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高中数学(北师大版)选修2-2教案:第1章 归纳推理知识归纳及应用

归纳推理知识归纳及应用 1. 归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归 纳) .简而言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.例如由铜、铁、 铝、金、银等金属能导电归纳出“一切金属都能导电”,由直角三角形、等腰三角形、 等边三角形的内角和是 1800,归纳出“所有三角形的内角和都是 1800”等等,这些 都是归纳推理.在统计学中,我们总是从所研究的全体对象中抽取一部分进行观 测或试验以取得信息,从而对整体作出推断,这也是归纳. 应用归纳推理可以发现 新的事实,获得新的结论. 说明:归纳推理的思维过程大致如下: 实验、观察 ?概括、推广 ?猜测一般性结论。 2.归纳推理的一般模式: S1 具有 P, S2 具有 P, …… , Sn 具有 P( S1 , S2 ,…, Sn 是 A 类事物的对象) 所以,A 类事物具有 P。 3.归纳推理的特点: (1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一 般现象,该结论超越了前提所包容的范围. (2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明 和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具. (3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进 一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题. 4.归纳推理的一般步骤: 第一步:通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律) ; 第二步:把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想) ; 第三步:对所得出的一般性命题进行检验。 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽 象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的。观察、实验,对有限的资料作 归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一。物理学 中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星 运动定律等,也都是在实验和观察的基础上,通过归纳发现的.在一般情况下, 如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠; 需要特别注意的是,由归纳推理所获得的结论仅仅是一种猜测,并不一定可靠, 其可靠性需要通过证明. 一、数列问题中的归纳推理 例1 已知 a n ? (1 ? )(1 ? )(1 ? . 1 4 1 9 1 1 ) ? (1 ? 2 )( n ? N * 且n ? 2) , 根据 a 2 , a3 , a 4 的值, 16 n 可推测出 a n ? 分析:求出 a 2 , a3 , a 4 的值,发现它们都是分数,可通过分析分子、分母的特点, 推测 a n . 1 1 ) ? (1 ? 2 )( n ? N * 且n ? 2) , 16 n 1 3 1 1 2 1 1 5 1 ∴ a2 ? 1 ? ? , a3 ? (1 ? )(1 ? ) ? , a 4 ? (1 ? ) (1 ? )(1 ? ) ? . 4 4 4 9 3 9 16 8 4 解:∵ a n ? (1 ? )(1 ? )(1 ? 1 4 1 9 根据分式特点把 a3 ? n ?1 2 4 化为 a3 ? ,可推测出 an ? (n ? N * 且n ? 2) . 2n 3 6 评注:对于分式型的数列归纳通项公式问题,归纳时可从两个角度出发:一 是分别看分子、分母的变化规律,一是看分子、分母的联系,有时还需对其中的 分式作适当变形.数列中的归纳推理最为常见, 一般有归纳数列的通项公式、 前n项 和(积)公式等. 二、函数问题中的归纳推理 例2 2 已知 f ( x) ? sin x ? cos x, f1 ( x) ? f ' ( x), f 2 ( x) ? f1' ( x), ?, f n?1 ( x) ? f n' ( x), n ? N * , 2 2 2 ? ? ? ? 则 f ( ) ? f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ? ? f 2008 ( ) ? . 分析:正余弦函数的导数比较特别,求导后会改变函数名称,而且就在正余弦函 数之间跳动取值,故我们猜想 f ( x) 和 f n' ( x) 呈周期性变化,可归纳前若干项,看是 否具有周期性,若有,问题就会迎刃而解. 解:依题意, f ( x) ? sin x ? cos x, f1 ( x) ? (sin x ? cos x) ' ? cos x ? sin x, f 2 ( x) ? (cos x ? sin x) ' ? ? sin x 由 ? cos x, f 3 ( x) ? (? sin x ? cos x) ' ? ? cos x ? sin x , f 4 ( x) ? (? cos x ? sin x) ' ? sin x ? cos x, ? , 此可归纳出,从 f ( x) ? sin x ? cos x 开始,函数 f ( x), f1 ( x), f 2 ( x), ?, f 2008 ( x) 每隔四个按 sin x ? cos x, cos x ? sin x,? sin x ? cos x,? cos x ? sin x 循环出现一次,且每一个循环体中 四个函数的和都等于 0,所以 f ( ) ? f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ? ? f 2008 ( ) ? 0 ? 0? ?? ? 0 ? f 2008 ( ) ? sin ? cos ? 1 . ? ? ? ?? ? 2 2 2 2 2 2 2 502 个 ? ? ? ? ? ? ? 评注:对于项数比较多的问题,我们首先考虑的就是周期性,因为只有周期性才 能较好地处理此类问题.而周期性的探求方法就是归纳法. 三、不等式问题中的归纳推理 例3 由 ? , 2 3 1 5 1 13 7 ? , ? ,可归纳出:若 a

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