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临猗县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

临猗县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 高三(1)班从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加学校组织社会公益活动,若选出的 4 人中既有男生又 有女生,则不同的选法共有( A.34 种 B.35 种 ) ) C.120 种 D.140 种

姓名__________

分数__________

2. 抛物线 x=﹣4y2 的准线方程为( A.y=1 B.y= C.x=1 D.x=

3. 已知 =(2,﹣3,1), =(4,2,x),且 ⊥ ,则实数 x 的值是( A.﹣2 B.2 C.﹣ D.



4. 若函数 f +∞) =0, f (x) 是奇函数, 且在 (0, 上是增函数, 又f (﹣3) 则 (x﹣2) (x) <0 的解集是 ( (2,+∞)



A.(﹣3,0)∪(2,3) B.(﹣∞,﹣3)∪(0,3) C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D.(﹣3,0)∪

5. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 则方程 g(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣3,7]上的所有零点之和为( A.12 B.11 C.10 D.9

,且 f(x)=f(x+2),g(x)= )



6. 已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为

1 时,则输入的值为( 2



A. 2

B. ? 1

C. ? 1 或 2

D. ? 1 或 10 <x,则下列说法正确的是( )

7. 若命题 p:?x∈R,x﹣2>0,命题 q:?x∈R, A.命题 p∨q 是假命题 C.命题 p∧q 是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题

B.命题 p∧(¬q)是真命题

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8. 设集合 A={ x|﹣3≤2x﹣1≤3},集合 B 为函数 y=lg( x﹣1)的定义域,则 A∩B=( A.(1,2) B.[1,2] A.“p∨q”为假 B.p 假 C.[1,2) D.(1,2] ) 9. 若命题“p∧q”为假,且“?q”为假,则( C.p 真 D.不能判断 q 的真假 10.已知直线 l 的参数方程为 ?



? ? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数, ? 为直线 l 的倾斜角),以原点 O 为极点, x 轴 ? ? y ? 3 ? t sin ?

正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin(? ?

?

3

) ,直线 l 与圆 C 的两个交点为 A, B ,当
2? 3


| AB | 最小时, ? 的值为(
A. ? ?



?
4

B. ? ?

?
3

C. ? ?

3? 4

D. ? ?

11.设变量 x,y 满足约束条件 A.12 B.10 C.8 D.2

,则目标函数 z=4x+2y 的最大值为(

12.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( A. 144? ,144? B. 144? ,36?

) C. 36? ,144? D. 36? ,36?

二、填空题
13.若函数 f(x)=logax(其中 a 为常数,且 a>0,a≠1)满足 f(2)>f(3),则 f(2x﹣1)<f(2﹣x)的 解集是 . .
2 2 14. 0) 3) 已知点 A (2, , 点B (0, , 点 C 在圆 x +y =1 上, 当△ ABC 的面积最小时, 点 C 的坐标为

15.已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+

)= ,则 tan(θ﹣

)= .



16.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

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17.△ABC 中,

,BC=3,

,则∠C=



18.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件, 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁 费用为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件, B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元.

三、解答题
19.已知函数 f(x)=2|x﹣2|+ax(x∈R). (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)当 f(x)有最小值时,求 a 的取值范围; (3)若函数 h(x)=f(sinx)﹣2 存在零点,求 a 的取值范围.

20.已知数列{an}满足 a1= ,an+1=an+ (Ⅰ)证明:bn∈(0,1) (Ⅱ)证明:

,数列{bn}满足 bn=

=

(Ⅲ)证明:对任意正整数 n 有 an



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21.若函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值.

22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成,两相接点 M,N 均在直线 x=5 上,圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O,半径为 13;圆弧 C2 过点 A(29,0). (1)求圆弧 C2 的方程; (2)曲线 C 上是否存在点 P,满足 ?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.

23.已知函数 f(x)=

(a>0)的导函数 y=f′(x)的两个零点为 0 和 3.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)的极大值为 ,求函数 f(x)在区间[0,5]上的最小值.

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24.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, E , F , G, H 分别是 AB, AC, PC, BC 的中点,且

PA ? PB, AC ? BC .

(1)证明: AB ? PC ; (2)证明:平面 PAB 平面 FGH .

