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北京西城区学习探究诊断高中数学必修二模块自我检测题


测试十八
一、选择题

数学必修 2 模块自我检测题

1.下列条件中哪一个能够推出直线 a∥b( (A)a、b 都平行于同一个平面 (C)a、b 分别在两个平行平面内

) (B)a、b 都垂直于同一个平面 (D)a 平行于 b 所在的平面 )

2.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是( (A)4x+2y-5=0 (C)x+2y-5=0 (B)4x-2y-5=0 (D)x-2y-5=0 )

3.若正方体的一条对角线的长度为 2 ,则正方体的表面积为( (A)4 (B)2 2 (C)4 3

(D)12 )

4.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sinα+cosα=0,则 a,b 满足( (A)a+b=1 (B)a-b=1 (C)a+b=0

(D)a-b=0

5.若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 ( ) (B)若 α⊥β,l ? α,则 l⊥β (D)若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β

(A)若 α∥β,l ? α,n ? β,则 l∥n (C)若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m

6.若过点(3,1)总可作两条直线和圆(x-2k)2+(y-k)2=k(k>0)相切,则 k 的取值范围是 ( ) (B)(1,2) (D)(2,+∞) )

(A)(0,2) (C)(0,1)∪(2,+∞)

7. 过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0 相切, 若切点在第二象限, 则该直线的方程是( (A) y ? 3x (B) y ? ? 3x (C) y ?

3 x 3

(D) y ? ?

3 x 3

8.在斜三棱柱 A1B1C1-ABC 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影一 定在( ) (B)直线 BC 上 (D)△ABC 内部

(A)直线 AB 上 (C)直线 AC 上 二、填空题

9.直线 y=x+a 与连接两点 A(0,1),B(1,0)的线段相交,则 a 的取值范围是______.

1

10.过点(1,3)且与原点距离为 1 的直线方程为______. 11.一个正方体的顶点都在一个球的球面上,若这个球的体积为 积为______. 12. 已知直线 l1: x+2y+5=0 和直线 l2: x+ny+p=0, 且 l1,l2 关于 y 轴对称, 则 n=______; p=______. 13.集合 A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中 r>0,若 A∩ B 中有且仅有一个元素,则 r 的值是______. 14*.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形, 且底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为 h1,h2,h,则 h1∶h2∶h=______. 三、解答题 15.已知圆 x2+y2-8x-2y+12=0,求过圆内一点 P(3,0)的最长弦和最短弦所在的直线 方程.

9 π ,则这个正方体的表面 2

16.如图,直棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=4,∠BAC=90°,E 为 BC 的中点. (1)求证:平面 AB1E⊥平面 BCC1B1; (2)若侧面 ABB1A1 为正方形,求证:BC1⊥平面 AB1E.

2

17.如图,已知三个平面两两垂直,求证:它们的三条交线也两两垂直.

18.如图,A,B,C,D 为空间四点.在△ABC 中,AB=2, AC ? BC ? 形 ADB 以 AB 为轴转动. (1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求 CD; (2)当△ADB 转动时,是否总有 AB⊥CD?证明你的结论.

2 .等边三角

19.设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,且圆截直线 x-y+1 =0 所得的弦长为 2 2 ,求圆的方程.

20.关于 x,y 的方程为 x2+y2-2x-4y+m=0. (1)若上述关于 x,y 的方程表示圆 C,求 m 的取值范围; (2)*若圆 C 与直线 x+2y-4=0 的两个交点为 M、N,且满足 OM ? ON =0(其中 O 为 坐标原点),求此时 m 的值.

3

测试十八
一、选择题 1.B 提示: 2.B 3.A

数学必修 2 模块自我检测题参考答案

4.D

5.D

6.C

7.D

8.A

6.圆心到点(3,1)的距离大于半径时,可做两条切线. 圆心(2k,k),(2k-3)2+(k-1)2>k. 4k2-12k+9+k2-2k+1>k. 5k2-15k+10>0,k2-3k+2>0. ∴k<1 或 k>2.又 k>0,得 C. 8.由已知,AC⊥BC1,AC⊥AB,所以 AC⊥平面 ABC1,所以平面 ABC⊥平面 ABC1,所以, C1 在底面 ABC 上的射影一定在直线 AB 上. 二、填空题 9.-1≤a≤1; 10.4x-3y+5=0,x=1; 13.3 或 7; 11.18;

12.n=-2 或 p=-5; 提示:

14. 3 : 2 : 2.

14.易知,棱柱与三棱锥是等高的,即 h2=h, 设所有棱长均为 1,可求得三棱锥的高 h ?

