ? C5 种方法.同理, 3 2 完成第二类办法中有 C6 ? C5 种方法.据加法原理完成全部的选取过 4

(B)240 种

C7

4 误解:先从 5 本书中取 4 本分给 4 个人,有 A5 种方法,剩下的 1

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

2 3 3 2 程共有 C 6 ? C5 ? C6 ?C5 ? 350 种方法.

4 本书可以给任意一个人有 4 种分法,共有 4 ? A5 ? 480种不同的分

例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、 丙三人中产生, 乙、 那么不同的夺冠情况共有( )种.
3 (A) A4

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数) ,每份至少一个元素, 可以用 m-1 块隔板,插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有 分法数为 C
m?1 n ?1

(B) 4 3

(C) 3 4

3 (D) C 4

5 C11

法,选 A. 错因分析:设 5 本书为 a 、 b 、 c 、 d 、 e ,四个人为甲、乙、丙、 丁.按照上述分法可能如下的表 1 和表 2: 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁

误解:把四个冠军,排在甲、乙、丙三个位置上,选 A. 正解:四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠

a e

b
表 1

c

d

e a

b
表 2

c

d

1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数

C94
3 C103

军都有 3 种选取方法,由乘法原理共有 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 4 种. 说明:本题还有同学这样误解,甲乙丙夺冠均有四种情况,由 乘法原理得 4 3 .这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后,

表 1 是甲首先分得 a 、乙分得 b 、丙分得 c 、丁分得 d ,最后一本 书 e 给甲的情况;表 2 是甲首先分得 e 、乙分得 b 、丙分得 c 、丁 分得 d ,最后一本书 a 给甲的情况.这两种情况是完全相同的,而 在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次. 正解:首先把 5 本书转化成 4 本书,然后分给 4 个人.第一步:
2 从 5 本书中任意取出 2 本捆绑成一本书,有 C 5 种方法;第二步:

将 8 个学生干部的培训指标分配给 5 个不同的班级, 每班至少分到 1 个名额,共有多少种不同的分配方法?

其他人就不再有 4 种夺冠可能. 2 判断不出是排列还是组合出错 在判断一个问题是排列还是组合问题时, 主要看元素的组成有 没有顺序性,有顺序的是排列,无顺序的是组合.

从一楼到二楼的楼梯有 17 级,上楼时可以一步走一级,也可以一 步走两级,若要求 11 步走完,则有多少种不同的走法? [达标检测] 排列组合问题基于两个基本计数原理,即加法原理和乘法原理,故 理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.

例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球,排成一排, 共有多少种不同的排列方法?
8 误解:因为是 8 个小球的全排列,所以共有 A8 种方法.

4 再把 4 本书分给 4 个学生,有 A4 种方法.由乘法原理,共有 2 4 C 5 ? A4 ? 240 种方法,故选 B.

错因分析:误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的,5 个 白色小球也是完全相同的,同色球之间互换位置是同一种排法.

例 5 某交通岗共有 3 人,从周一到周日的七天中,每天安排

课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;

4

C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象

2012-13 高二数学选修 2-3 一导学案 006 编制人:郑淑芬 一人值班,每人至少值 2 天,其不同的排法共有( (A)5040 (B)1260 (C)210 )种.

审核人:杨洪波

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_____组

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教师评价得分:_______批阅日期________月________日

1 2 两块区域,有 C3 ? 2 ? A2 ? 12 种,由乘法原理共有: 4 ?12 ? 48种.

币的取法有3种情况,再减去全不取的1种情况,所以共有
2 9 ? 3 ? 1 ? 1535种.

(D)630

误解:第一个人先挑选 2 天,第二个人再挑选 2 天,剩下的 3 天给
2 2 3 第三个人,这三个人再进行全排列.共有: C7 C5 A3 ? 1260,选 B.

错因分析:没有看清题设“有 4 种颜色可供选择” .. ,不一定需要 4 种颜色全部使用,用 3 种也可以完成任务. 正解:当使用四种颜色时,由前面的误解知有 48 种着色方法;当
3 仅使用三种颜色时:从 4 种颜色中选取 3 种有 C 4 种方法,先着色

7 题意的理解偏差出错 例 10 现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不 能相邻的排法有( )种.
3 5 8 6 3 3 3 8 4 (A) A6 ? A5 (B) A8 ? A6 ? A3 (C) A5 ? A3 (D) A8 ? A6
5 误解:除了甲、乙、丙三人以外的 5 人先排,有 A5 种排法,5

错因分析:这里是均匀分组问题.比如:第一人挑选的是周一、周 二, 第二人挑选的是周三、 周四; 也可能是第一个人挑选的是周三、 周四,第二人挑选的是周一、周二,所以在全排列的过程中就重复
C 2 C 2 A3 计算了.正解: 7 5 3 ? 630种. 2

第一区域,有 3 种方法,剩下 2 种颜色涂四个区域,只能是一种颜 色涂第 2、4 区域,另一种颜色涂第 3、5 区域,有 2 种着色方法,
3 由乘法原理有 C 4 ? 3 ? 2 ? 24 种.综上共有: 48? 24 ? 72 种.

