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圆的方程第3讲教师版


高频考点(2014 年 3 月 23 日)

圆的方程

第5讲

题型 2:圆的切线问题(首先判断点与圆的位置关系) ①若点 P?x0 , y0 ?在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ; 上,则切线方程为 ?x0 ? a??x ? a? ? ? y0 ? b?? y ? b? ? r 2 . 特别地,过圆 x 2 ? y 2 ? 0 上一点 P?x0 , y0 ? 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 . ②若点 P?x0 , y0 ? 在圆外有两切线,设斜率为 k,用圆心到直线的距离为半径求 k,k 有两个值,若求出一个, 则另一条切线斜率不存在,即切线方程为 x ? x0 . 1.求过点 M (3,1) ,且与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 相切的直线 l 的方程. 解:设切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 , ∵圆心 (1, 0) 到切线 l 的距离等于半径 2 ,∴ ∴切线方程为 y ? 1 ? ?

| k ? 3k ? 1| k 2 ? ? ?1?
2

3 ? 2 ,解得 k ? ? , 4

3 ( x ? 3) ,即 3x ? 4 y ? 13 ? 0 , 4 当过点 M 的直线的斜率不存在时,其方程为 x ? 3 ,圆心 (1, 0) 到此直线的距离等于半径 2 , 故直线 x ? 3 也适合题意。所求的直线 l 的方程是 3x ? 4 y ? 13 ? 0 或 x ? 3 . 5 2 2 练.过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? ? 0 相切的直线的方程为 2 5 解:设直线方程为 y ? kx ,即 kx ? y ? 0 .∵圆方程可化为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ,∴圆心为(2,-1) ,半 2
径为

2k ? 1 10 10 1 1 .依题意有 ,解得 k ? ?3 或 k ? ,∴直线方程为 y ? ?3x 或 y ? x . ? 2 2 3 3 k 2 ?1

2.求过点 A(?1,0) 向圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 所引的切线方程。

3x ? 4 y ? 10 ? 0或x ? 2 练.求过点 A(2,1) 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程。 答案:
3 .由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ?x ? 3? ? y 2 ? 1 引切线,则切线长的最小值为
2

( C ) A.1 B.2 2 C. 7 D.3 解:设直线上一点 P,切点为 Q,圆心为 M,则|PQ|即为切线长, MQ 为圆 M 的半径,长度为 1,|PQ|= |PM|2-|MQ|2= |PM|2-1, 要使|PQ|最小,即求|PM|最小,此题转化为求 直线 y=x+1 上的点到圆心 M 的最小距离,设圆心到直线 y=x+1 的距离为 d,则 d= ∴|PM|最小值为 2 2,|PQ|= |PM| -1= ?2 2? -1= 7,选 C. 练:直线 y ? x ? 1 上的一点 P 向圆 C: ?x ? 3? ? y 2 ? 1引切线,A,B 为切点,则四边形 APBC 的面积最小值
2
2 2

|3-0+1| 1 +?-1?
2 2

=2 2,

___ 4. (2013 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

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高频考点(2014 年 3 月 23 日) 【答案】解:(1)由 ?

圆的方程

第5讲

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 显然切线 的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方 程为: ( x ? a) 2 ? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2
2 2 2 2 又∵ MA ? 2 MO ∴设 M 为(x,y)则 x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y 整理得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 设为圆 D

∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1
12 ? 12 ? 终上所述, a 的取值范围为: ?0, ? 5 ? 5?

2 2 由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a ? 12a ? 0 得 0 ? x ?

题型 3:直线与圆相交的弦长(解法有两种:1.几何法。2.代数法) 1.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于 B A. 3 3 2.直线 y ? kx ? 3 与圆 ?x ? 3? ? ? y ? 2? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范
2 2

B. 2 3

C.

3

D . 1

3 围是__[- ,0]______. 4 |3k+1| 解:如图,记题中圆的圆心为 C(3,2),作 CD⊥MN 于 D,则|CD|= ,于是有|MN|=2|MD|= 2 1+k 2 |CM| -|CD| =2
2 2

9k +6k+1 9k +6k+1 3 4- ≥2 3,即 4- ≥3,解得- ≤k≤0. 2 2 1+k 1+ k 4
2 2

2

2

3.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为 解:依题意得,弦心距 d ? 对的圆心角为 ?AOB ?