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临猗县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:从 7 个人中选 4 人共 =34 种. 故选:A. 【点评】本题考查了排列组合题,间接法是常用的一种方法,属于基础题 2. 【答案】D 【解析】解:抛物线 x=﹣4y 即为 y2=﹣ x, 可得准线方程为 x= 故选:D. 3. 【答案】A 【解析】解:∵ ∴ =0, ∴8﹣6+x=0; ∴x=﹣2; 故选 A. 【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直,解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为 0, 建立关于 x 的方程求出 x 的值. 4. 【答案】A 【解析】解:∵f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数, ∴在(﹣∞,0)内 f(x)也是增函数, 又∵f(﹣3)=0, ∴f(3)=0 ∴当 x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3)时,f(x)<0;当 x∈(﹣3,0)∪(3,+∞)时,f(x)>0; ∴(x﹣2)?f(x)<0 的解集是(﹣3,0)∪(2,3) 故选:A. 5. 【答案】B =(2,﹣3,1), =(4,2,x),且 ⊥ , .
2

种选法,只有男生的选法有

种,所以既有男生又有女生的选法有



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【解析】解:∵f(x)=f(x+2),∴函数 f(x)为周期为 2 的周期函数, 函数 g(x)= 对称, 函数 f(x)与 g(x)在[﹣3,7]上的交点也关于(2,3)对称, 设 A,B,C,D 的横坐标分别为 a,b,c,d, 则 a+d=4,b+c=4,由图象知另一交点横坐标为 3, 故两图象在[﹣3,7]上的交点的横坐标之和为 4+4+3=11, 即函数 y=f(x)﹣g(x)在[﹣3,7]上的所有零点之和为 11. ,其图象关于点(2,3)对称,如图,函数 f(x)的图象也关于点(2,3)

故选:B.

【点评】本题考查函数的周期性,函数的零点的概念,以及数形结合的思想方法.属于中档题. 6. 【答案】 D 【解析】

?2 x x ? 0 1 1 x 试题分析:程序是分段函数 y ? ? ,当 x ? 0 时, 2 ? ,解得 x ? ?1 ,当 x ? 0 时, lg x ? , 2 2 ?lg x x ? 0 解得 x ? 10 ,所以输入的是 ? 1 或 10 ,故选 D.
考点:1.分段函数;2.程序框图.11111] 7. 【答案】 B 【解析】解:?x∈R,x﹣2>0,即不等式 x﹣2>0 有解,∴命题 p 是真命题; x<0 时, <x 无解,∴命题 q 是假命题; ∴p∨q 为真命题,p∧q 是假命题,¬q 是真命题,p∨(¬q)是真命题,p∧(¬q)是真命题;
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故选:B. 【点评】考查真命题,假命题的概念,以及 p∨q,p∧q,¬q 的真假和 p,q 真假的关系. 8. 【答案】D 【解析】解:由 A 中不等式变形得:﹣2≤2x≤4,即﹣1≤x≤2, ∴A=[﹣1,2], 由 B 中 y=lg(x﹣1),得到 x﹣1>0,即 x>1, ∴B=(1,+∞), 则 A∩B=(1,2], 故选:D. 9. 【答案】B 【解析】解:∵命题“p∧q”为假,且“?q”为假, ∴q 为真,p 为假; 则 p∨q 为真, 故选 B. 【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断,属于基础题. 10.【答案】A 【解析】解析:本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系.在直角坐标系中,圆 C 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ,直线 l 的普通方程为 y ? 3 ? tan? (x ? 1),直线 l 过定点 M (1, 3) ,∵

| MC |? 2 ,∴点 M 在圆 C 的内部.当 | AB | 最小时,直线 l ? 直线 MC , kMC ? ?1 ,∴直线 l 的斜率为1 ,∴ ? ? ? ,选 A. 4
11.【答案】B 【解析】解:本题主要考查目标函数最值的求法,属于容易题,做出可行域,由图可知,当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点(2,1)时,z 取得最大值 10.

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12.【答案】D 【解析】

考点:球的表面积和体积.

二、填空题
13.【答案】 (1,2) . 【解析】解:∵f(x)=logax(其中 a 为常数且 a>0,a≠1)满足 f(2)>f(3), ∴0<a<1,x>0, 若 f(2x﹣1)<f(2﹣x), 则 解得:1<x<2, 故答案为:(1,2). 【点评】本题考查了对数函数的性质,考查函数的单调性问题,是一道基础题. 14.【答案】 ( , ) . ,

2 2 【解析】解:设 C(a,b).则 a +b =1,①

∵点 A(2,0),点 B(0,3), ∴直线 AB 的解析式为:3x+2y﹣6=0. 如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,欲使△ABC 的面积最小,只需线段 CF 最短.

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则 CF= ∴a= ,②



,当且仅当 2a=3b 时,取“=”,

联立①②求得:a= 故点 C 的坐标为( 故答案是:( ,

,b= , ).

, ).

【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 15.【答案】 .

【解析】解:∵θ 是第四象限角, ∴ 又 sin(θ+ ∴cos(θ+ ∴cos( )= , )= )=sin(θ+ )= ,sin( . )=cos(θ+ )= . ,则 ,

则 tan(θ﹣

)=﹣tan(

)=﹣

=



故答案为:﹣ .

