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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第10篇 正态分布学案 理

第六十七课时

正态分布

课前预习案
考纲要求 1.了解正态分布与正态曲线的概念,掌握正态分布的对称性; 2.能根据正态分布的性质求正态随机变量在特定区间上的概率. 基础知识梳理 1. 正态曲线 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线, 其函数表达式为 f(x)= 中 μ ,σ 为参数,且 σ >0,-∞<μ <+∞). 2. 正态曲线的性质 (1)曲线在 x 轴的 (2)曲线在 边低”的形状. (3)曲线的形状由参数 σ 确定, σ 越 3. 正态变量在三个特定区间内取值的概率值 (1)P(μ -σ <X<μ +σ )=68.3%; (2)P(μ -2σ <X<μ +2σ )=95.4%; (3)P(μ -3σ <X<μ +3σ )=99.7%. 注意:通常认为服从正态分布 N(μ ,σ )的随机变量 X 只取(μ -3σ ,μ +3σ )之间的值,并简称为 3σ 原则. 正态总体几乎总取值于区间(μ -3σ ,μ +3σ )之内,而在此区间以外取值的概率只有 0.003,通常 认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 预习自测 1. 已知 ξ ~N(0,σ )且 P(-2≤ξ ≤0)=0.4,则 P(ξ >2)=______________________________. 2. 若 X~N(0,1),且 P(X<1.54)=0.938 2,则 P(|X|<1.54)=________. 3. 设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x)= 总体的平均数与标准差分别是 A.10 与 8 C.8 与 10 B.10 与 2 D.2 与 10 ( ) ?x-10? e- ,则这个正态 8 8π 1 ( )
2 2 2

1 2π ·σ

e-

?x-μ ? , x∈R(其 2 2σ

2

,并且关于直线

对称.

时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间高,两

, 曲线越“矮胖”; σ 越

, 曲线越“高瘦”.

4. 设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9),若 P(X>c+1)=P(X<c-1),则 c 等于 A.1 B.2 C.3 D.4
2

5. (2011 年高考湖北卷)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ),且 P(ξ <4)=0.8,则 P(0<ξ <2)等于
1

(

) A.0.6 C.0.3 B.0.4 D.0.2 第六十七课时 典型例题 正态分布(课堂探究案)

考点 1

正态曲线的性质 1 4 2π .

【典例 1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为 (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式; (2)求正态总体在(-4,4)的概率.

【变式 1】设两个正态分布 N(μ 1,σ 1)(σ 1>0)和 N(μ 2,σ 2)(σ 2>0)的密 度函 数图象如图所示,则有 A.μ 1<μ 2,σ 1<σ B.μ 1<μ 2,σ 1>σ C.μ 1>μ 2,σ 1<σ D.μ 1>μ 2,σ 1>σ
2

2

2

(

)

2

2

2

考点 2

服从正态分布的概率计算

【典例 2】某地区数学考试的成绩 X 服从正态分布,其密度曲线如图所示.

(1)求总体随机变量的期望和方差; (2)求成绩 X 位于区间(52,68)的概率.

【变式 2】(1)在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) (σ >0).若 ξ 在(0,1)内取值的 概率为 0.4,则 ξ 在(2,+∞)上取值的概率为________.

2

? 1? (2)若 X~N?0, ?,则 X 落在(-∞,-1]∪[1,+∞)内的概率为________. ? 9?
考点 3 正态分布的应用
2

【典例 3】已知电灯泡的使用寿命 X~N(1 500,100 )(单位:h).
2

(1)购买一个灯泡,求它的使用寿命不小于 1 400 小时的概率; (2)这种灯泡中,使用寿命最长的占 0.15%,这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时?

【变式 3】在某次数学考试中,考生的成绩 ξ 服从正态分布,即 ξ ~N(100,100),已知满分为 150 分. (1)试求考试成绩 ξ 位于区间(80,120)内的概率; (2)若这次考试共有 2 000 名考生参加,试估计这次考试及格(不小于 90 分)的人数. 当堂检测 1. 已知三个正态分布密度函数 fi(x)= 的图象如图所示,则 ( )
3

1 2π σ
i

e

?

? x ? ?i ? 2
2? i2

(x∈R,i=

1,2,3)

A.μ 1<μ 2=μ 3,σ 1=σ 2>σ B.μ 1>μ 2=μ 3,σ 1=σ 2<σ C.μ 1=μ 2<μ 3,σ 1<σ 2=σ D.μ 1<μ 2=μ 3,σ 1=σ 2<σ
2

3

3

3

2. 设随机变量 X~N(0,σ ),且 P(-2≤X≤0)=0.4,则 P(0≤X≤2)的值是 A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6

(

)

3. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.6826,则 P(X>4)等于 A.0.158 8 B.0.158 5
2

(

)

C.0.158 6

D.0.158 7 ( )

4. 已知随机变量 ξ ~N(3,2 ),若 ξ =2η +3,则 D(η )等于 A.0 B.1 C.2 D.4

课后拓展案 A 组全员必做题 1.某市组织一次高三调研考试, 考试后统计的数学成绩服从正态分布, 其概率密度函数为 f(x)=
?

