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南充高中2011年面向省内外自主招生考试数学试题及答案1

南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷及答案 1

南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试
数 学 试 卷(顺庆校区)
考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)
一、选择题(每小题 5 分,共计 20 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号填入答题 卷的相应位置) 1、已知 sin ? ? cos ? ?

1 0 0 ,且 45 ? ? ? 90 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( 8



A.

3 2

B. ?

3 2

C.

3 4

D. ?
2

3 2

2、若 a, b, c 为正数,已知关于 x 的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个相等的实根,则方程

(a ? 1) x2 ? (b ? 2) x ? c ? 1 ? 0 的根的情况是(
A、没有实根 C、有两个不等的实根



B、有两个相等的实根 D、根的情况不确定 )

3、已知半径为 1 和 2 的两个圆外切于点 P,则点 P 到两圆外公切线的距离为( A.

3 4

B.

4 3

C.

3 2

D.3

4、下图的长方体是由 A,B,C,D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的,而且这四个几何体都 是由 4 个同样大小的小正方体组成的,那么长方体中,第四部分所对应的几何体应是( )

二、填空题(每小题 5 分,共计 60 分,请将答案填到答题卷的相应位置处) 5、某次数学测验共有 20 题,每题答对得 5 分,不答得 0 分,答错得 –2 分.若小丽这次测验得分是 质数,则小丽这次最多答对 题.

6、 已知⊙O 的直径 AB=20, 弦 CD 交 AB 于 G, AG>BG,CD=16,AE⊥CD 于 E, BF⊥CD 于 F, 则 AE-BF 为 7、如图,两个反比例函数 y= k1 k2 和 y= 在第一象限内的图象依次是 C1 和 C2,设 x x

点 P 在 C1 上, PC⊥x 轴于点 C, 交 C2 于点 A, PD⊥y 轴于点 D, 交 C2 于点 B, 则四边形 PAOB 的面积为 8、若二次方程组

x2 ? y 2 ? 1

有唯一解,则 k 的所有可能取值为

y ? k ( x ? 2) ? 1
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9、设正△ABC 的边长为 2,M 是 AB 中点,P 是 BC 边上任意一点,PA+PM 的最大值和最小值分别 s 为和 t,则 s ? t ?
2 2

10、在△ABC 中,AC=2011,BC=2010, AB ? 2010? 2011则 sin A ? cos C ? 11、已知 a, b, c 为实数且

ab 1 bc 1 ac 1 abc ? , ? , ? ,则 = a?b 3 b?c 4 a?c 5 ab ? bc ? ca

12、已知 Rt△ABC 的三个顶点 A、B、C 均在抛物线 y ? x 2 上,且斜边 AB 平行于 x 轴,设斜边上的 高为 h,则 h 的取值为 13、方程 2 x ? x ?
2

2 的正根个数为 x

2 2 14、已知, a ? b ? 4n ? 2 , ab ? 1 ,若 19a ? 149ab ? 19b 的值为 2011,则 n ?

15、任意选择一个三位正整数,其中恰好为 2 的幂的概率为 16、勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴 趣.l955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓 勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成, 它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中,已知 ∠ACB=90° , ∠BAC=30° , AB= 4. 作△PQR 使得∠R=90° , 点 H 在边 QR 上,点 D,E 在边 PR 上,点 G,F 在边 PQ 上,那么△PQR 的周长等于 第Ⅱ卷(答题卷) 一、选择题:(每小题 5 分,共计 20 分) 题号 答案 二、填空题:(每小题 5 分,共计 60 分) 5.____________ 9.____________ 13.____________ 6.____________ 10.____________ 14.____________ 7.____________ 11.____________ 15.____________ 8.____________ 12.____________ 16.____________ 1 2 3 4

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.(本小题 10 分) 能否在图中的四个圆圈内填入 4 个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填的数的 平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和?如果能填,请填出一个例;如果不能填,请说明理由。