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16.【答案】



【解析】解:由三视图可知几何体为四棱锥,其中底面是边长为 1 的正方形,有一侧棱垂直与底面,高为 2. ∴棱锥的体积 V= 故答案为 . 17.【答案】 【解析】解:由 根据正弦定理 = ,a=BC=3,c= 得: , = .

sinC=

=



又 C 为三角形的内角,且 c<a, ∴0<∠C< 则∠C= . ,

故答案为: 【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,正弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌 握正弦定理是解本题的关键,同时注意判断 C 的范围. 18.【答案】 2300 【解析】111]

?x ? 0 ?y ? 0 ? 试题分析:根据题意设租赁甲设备,乙设备,则 ? ,求目标函数 Z ? 200x? 300y的 ?5x ? 6y ? 50 ? ?10x ? 20y ? 140
最小值.作出可行域如图所示, 从图中可以看出, 直线在可行域上移动时, 当直线的截距最小时, 取最小值 2300 .

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1111] 考点:简单线性规划. 【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目,可以采用线性规划的知识进行求解;细查题意,设 甲种设备需要生产天,乙种设备需要生产 y 天,该公司所需租赁费为 Z 元,则 Z ? 200x ? 300y ,接下来列 出满足条件的约束条件,结合目标函数,然后利用线性规划的应用,求出最优解,即可得出租赁费的最小值.

三、解答题
19.【答案】

【解析】解:(1)当 a=1 时,f(x)=2|x﹣2|+x= 所以,f(x)在(﹣∞,2)递减,在[2,+∞)递增, 故最小值为 f(2)=2; …(4 分) (2)f(x)= 要使函数 f(x)有最小值,需 ∴﹣2≤a≤2,…(8 分) 故 a 的取值范围为[﹣2,2]. …(9 分) (3)∵sinx∈[﹣1,1],∴f(sinx)=(a﹣2)sinx+4, ,…(6 分) ,

…(2 分)

“h(x)=f(sinx)﹣2=(a﹣2)sinx+2 存在零点”等价于“方程(a﹣2)sinx+2=0 有解”,

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亦即 ∴

有解, ,…(11 分)

解得 a≤0 或 a≥4,…(13 分) ∴a 的取值范围为(﹣∞,0]∪[4,+∞)…(14 分) 【点评】 本题主要考查分段函数的应用, 利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质, 是解决本题的关键.

20.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)由 bn= ∴ ,且 an+1=an+ ,得 ,

,下面用数学归纳法证明:0<bn<1.

①由 a1= ∈(0,1),知 0<b1<1, ②假设 0<bk<1,则 ∵0<bk<1,∴
*

, ,则 0<bk+1<1.

综上,当 n∈N 时,bn∈(0,1); (Ⅱ)由 ∴ ,可得, = , = .





(Ⅲ)由(Ⅱ)得: , 故 .

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知,当 n≥2 时,

=



【点评】本题考查了数列递推式,考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题,训练了放缩法证明数列不等 式,对递推式的循环运用是证明该题的关键,考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力,是压轴题. 21.【答案】 【解析】解:由题意可得: ∵当 a>1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增,
2 ∴f(2)﹣f(1)=a ﹣a= a,解得 a=0(舍去),或 a= .

∵当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减,
2 ∴f(1)﹣f(2)=a﹣a =

,解得 a=0(舍去),或 a= .

故 a 的值为 或 . 【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 22.【答案】
2 2 【解析】解:(1)圆弧 C1 所在圆的方程为 x +y =169,令 x=5,

解得 M(5,12),N(5,﹣12)…2 分 则直线 AM 的中垂线方程为 y﹣6=2(x﹣17), 令 y=0,得圆弧 C2 所在圆的圆心为 (14,0), 又圆弧 C2 所在圆的半径为 29﹣14=15,
2 2 所以圆弧 C2 的方程为(x﹣14) +y =225(5≤x≤29)…5 分

(2)假设存在这样的点 P(x,y),则由 PA= 由 由

PO,得 x2+y2+2x﹣29=0 …8 分

,解得 x=﹣70 (舍去) 9 分 ,解得 x=0(舍去),

综上知,这样的点 P 不存在…10 分 【点评】本题以圆为载体,考查圆的方程,考查曲线的交点,同时考查距离公式的运用,综合性强.

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23.【答案】 【解析】解:f′(x)=
2 令 g(x)=﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c 2 函数 y=f′(x)的零点即 g(x)=﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c 的零点 2 即:﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c=0 的两根为 0,3



解得:b=c=﹣a,

令 f′(x)>0 得 0<x<3 所以函数的 f(x)的单调递增区间为(0,3), (2)由(1)得: 函数在区间(0,3)单调递增,在(3,+∞)单调递减, ∴ ∴a=2, ∴ ; , ,

∴函数 f(x)在区间[0,4]上的最小值为﹣2. 24.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】

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考 点:平面与平面平行的判定;空间中直线与直线的位置关系.

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