6 2 h ? 3 ,四棱锥的高为 1 2 ,

所以, h1 : h ? 3 : 2 ,所以, h1 : h2 : h ? 3 : 2 : 2. 三、解答题 15.提示:最长弦为过圆心的弦,即直径.最短弦为过点 P 且与过点 P 的直径垂直的弦. 已知圆圆心为(4,1),所以,最长弦所在的直线方程为 x-y-3=0. 最短弦所在的直线方程为 x+y-3=0. 16.

4

证明:(1)直棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,所以,BB1⊥AE, 由已知,△ABC 是等腰直角三角形,又 E 为 BC 的中点, 所以,AE⊥BC,BB1∩BC=B, 所以,AE⊥平面 BCC1B1, 所以平面 AB1E⊥平面 BCC1B1. (2)设 B1E∩BC1=O, 因为△ABC 是等腰直角三角形,AB=AC=4,所以 BC ? 4 2 , 侧面 ABB1A1 为正方形,所以,四边形 BCC1B1 是边长为 4, 4 2 的矩形, 所以,

BB1 BC 4 4 2 BB B1C1 , ? ? 2, 1 1 ? ? 2 ,即 BE1 ? BB BE 2 2 BB1 4 1

所以 Rt△B1BE~Rt△C1B1B,所以∠B1EB=∠C1BB1, 所以∠BB1E+∠B1BC1=∠BB1E+∠B1EB=90°, 所以∠B1OB=90°,BC1⊥B1E,又由 AE⊥平面 BCC1B1, 可得 AE⊥BC1,AE∩B1E=E,所以 BC1⊥平面 AB1E. 17.

证明:如图,设 α∩β=α,β∩γ=b,γ∩α=c. 在平面 γ 内任取一点 O(O ? b,O ? c), 过点 O 作 OM⊥b,点 M 是垂足,ON⊥c,点 N 是垂足. ∵β⊥γ,β∩γ=b,γ⊥α,γ∩α=c, ∴OM⊥β,ON⊥α. ∵a ? α,a ? β,∴a⊥ON,a⊥OM. ∵OM∩ON=O,OM ? γ,ON ? γ,∴a⊥γ. ∵b ? γ,c ? γ,∴a⊥b,a⊥c. 同理可证 b⊥a,b⊥c.∴a,b,c 三条直线两两垂直 18.
5

解:(1)取 AB 的中点 E,连结 DE,CE,因为 ADB 是等边三角形,所以 DE⊥AB. 当平面 ADB⊥平面 ABC 时, 因为平面 ADB∩平面 ABC=AB, 所以 DE⊥平面 ABC, 可知 DE⊥CE 由已知可得 DE ? 3, EC ? 1 ,在 Rt△DEC 中, CD ? (2)证明: ①当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC=BC,AD=BD,所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB⊥CD. ②当 D 不在平面 ABC 内时,由(2)知 AB⊥DE.又因 AC=BC,所以 AB⊥CE. 又 DE,CE 为相交直线,所以 AB⊥平面 CDE,由 CD ? 平面 CDE,得 AB⊥ CD. 综上所述,总有 AB⊥CD. 19.解:设圆心为(a,b),半径为 r. 因为点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,所以圆心在直线 x+2y=0 上, 所以,a+2b=0,r2=(a-2)2+(b-3)2, 圆截直线 x-y+1=0 所得的弦长为 2 2 ,所以,

DE 2 ? EC2 ? 2.

| a ? b ?1| ? r2 ? 2 , 2

?| a ? b ? 1 | ? ? ? 2 ? ? 解? ? a ? 2b?0 ? 2 ? 2 ? r ? ( a ? 2) ? ? ?

r2 ? 2

消去 a 得 ?
? (b ? 3) 2

2 2 ? ?2r ? 9b ? 6b ? 5 , 2 2 ? r ? 5 b ? 2 b ? 13 ?

解得,b=-3 或 b=-7, 所以,a=6,b=-3,r2=52 或 a=14,b=-7,r2=244,
6

圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244. 20.解:(1)由 x2+y2-2x-4y+m=0 配方得(x-1)2+(y-2)2=5-m. 该方程表示圆 C,所以 m<5. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 OM =(x1,y1), ON =(x2,y2). 由 OM ? ON =0,得 x1x2+y1y2=0. 由?

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0
2 2

消 x,得(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0.

整理得 5y2-16y+8+m=0,① 根据韦达定理? y1 ? y 2 ?

16 8?m , y1 y 2 ? ? 5 5

由 x1=4-2y1,x2=4-2y2,

? x 1 x 2 ? 16 ? 8( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ? ?

48 5

?

4(8 ? m) 5

?

由 x1x2+y1y2=0,得 ?

48 4(8 ? m) 8 ? m 8 ? ? ? 0 .解得 m ? . 5 5 5 5
24 8 ,故 m ? 满足题意, 5 5

由①知,当 Δ=162-20(8+m)>0 时, m ? 因此 m ?

8 为所求. 5

7


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