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18. (本小题 12 分) 如图是一个长为 400 米的环形跑道,其中A,B为跑道对称轴上的两点,且A,B 之间有一条 50 米的直线通道.甲乙两人同时从A点出发,甲按逆时针方向以速度 v1 沿跑道跑步,当跑到 B时继续沿跑道前进,乙按顺时针方向以速度 v 2 沿跑道跑步,当跑到B时沿直线通道跑回A点处,假设两 人跑步的时间足够长.求: (1)如果 v1 : v2 ? 3: 2 ,那么甲跑了多少路程后,两人首次在A点处相遇; (2)如果 v1 : v2 ? 5: 6 ,那么乙跑了多少路程后,两人首次在B点处相遇. B 乙 甲 A 乙



19. (本小题 12 分) 已知:如图,BD 为⊙O 的直径,点 A 是劣弧 BC 的中点, AD 交 BC 于点 E,连结 AB. (1)求证: AB 2 ? AE ? AD ; (2)过点 D 作⊙O 的切线,与 BC 的延长线交于点 F,若 AE=2,ED=4,求 EF 的长.

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20. (本小题 12 分) 2011 年 3 月 11 日 13 时 46 分日本发生了 9.0 级大地震, 伴随着就是海啸。 山坡上有 一棵与水平面垂直的大树,海啸过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图 所示) 。已知山坡的坡角∠AEF=23° ,量得树干的倾斜角为∠BAC=38° ,大树被折断部分和坡面所成的角 ∠ADC=60° ,AD=4m。 (1)求∠DAC 的度数; (2)求这棵大树折点 C 到坡面 AE 的距离? (结果精确到个位,参考数据: 2 ? 1.4 , 3 ? 1.7 , 6 ? 2.4 ) . B

C
38°

A F

60°

23°

D

E

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21. (本小题 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,顶点为( 4 , ?1)的抛物线交 y 轴于 A 点,交 x 轴 于 B , C 两点(点 B 在点 C 的左侧) , 已知 A 点坐标为( 0 , 3 ) 。 (1)求此抛物线的解析式; (2)过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D , 如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切,请判断抛 物线的对称轴 l 与⊙ C 有怎样的位置关系,并给出证明;

?PAC (3) 已知点 P 是抛物线上的一个动点, 且位于 A , 问: 当点 P 运动到什么位置时, C 两点之间,
的面积最大?并求出此时 P 点的坐标和 ?PAC 的最大面积.

y

D A

O

B

C

x

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22. (本小题 12 分) 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,以 y 轴正半轴上一点 A(0, m) (m 为非零常数) 为端点,作与 y 轴正方向夹角为 60°的射线 l,在 l 上取点 B,使 AB=4k (k 为正整数),并在 l 下方作∠ABC =120°,BC=2OA ,线段 AB,OC 的中点分别为 D,E. (1)当 m=4,k=1 时,直接写出 B,C 两点的坐标; (2)若抛物线 y ? ?

1 2 2 3(2k ? 1) x ? x ? m 的顶点恰好为 D 点,且 DE= 2 7 ,求抛物线的解析 k ?2 3(k ? 2)

式及此时 cos∠ODE 的值; (3)当 k=1 时,记线段 AB,OC 的中点分别为 D1,E1;当 k=3 时,记线段 AB,OC 的中点分别为 D3,E3,求直线 E1 E3 的解析式及四边形 D1 D3 E3 E1 的面积(用含 m 的代数式表示) .

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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷参考答案
一、选择题:(每小题 5 分,共计 20 分) 题号 答案 5._______17_____ 8._____±1_______ 11.______ 1 B 2 D 6.______12______ 9.______ 4 3 ______ 12._____1_______ 3 B 7.____ k1-k2 ________ 10.______ ( 4 A

二、填空题:(每小题 5 分,共计 60 分)

2010 2 ) _____ 2011

1 ______ 6

13.___0_________

14.______2 或-3____ 15.___

1 _______ 300

16.______ 27 ? 13 3 ____

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.(本小题 10 分) 能否在图中的四个圆圈内填入 4 个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填的数的 平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和?如果能填,请填出一个例;如果不能填,请说明理由。 解:不能填。……………………………………2 分 理由如下: 设所填的互不相同的 4 个数为 a, b, c, d;则有 ① ② ③
2 2 2 2 2 2 ①-②得 c ? d ? d ? c 即 c ? d

