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2013-2014学年高中数学人教B版必修5学案、章末检测:第一章解三角形(共4份) 人教课标版3(新教案)

第一章 解三角形章末整合
知识概览
对点讲练 知识点一 正、余弦定理解三角形的基本问题 例 在△中, ()已知=,=,=°,求、、; ()已知∶∶ =(+)∶(-)∶,求最大角.
回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角,应用正弦定理解三角形时,有时可能出 现一解、两解或无解情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况,作 出正确取舍.
变式训练()△中,=,=,∠=°,求△的面积; ()已知、、是△中∠、∠、∠的对边,是△的面积.若=,=,=,求的长度.
知识点二 正、余弦定理在三角形中的应用 例 在△中,、、分别是、、的对边长.已知=且-=-.

()求的大小;()求)的值.
回顾归纳()在三角形的三角变换中,正、余弦定理及勾股定理是解题的基础.如果题目 中同时出现角及边的关系,往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系.
()要注意利用△中++=π,以及由此推得的一些基本关系式:(+)=,(+)=-,(+) =-,=等,进行三角变换的运算.
变式训练在△中,、、分别为角、、的对边,- 2A=. ()求角的度数; ()若=,+=,求、的值.
知识点三 正、余弦定理在实际问题中的应用 例 3 、、是一条直路上的三点,==1km,从这三点分别遥望一座电视发射塔,见塔 在东北方向,见塔在正东方向,见塔在南偏东°方向.求塔到直路的距离.
回顾归纳()解斜三角形应用题的程序是:①准确地理解题意;②正确地作出图形(或准确 地理解图形);③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中,利用正弦定理和余弦定理有 顺序地解这些三角形;④根据实际意义和精确度的要求给出答案.
()利用解斜三角形解决有关测量的问题时,其关键在于透彻理解题目中的有关测量术 语.
变式训练

如图所示,当甲船位于处时获悉,在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险等待营救, 甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西°,相距海里处的乙船,设乙船按方位 角为 θ 的方向沿直线前往处救援,求 θ 的值.
.正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系,因此,可解决两类问题: ()已知两角和其中任一边,求其他两边和一角,此时有一组解. ()已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他解,其解不确定. .余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系,是勾股定理的推广,它能解 决以下两个问题: ()已知三边,求其他三角,其解是唯一的. ()已知两边及它们的夹角,求第三边及其他两角,此时也只有一解. .正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角形与几何产生了联系, 为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础,也是判断三角形形状、 证明三角形中有关等式的重要依据.
课时作业
一、选择题 .在△中,=°,=,=,则等于( ) .°或°.° .°.以上答案都不对 .在△中,已知> ,则△是( ) .锐角三角形.直角三角形 .钝角三角形.等腰三角形 .在△中,角、、的对边分别为、、,若(+-) =,则角的值为( )
或或 .在△中,=°,=,面积为,那么的长度为( ) . .51.. .△中,下列结论: ①>+,则△为钝角三角形;②=++,则为°;③+>,则△为锐角三角形;④若∶∶ =∶∶,则∶∶=∶∶. 其中正确的个数为( ) . .2. . 二、填空题 .三角形两条边长分别为 3cm,5cm,其夹角的余弦是方程--=的根,则此三角形的面

积是. .在△中,=°,=,△=,则)=. .一艘船以 20km/h 的速度向正北航行,船在处看见灯塔在船的东北方向, 后船在处
看见灯塔在船的北偏东°的方向上,这时船与灯塔的距离等于. 三、解答题 .已知△的内角、、所对的边分别为、、,且=, =. ()若=,求的值; ()若△的面积△=,求,的值.
.在△中,已知=, =,上的中线=,求的值.
章末整合
对点讲练 例 解()由正弦定理及已知条件有)=°), 得=,∵>,∴>=°,∴=°或°. 当=°时,=°-°-°=°, =)=°°)=, 当=°时,=°-°-°=°, =)=°°)=. ()根据正弦定理可知∶∶=∶∶ =(+)∶(-)∶, ∴边最大,即角最大. 设=(+),=(-),=, 则== =-.∵∈(,π),∴=. 变式训练解()°)=),∴=,