3 人排好后产生 6 个空档,插入甲、乙、丙三人有 A6 种方法,这样

4 遗漏计算出错

0 1, 3 例 8 已 知 a x2 ? b ? 0 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 , 其 中 a 、 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面, 因为遗漏某
b ? {1,2,3,4} ,求解集不同的一元二次方程的个数.
2 误解: 从集合 {1,2,3,4} 中任意取两个元素作为 a 、b , 方程有 A4

3 5 共有 A6 ? A5 种排法,选 A.

些情况,而出错。 例 6 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的比 1000 大 的奇数共有( ) (A)36 个 (B)48 个 (C)66 个 (D)72 个

错因分析:误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含 义,得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、 .... 丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻,但允许其中 有两人相邻. 正解:在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方
8 6 3 法数,就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数,即 A8 ? A6 ? A3 ,

2 个,当 a 、 b 取同一个数时方程有 1 个,共有 A4 ? 1 ? 13 个.

误解:如右图,最后一位只能是 1 或 3 有两种取法,又因为第 1 位 不能是 0,在最后一位取定后只有 3 种取
2 2 法, 剩下 3 个数排中间两个位置有 A3 种排法, 共有 2 ? 3 ? A3 ? 36 个.

错因分析:误解中没有注意到题设中: “求解集不同的??” .... 所以在上述解法中要去掉同解情况,由于 ?
?a ? 2 ?a ? 4 和? 同解,故要减去 2 个。 ? ?b ? 1 ?b ? 2 ?a ? 1 ?a ? 2 和? 同解、 ?b ? 2 ?b ? 4

故选 B. 8 解题策略的选择不当出错 例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社

错因分析:误解只考虑了四位数的情况,而比 1000 大的奇数还可 能是五位数.
3 正解:任一个五位的奇数都符合要求,共有 2 ? 3 ? A3 ? 36 个,再由

正解:由分析,共有

13? 2 ? 11个解集不同的一元二次方程.

6 未考虑特殊情况出错 在排列组合中要特别注意一些特殊情况,一有疏漏就会出

会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则 不同的分配方案有( (A)16 种 种 误解:甲工厂先派一个班去,有 3 种选派方法,剩下的 2 个班 均有 4 种选择,这样共有 3? 4? 4 ? 48种方案. 错因分析:显然这里有重复计算.如: a 班先派去了甲工厂,b 班选择时也去了甲工厂,这与 b 班先派去了甲工厂, a 班选择时也 去了甲工厂是同一种情况,而在上述解法中当作了不一样的情况, 并且这种重复很难排除. 正解:用间接法.先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数,再扣除 ). (C)37 种 (D)48

前面分析四位数个数和五位数个数之和共有 72 个,选 D. 5 忽视题设条件出错 在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每 一个字和符号,不然就可能多解或者漏解. 例 7 如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要 求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 作答) 误解:先着色第一区域,有 4 种方法,剩下 3 种颜色涂四个区域, 即有一种颜色涂相对的 种.(以数字

错. 例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各 一张,100元人民币2张,从中至少取一张,共可组成不同的币值 种数是( )

(B)18 种

(B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 2 5 1 误:因为共有人民币10张,每张人民币都有取和不取2种情况,减 3 4 去全不取的1种情况,共有 210 ? 1 ? 1023种. 错因分析:这里100元面值比较特殊有两张,在误解中被计算成 4 种情况,实际上只有不取、取一张和取二张3种情况. 正解:除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况,100元人民
5

(A)1024种

课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;

C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象

2012-13 高二数学选修 2-3 一导学案 006 编制人:郑淑芬 甲工厂无人去的情况,即: 4? 4? 4 ? 3?3?3 ? 37 种方案

审核人:杨洪波

班级:

姓名:

_____组

层次:

教师评价得分:_______批阅日期________月________日

课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目;

6

C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象


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