1 2π ·10

? x ?80?2
200

e- e

(x∈R),则下列命题不正确的是

(

)

A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为 10 1 2 2 2. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ ,σ ),函数 f(x)=x +4x+ξ 没有零点的概率是 ,则 μ 等于 2
3

( A.1 B.2 C.4
2

)

D.不能确定

3. 随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ),已知 P(ξ <0)=0.3,则 P(ξ <2)=________. 4.某中学 2 000 名考生的高考数学成绩近似服从正态分布 N(120,100),则此校数学成绩在 140 分以上的考 生人数约为________. (注: 正态总体 N(μ , σ )在区间(μ -2σ , μ +2σ )内取值的概率约为 0.9544). 5.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ )(σ >0).若 ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ξ 在(0,2)内取值的概率为________. 6.商场经营的某种包装大米的质量(单位:kg)服从正态分布 X~N(10,0.1 ),任选一袋这种大米,质量在 9.8~10.2 kg 的概率是________.
2 2 2

B 组提高选做题 1.汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响,各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量,某汽车 制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况,共抽查了 1 200 名车主,据统计该种型号的汽车的平均 耗油为百公里 8.0 升,并且汽车的耗油量 ξ 服从正态分布 N(8,σ ),已知耗油量 ξ ∈[7,9]的概率 为 0.7,那么耗油量大于 9 升的汽车大约有________辆.
2

? 1? 2.工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N?4, ?,问在一次正常的试验中,取 1 000 个零件时,不 ? 9?
属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个?

3.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布 N(60,100),已知成绩在 90 分以 上(含 90 分)的学生有 13 人. 求此次参加竞赛的学生总数共有多少人?

参考答案 预习自测 1.0.1 解析 ∵P(0≤ξ ≤2)=P(-2≤ξ ≤0)=0.4, 1 ∴P(ξ >2)= (1-2×0.4)=0.1. 2 2. 0.876 4 解析 由正态曲线的对称性知

P(X≥1.54)=P(X≤-1.54).
又 P(X≥1.54)=1-P(X<1.54)=1-0.938 2=0.061 8 ∴P(X≤-1.54)=0.061 8, ∴P(|X|<1.54)=P(-1.54<X<1.54) =P(X<1.54)-P(X≤-1.54)
4

=0.938 2-0.061 8=0.876 4. 3. B 由 ?x-10? 1 ?x-μ ? e- = e- , 2 8 2σ 8π 2π ·σ 1
2 2

可知 σ =2,μ =10. 4. 5. B ∵μ =2,由正态分布的定义知其函数图象关于 x=2 对称,于是 C ∵P(ξ <4)=0.8,∴P(ξ >4)=0.2, 由题意知图象的对称轴为直线 x= 2, P(ξ <0) =P(ξ >4)= ∴P(0<ξ <4)=1-P(ξ <0)-P(ξ >4)=0.6. 1 ∴P(0<ξ <2)= P(0<ξ <4)=0.3. 2 典型例题 0.2,

c+1+c-1
2

=2,∴c=2.

【典例 1】解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于 y 轴对称,即 μ =0. 由 1 2π σ = 1 2π ·4 ,得 σ =4,

故该正态分布的概率密度函数的解析式是
x ? 1 f(x)= ? e 32 ,x∈R. 4 2π
2

(2)P(-4<X<4)=P(0-4<X<0+4) =P(μ -σ <X<μ +σ )=0.6826. 【变式 1】A 根据正态分布 N(μ ,σ )函数的性质:正态分布曲线是一条关于直线 x=μ 对称,在
2

x=μ 处取得最大值的连续钟形曲线;σ 越大,曲线的最高点越低且较平缓;反过来,σ
越小,曲线的最高点越高且较陡峭,故选 A. 【典例 2】解 (1)从给出的密度曲线图可知, 该正态曲线关于 x=60 对称,最大值为 ∴μ =60, = 4 2π σ 1
?

1 4 2π



1

1 2π

,解得 σ =4.

? x ?60?2
32

∴f(x)= e 4 2π

,x∈[0,100],
2

∴总体随机变量的期望是 μ =60,方差是 σ =16. (2)成绩 X 位于区间(52,68)的概率为

P(μ -2σ <X<μ +2σ )=0.9544.
【变式 2】 (1)0.1【解析】由正态分布的特征易得

5

P(ξ >2)= ×[1-2P(0<ξ <1)]= ×(1-0.8)=0.1.
1 (2) 【答案】0.0026 【解析】∵μ =0,σ = , 3 ∴P(X≤-1 或 x≥1) =1-P(-1<X<1)=1-P(μ -3σ <X<μ +3σ ) =1-0.9974=0.0026 1-P?1 400<X<1 600? 【典例 3】(1)P(X≥1 400)=1-P(X<1 400)=1- 2 =

1 2

1 2

1 ? 0.6826 =0.841 3. 2

(2)设这部分灯泡的使用寿命至少为 x0 小时, 则 x0>1 500,则 P(X≥x0)=0.15%.