∴=°或°, 当=°时,=°,∴=,此时,△=. 当=°时,=°, ∴△=×××°=. 综上,△的面积为或. ()∵==,∴=, 于是=°或=°. 当=°时,=+-=+-=, ∴=; 当=°时,=+-=++=, ∴=.∴的长度为或. 例 解()∵=且-=-, ∴-=-,∴+-=, ∴===,∴=°. ()方法一在△中,由正弦定理得: =),∵=,∴=. ∴=)=), ∴)==°=. 方法二在△中,由面积公式得: = ∵=,∴=, ∴)==°=. 变式训练解()∵+=°-, ∴=°-. 由-2A=, 得- 2A=, 即(+ )-(2A-)=. 整理得 2A- +=. ∴ =,又°<<°,∴=°. ()由=°,根据余弦定理得
=,即=. ∴+-=,∵=,∴+-=. 又+=,∴++=,∴=. 由(\\(+==)) ,解得(\\(==)) 或(\\(==)) . 例解

如图所示,过、、分别作⊥,⊥,⊥,垂足分别为、、. 设=,则=,=. ∵=, ∴==,=. 在△中,由余弦定理得 =+-··°, 即=+-·, 解得=,过作⊥,垂足为, 则线段的长为塔到直路的距离. 在△中,由于·=··°, 得== =··= (). 答塔到直路的距离为. 变式训练解在△中,=,=, ∠=°, 由余弦定理知:=+-··° =+-×××=.∴=. 由正弦定理得=, ∴∠=·∠=·°=.∴∠=. ∴θ=(∠+°) =∠·°+∠·° =×+×=. 课时作业 . [∵=·)=,且<,∴=°.] .[ > ?(+)>, ∴+<°,∴>°,为钝角.] .[∵(+-) =, ∴·=,即 ·= =. ∵<<π,∴角的值为或.] . [△=××°=×××=,∴=.∴=+-×°=+-×××=∴=.] . [①由>+知为钝角,①正确;②由=++知=°,②错;③由+>,仅能判断为锐角,、 未知,③错;④由∶∶=∶∶,知=,=,=,∴∶∶=∶∶=∶∶,④错.所以仅①正确.] .6cm 解析由--=,解得=-,=.

∵=>,不合题意.∴设夹角为 θ,则 θ=- 得 θ=,∴=×××= ().
解析由==×××=, ∴=. ∴=)==. ∴)=°)=. .20()
解析如图所示, °)=°) ∴=°)×° =×= (). .解 ()∵=>,且<<π, ∴==. 由正弦定理得)=),=)==. ()∵△==,∴×××=,∴=. 由余弦定理得=+-=+-×××=,∴=. .解设为的中点.连接,则∥,且==,设=. 在△中利用余弦定理可得: =+-·∠, =++××, 解得=,=-(舍去).故=, 从而=+-··=,即=.又=,故)=,=.
虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事,但古人说得好——吃一堑,长一智。多了一次失败,就多了一次教训;多了一次挫折,就多了一次经验。没有失败和挫折的人,是永远不会成功 的。 快乐学习并不是说一味的笑,而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的,人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和 坚持会撑起你的整个世界,愿你做自己生命中的船长,在属于你的海洋中一帆风顺,珍惜生命并感受生活的真谛! 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的,对吗,智者千虑,必有一失;愚者 千虑,必有一得,学习必须与实干相结合,学习,就要有灵魂,有精神和有热情,它们支持着你的全部!灵魂,认识到自我存在,认识到你该做的是什么;精神,让你不倒下,让你坚强,让你不 畏困难强敌;热情,就是时刻提醒你,终点就在不远方,只要努力便会成功的声音,他是灵魂与精神的养料,它是力量的源泉。


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