…………………6 分

因为: c≠ d,只能是 c = -d
2 2 同理可得 c ? b



因为 c ≠b ,只能 c = -b ⑤

比较④,⑤得 b=d ,与已知 b≠d 矛盾,所以题设要求的填数法不存在。…………10 分 18. (本小题 12 分) 如图是一个长为 400 米的环形跑道,其中A,B为跑 道对称轴上的两点,且A,B之间有一条 50 米的直线通道.甲乙两人同时从 A点出发,甲按逆时针方向以速度 v1 沿跑道跑步,当跑到B时继续沿跑道前 进,乙按顺时针方向以速度 v 2 沿跑道跑步,当跑到B时沿直线通道跑回A点 处,假设两人跑步的时间足够长.求: (1)如果 v1 : v2 ? 3: 2 ,那么甲跑了多少路程后,两人首次在A点处相 遇; (2)如果 v1 : v2 ? 5: 6 ,那么乙跑了多少路程后,两人首次在B点处相遇. 解: (1)设甲跑了 n 圈后,两人首次在 A 点处相遇,再设甲、乙两人的速度分别为 v1 ? 3m, v2 ? 2m B 甲 甲 乙

A



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由题意可得在 A 处相遇时,他们跑步的时间是 因乙跑回到 A 点处,所以

400n 800 ? 2m ? n 3m 3

800 n 应是 250 的整数倍,从而知 n 的最小值是 15,此时,甲跑过的路程 3

为 400×15=6000(米) 故甲跑了 6000 米后,两人首次在 A 点处相遇……………………………….6 分 (2)设乙跑了 250p+200 米,甲跑了 400q+200 米时,两人首次在 B 处相遇,设甲、乙两人的速度 分别为 v1 ? 5m, v2 ? 6m ,由题意可得

400q ? 200 250 p ? 200 8q ? 4 5 p ? 4 ? ? ,即 5m 6m 5 6

所以 48q ? 24 ? 25 p ? 20 ,即 48q ? 4 ? 25 p( p, q均为正整数) ,? p, q 的最小值为 2 与 4 此时,乙跑过的路程为 250×4+200=1200 米 故乙跑了 1200 米后,两人首次在 B 点处相遇………………………………………..12 分 19. (本小题 12 分) 已知:如图,BD 为⊙O 的直径,点 A 是劣弧 BC 的中点, AD 交 BC 于点 E,连结 AB. (1)求证: AB 2 ? AE ? AD ; (2)过点 D 作⊙O 的切线,与 BC 的延长线交于点 F, 若 AE=2,ED=4,求 EF 的长. (1)证明:如图 4. ∵ 点 A 是劣弧 BC 的中点, ∴ ∠ABC=∠ADB.………………………2 分 又∵ ∠BAD=∠EAB, ∴ △ABE∽△ADB.………………………4 分

AB AD . ? AE AB ∴ AB 2 ? AE ? AD .………………………………………………………6 分
∴ (2)解:∵ AE=2,ED=4, ∴ AB2 ? AE ? AD ? AE ? AE ? ED ? ? 2 ? 6 ? 12 . ∴ AB ? 2 3 (舍负) .………………………………………………………8 分 ∵ BD 为⊙O 的直径, ∴ ∠A= 90 ? . 又∵ DF 是⊙O 的切线, ∴ DF⊥BD. ∴ ∠BDF= 90 ? . 在 Rt△ABD 中, tan ?ADB ?

AB 2 3 3 ? ? , AD 6 3

∴ ∠ADB= 30 ? . ∴ ∠ABC=∠ADB= 30 ? . ∴∠DEF=∠AEB= 60 ? , ?EDF ? ?BDF ? ?ADB ? 90? ? 30? ? 60? . ∴ ∠F = 180? ? ?DEF ? ?EDF ? 60? . ∴ △DEF 是等边三角形. ∴ EF=DE=4.………………………………………………………………12 分 20. (本小题 12 分) 2011 年 3 月 11 日 13 时 46 分日本发生了 9.0 级大地震, 伴随着就是海啸。 山坡上有
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一棵与水平面垂直的大树,海啸过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图 所示) 。已知山坡的坡角∠AEF=23° ,量得树干的倾斜角为∠BAC=38° ,大树被折断部分和坡面所成的角∠ ADC=60° ,AD=4m。 (1)求∠DAC 的度数; (2)求这棵大树折点 C 到坡面 AE 的距离? B (结果精确到个位,参考数据: 2 ? 1.4 , 3 ? 1.7 , 6 ? 2.4 ) . 解: (1)延长 BA 交 EF 于点 G . 在 Rt△ AGE 中, ?E ? 23° , ∴ ?GAE ? 67° . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 又∵ ?BAC ? 38° , ∴ ?CAE ? 180° ? 67° ? 38° ? 75° . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (2)过点 A 作 AH ⊥ CD ,垂足为 H . · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ,AD ? 4 , 在 △ ADH 中, ?ADC ? 60° C
38°