P(X-1 500≥x0-1 500)=

1-P?|X-1 500|<x0-1 500? =0.15%, 2

P(|X-1 500|<x0-1 500)=1-0.3%=0.997,
所以 x0-1 500=300,x0=1 800(小时). 【变式 3】(1)由 ξ ~N(100,100)知 μ =100,σ =10. ∴P(80<ξ <120)=P(100-2σ <ξ <100+2σ )=0.9544, 即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为 0.9544. (2)P(90<ξ <110)=P(100-10<ξ <100+10)=0.6826, 1 ∴P(ξ >110)= (1-0.6826)=0.158 7, 2 ∴P(ξ ≥90)=0.6826+0.158 7=0.841 3. ∴及格人数为 2 000×0.841 3≈1 683(人). 当堂检测 1.D 解析 正态分布密度函数 f2(x)和 f3(x)的图象都是关于同一条直线对称,所以其平均数相同,故 μ
2

=μ 3,又 f2(x)的对称轴的横坐标值比 f1(x)的对称轴的横坐标值大,故有 μ 1<μ 2=μ 3.又 σ 越大,曲线 越“矮胖”, σ 越小, 曲线越“瘦高”, 由图象可知, 正态分布密度函数 f1(x)和 f2(x)的图象一样“瘦高”, φ 3(x)明显“矮胖”,从而可知 σ 1=σ 2<σ 3. 2. B 解析 正态曲线关于直线 x=0 对称,∵P(-2≤X≤0)=0.4,∴P(0≤X≤2)=0.4. 3.D 解析 由于 X 服从正态分布 N(3,1), 故正态分布曲线的对称轴为 x=3.所以 P(X>4)=P(X<2), 1-P?2≤X≤4? 故 P(X>4)= =0.158 7. 2 4. B 解析 由 ξ =2η +3,得 D(ξ )=4D(η ),而 D(ξ )=σ =4, ∴D(η )=1.
6
2

A 组全员必做题 1.B 解析 由密度函数知, 均值(期望)μ =80, 标准差 σ =10, 又曲线关于直线 x=80 对称, 故分数在 100 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同,所以 B 是错误的. 2.C 解析 根据题意,函数 f(x)=x +4x+ξ 没有零点时,Δ =16-4ξ <0,即 ξ >4,根据正态曲线的对 1 2 称性,当函数 f(x)=x +4x+ξ 没有零点的概率是 时,μ =4. 2 3. 0.7 解析 由题意可知,正态分布的图象关于直线 x=1 对称,所以 P(ξ <2)=P(ξ <0)+P(0<ξ <1)+
2

P(1<ξ <2),
又 P(0<ξ <1)=P(1<ξ <2)=0.2,所以 P(ξ <2)=0.7. 4.46 解析 因为标准差是 10,故在区间(120-20,120+20)之外的概率是 1-0.9544,数学成绩在 140 分 以上的概率是

1 ? 0.9544 =0.0228,故数学成绩在 140 分以上的人数为 2 000×0.022846≈46. 2
2

5.0.8 解析 ∵ξ 服从正态分布 N(1,σ ), ∴ξ 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为 0.4. ∴ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.4+0.4=0.8. 6.0.9544 解析 P(9.8<X<10.2)=P(10-0.2<X<10+0.2)=0.9544. B 组提高选做题 1.180 解析 由题意可知 ξ ~N(8,σ ),故正态曲线以 μ =8 为对称轴,又因为 P(7≤ξ ≤9)=0.7,故
2

P(7≤ξ ≤9)=2P(8≤ξ ≤9)=0.7, 所以 P(8≤ξ ≤9)=0.35, 而 P(ξ ≥8)=0.5, 所以 P(ξ >9)=0.15,
故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 200×0.15=180(辆). 1 ? 1? 2.解 ∵X~N?4, ?,∴μ =4,σ = . 3 ? 9? ∴不属于区间(3,5)的概率为

P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3<X<5)
=1-P(4-1<X<4+1) =1-P(μ -3σ <X<μ +3σ ) =1-0.9974=0.0026. ∴1 000×0.0026≈3.(个). 即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有 3 个. 3.解 设学生的得分情况为随机变量 X,X~N(60,100). 则 μ =60,σ =10.

P(30<X<90)=P(60-3×10<X<60+3×10)=0.9974.
1 ∴P(X≥90)= [1-P(30<X<90)]=0.001 3, 2
7

∴学生总数为

13 =10 000(人). 0.0013

8


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