3 ,故弦长 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 ,从而△OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所

?
3

.
2 2

4.直线 l 经过 (5,5) 点, 且和圆 x ? y ? 25 相交, 截得的弦长为 4 5 , 求 l 的方程 2 x ? y ? 5 ? 0, x ? 2 y ? 5 ? 0 题型 4:与圆有关的最值问题 1.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为_____
2 2

解: 过原心作直线 l : x ? y ? 4 ? 0 的垂线, 则 AD 长即为所求; ∵ C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 的圆心为 C ? 2,2? ,
2 2

半 径 为

2



C

到 直 线

l: ? x ? y? 4

的 0 距 离 为

d?

1? ? 1 2

4 ?2 2



AD ? CD ? AB ? 2 2 ? 2 ? 2

故 C 上各点到 l 的距离的最小值为 2
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高频考点(2014 年 3 月 23 日)
2

圆的方程
2

第5讲 )

2.平移直线 x ? y ? 1 ? 0 使其与圆 ?x ? 2? ? ? y ?1? ? 1 相切,则平移的最短距离为( A A. 2-1 解 B.2- 2 C. 2

D. 2-1 与 2+1 |2-1+1| 如图,圆心(2,1)到直线 l0:x-y+1=0 的距离 d= = 2,圆的半径为 1,故直线 l0 与 l1 的距 2

离为 2-1,∴平移的最短距离为 2-1,故选 A. 3.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 解: ∵圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 18 的圆心为 (2, 2) , 半径 r ? 3 2 , ∴圆心到直线的距离 d ?

10 2

?5 2 ?r,

∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 (d ? r ) ? (d ? r ) ? 2r ? 6 2 4. 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上与直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 的距离最近的点的坐标_____(8/5,6/5) 题型 5:与圆有关的综合问题 1.已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P 、 Q 两点, O 为原点,且 OP ? OQ ,求实 数 m 的值. 法一:设点 P 、 Q 的坐标为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) .一方面,由 OP ? OQ ,得

kOP ? kOQ ? ?1 ,即

y1 y2 ? ? ?1 ,也即: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2



另 一 方 面 , ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 是 方 程 组 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0
2 2 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0

的 实 数 解 , 即 x1 、 x2 是 方 程

5x 2 ? 10x ? 4m ? 27 ? 0



4m ? 27 . ③又 P 、 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上, 5 m ? 12 1 1 1 ∴ y1 y2 ? (3 ? x1 ) ? (3 ? x2 ) ? [9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ] .将③代入,得 y1 y 2 ? . 5 2 2 4 将③、④代入①,解得 m ? 3 ,代入方程②,检验 ? ? 0 成立,∴ m ? 3 .
的两个根.∴ x1 ? x2 ? ?2 , x1 x2 ? 解法二:由直线方程可得 3 ? x ? 2 y ,代入圆的方程 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 ,有
2 2



1 m x 2 ? y 2 ? ( x ? 2 y )( x ? 6 y ) ? ( x ? 2 y ) 2 ? 0 , 3 9
整理,得 (12 ? m) x ? 4(m ? 3) xy ? (4m ? 27) y ? 0 .
2 2

由于 x ? 0 ,故可得

y y (4m ? 27 )( ) 2 ? 4(m ? 3) ? 12 ? m ? 0 . x x
∴ kOP , kOQ 是上述方程两根.故 kOP ? kOQ ? ?1 .得

12 ? m ? ?1 ,解得 m ? 3 . 4m ? 27 经检验可知 m ? 3 为所求.
2. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上.
2

-3-

高频考点(2014 年 3 月 23 日) (I)求圆 C 的方程;

圆的方程

第5讲

(II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值. (Ⅰ)曲线 y ? x 2 ? 6x ? 1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为( 3 ? 2 2,0), (3 ? 2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32 ? (t ? 1) 2 ? (2 2 ) 2 ? t 2 , 解得 t=1.
2 2 则圆 C 的半径为 3 ? (t ? 1) ? 3.

所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),其坐标满足方程组:

? ? x ? y ? a ? 0, ? 2 2 ? ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9.
消去 y,得到方程

2x 2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0.
由已知可得,判别式 ? ? 56 ? 16a ? 4a ? 0.
2

因此, x1, 2 ?

(8 ? 2a) ? 56 ? 16a ? 4a 2 4
a 2 0 ? 2a ? 1 2

, 从而

x1 ? x2 ? 4 ? a, x1 x2 ?



由于 OA⊥OB,可得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, 又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a, 所以

2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 0.
由①,②得 a ? ?1 ,满足 ? ? 0, 故 a ? ?1.



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