H
60° 23°

A F G

D

E

DH ,∴ DH ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 AD AH sin ?ADC ? ,∴ AH ? 2 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 AD 在 Rt△ ACH 中, ?C ? 180° ? 75° ? 60° ? 45°,· 9分 cos ?ADC ?
∴ AC ? 2 6 , CH ? AH ? 2 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ∴ AB ? AC ? CD ? 2 6 ? 2 3 ? 2 ≈10 (米) 即这棵大树折断前高约 10 米. —————————————12 分 21. (本小题 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,顶点为( 4 , ?1)的抛物线交 y 轴于 A 点,交 x 轴 于 B , C 两点(点 B 在点 C 的左侧) , 已知 A 点坐标为( 0 , 3 ) 。 (1)求此抛物线的解析式; (2)过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D , 如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切,请判断抛 物线的对称轴 l 与⊙ C 有怎样的位置关系,并给出证明; ?PAC (3) 已知点 P 是抛物线上的一个动点, 且位于 A , 问: 当点 P 运动到什么位置时, C 两点之间, ? PAC 的面积最大?并求出此时 P 点的坐标和 的最大面积. y 解: (1)设抛物线为 y ? a( x ? 4) ? 1 .
2

∵抛物线经过点 A (0,3) , ∴ 3 ? a(0 ? 4) ?1 .∴ a ?
2

D A
O
Q

1 . 4

E
C

1 1 2 2 ∴抛物线为 y ? ( x ? 4) ? 1 ? x ? 2 x ? 3 . ………3 分 4 4
1 2 证明:当 ( x ? 4) ? 1 ? 0 时, x1 ? 2 , x2 ? 6 . 4
2 2

B

P

x

(2) 答: l 与⊙ C 相交 …………………………………………………4 分

(第 21 题)

∴ B 为(2,0) , C 为(6,0).∴ AB ? 3 ? 2 ? 13 .…………………5 分 设⊙ C 与 BD 相切于点 E ,连接 CE ,则 ?BEC ? 90? ? ?AOB . ∵ ?ABD ? 90? ,∴ ?CBE ? 90? ? ?ABO .
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又∵ ?BAO ? 90? ? ?ABO ,∴ ?BAO ? ?CBE .∴ ?AOB ∽ ?BEC .……6 分 ∴

CE 6 ? 2 8 CE BC ? ? ? 2 .…………………………7 分 .∴ .∴ CE ? OB AB 2 13 13

∵抛物线的对称轴 l 为 x ? 4 ,∴ C 点到 l 的距离为 2. ∴抛物线的对称轴 l 与⊙ C 相交. …………………………………………8 分 (3) 解:如图,过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q 。 可求出 AC 的解析式为 y ? ? 设 P 点的坐标为( m ,

1 x ? 3. 2

1 2 1 m ? 2m ? 3 ) ,则 Q 点的坐标为( m , ? m ? 3 ). 4 2 1 1 2 1 2 3 ∴ PQ ? ? m ? 3 ? ( m ? 2m ? 3) ? ? m ? m . 2 4 4 2 1 1 2 3 3 27 2 ∵ S?PAC ? S?PAQ ? S ?PCQ ? ? (? m ? m) ? 6 ? ? (m ? 3) ? , 2 4 2 4 4 27 ∴当 m ? 3 时, ?PAC 的面积最大为 . 4 3 此时, P 点的坐标为(3, ? ). ………………………………………12 分 4

22. (本小题 12 分) 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,以 y 轴正半轴上一点 A(0, m) (m 为非零常数) 为端点,作与 y 轴正方向夹角为 60°的射线 l,在 l 上取点 B,使 AB=4k (k 为正整数),并在 l 下方作∠ABC =120°,BC=2OA ,线段 AB,OC 的中点分别为 D,E. (1)当 m=4,k=1 时,直接写出 B,C 两点的坐标; (2)若抛物线 y ? ?

1 2 2 3(2k ? 1) x ? x ? m 的顶点恰好为 D 点,且 DE= 2 7 ,求抛物线的解析 k ?2 3(k ? 2)

式及此时 cos∠ODE 的值; (3)当 k=1 时,记线段 AB,OC 的中点分别为 D1,E1;当 k=3 时,记线段 AB,OC 的中点分别为 D3,E3,求直线 E1 E3 的解析式及四边形 D1 D3 E3 E1 的面积(用含 m 的代数式表示) .

解: (1)B 点的坐标为 (2 3,6) ,………………………………………………………1 分 C 点的坐标为 (6 3,2) .………………………………………………………3 分 (2)当 AB=4k, A(0, m) 时,OA=m,与(1)同理可得 B 点的坐标为 B(2 3k ,2k ? m) ,

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C 点的坐标为 C(2 3k ? 3m,2k ) . 如图 8,过点 B 作 y 轴的垂线,垂足为 F,过点 C 作 x 轴的垂线,垂足为 G, 两条垂线的交点为 H,作 DM⊥FH 于点 M,EN⊥OG 于点 N. 由三角形中位线的性质可得点 D 的坐标为 D( 3k , k ? m) ,点 E 的坐标为 E ( 3k ?

3m ,k) . 2

由勾股定理得 DE ? ( ∵ DE= 2 7 ,

3m 2 7 ) ? m2 ? m. 2 2

∴ m=4. ……………………………5 分 ∵ D 恰为抛物线 y ? ?

1 2 2 3(2k ? 1) x ? x ? m 的顶点, k ?2 3(k ? 2)

它的顶点横坐标为

3(2k ? 1) , 3 3(2 k ? 1) ? 3k .解得 k=1. ∴ 3 1 2 3 x ? 4 . …………………………………7 分 此时抛物线的解析式 y ? ? x 2 ? 3 3

此时 D,E 两点的坐标分别为 D( 3,5) , E (3 3,1) . ∴ OD ? 2 7 , OE ? 2 7 . ∴ OD=OE=DE. ∴ 此时△ODE 为等边三角形,cos∠ODE= cos60°= (3)E1,E3 点的坐标分别为 E1 (

1 .……………………8 分 2

3m 3m ? 3,1) ,E3 ( ? 3 3,3) . 2 2

设直线 E1 E3 的解析式为 y ? ax ? b (a≠0) .

? ?( ? 则 ? ?( ? ?

3m ? 3) a ? b ? 1, 2 3m ? 3 3) a ? b ? 3. 2

? 3 a? , ? ? 3 解得 ? ?b ? ? m . ? 2 ?
∴ 直线 E1 E3 的解析式为 y ?

3 m x ? . ……………………………………9 分 3 2

可得直线 E1 E3 与 y 轴正方向的夹角为 60°.

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∵ 直线 D1 D3 , E1 E3 与 y 轴正方向的夹角都等于 60°, ∴ D1 D3 ∥ E1 E3 . ∵ D1,D3 两点的坐标分别为 D1 ( 3, m ? 1) , D3 (3 3, m ? 3) , 由勾股定理得 D1 D3 =4, E1 E3 =4. ∴ D1D3 ? E1E3 . ∴ 四边形 D1 D3 E3 E1 为平行四边形. 设直线 E1 E3 与 y 轴的交点为 P,作 AQ⊥ E1 E3 于 Q. (如图 9)
m? 3 ? 可得点 P 的坐标为 P? 0,? ?, AP ? m. 2? 2 ?

∴ AQ ? AP ? sin?OPQ ? AP ? sin60? ? ∴ S四边形D1D3 E3 E1

3 3 m. 4 3 3m ? D1 D3 ? AQ ? 4 ? ? 3 3m .…………………………12 分 4

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