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高中数学苏教版必修4课件:第一章 三角函数 1.1.2_图文

精品数学课件
苏教版













1.1 任意角、弧度

1.1.2 弧度制



阶 段 二

业 分 层 测



1.了解弧度制. 2.会进行弧度与角度的互化.(重点、难点) 3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.(难点、易错点)

[基础·初探] 教材整理 1 弧度制的概念 阅读教材 P7 的有关内容,完成下列问题.
1 1.角度制:规定周角的__3_6_0__为 1 度的角,用度作为单位来度量角的单位 制叫做角度制. 2.弧度制:把长度等于_半__径___长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,记作 _1_r_a_d__,用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大.( ) (2)圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等.( ) (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是 1 弧度.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×

教材整理 2 角度制与弧度制的换算

阅读教材 P8 的全部内容,完成下列问题. 1.角度制与弧度制的换算

角度化弧度

弧度化角度

360°=__2_π_ rad 180°=_π__ rad

2π rad=_3_6_0_°__ π rad=_1_8_0_°__

π 1°=__1_8_0__rad≈0.017 45 rad

180 1 rad=____π__度≈57.30°

2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

角度 0° 1° 30° 45° 60° 90°

弧度 0

π 180

π 6

π 4

π 3

π 2

角度 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度 2π





3

4

6

π

3π 2



3.任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是_正__数___,负角的弧度数是_负__数___,零角的弧度数是__0_.

(1)35π=________;(2)-π6=________; (3)-120°=________rad;(4)210°=________rad.

【解析】 (1)35π=35×180°=108°;

(2)-π6=-16×180°=-30°;

(3)-120°=-120×1π80=-23π;

(4)210°=210×1π80=76π.

【答案】

(1)108° (2)-30° (3)-23π

7π (4) 6

教材整理 3 扇形的弧长公式及面积公式

阅读教材 P9 的全部内容,完成下列问题.

1.弧度制下的弧长公式:

如图 1-1-7,l 是圆心角 α 所对的弧长,r 是半径,则 l
圆心角 α 的弧度数的绝对值是|α|=__r_,弧长 l=_|_α_|r_.特别地,

当 r=1 时,弧长 l=_|α__| . 2.扇形面积公式:

图 1-1-7

在弧度制中,若|α|≤2π,则半径为 r,圆心角为 α 的扇形的面积为 S=2|απ|·πr2 1 =___2_l_r _.

若扇形的圆心角为π6,半径 r=1,则该扇形的弧长为________,面积为

________. 【解析】 ∵α=π6,r=1,

∴弧长 l=α·r=π6×1=π6,

面积 S=12lr=12×π6×1=1π2.

【答案】

π 6

π 12

[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[小组合作型]
角度制与弧度制的互化 把下列弧度化成角度或角度化成弧度; (1)-450°;(2)1π0;(3)-43π;(4)112°30′. 【精彩点拨】 利用“180°=π”实现角度与弧度的互化.

【自主解答】 (1)-450°=-450×1π80 rad=-52π rad;

π (2)10

rad=1π0×18π0°=18°;

(3)-43π rad=-43π×18π0°=-240°;

(4)112°30′=112.5°=112.5×1π80 rad=58π rad.

一抓

角度制与弧度制换算的要点: 抓住“正对正,负对负,零对0”这个要点

二记 记住常见角对应的弧度数

三应用

应用1°=1π80rad,1 rad=???1π80??? 两个基本关系

[再练一题] 1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度: (1)72°;(2)-300°;(3)2;(4)-29π. 【解】 (1)72°=72×1π80 rad=25π rad; (2)-300°=-300×1π80 rad=-53π rad; (3)2 rad=2×18π0°=36π0°≈114.60°; (4)-29π rad=-29π×18π0°=-40°.

用弧度制表示角的集合 用弧度制表示顶点在原点,始边重合于 x 轴的非负半轴,终边落在 阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图 1-1-8 所示). 【导学号:06460003】
图 1-1-8 【精彩点拨】 先写出边界角的集合,再借助图形写区间角的集合.

【自主解答】 用弧度制先写出边界角,再按逆时针顺序写出区域角,

(1)?????α???-π6+2kπ<α<152π+2kπ,k∈Z

???,
??

(2)?????α???-34π+2kπ<α<34π+2kπ,k∈Z

???,
??

(3)?????α???π6+kπ<α<π2+kπ,k∈Z

??
?.
??

表示角的集合,单位制要统一,不能既含有角度又含有弧度, 如在“α+2kπ?k∈Z?”中,α 必须是用弧度制表示的角,在“α+ k·360°,?k∈Z?”中,α 必须是用角度制表示的角.

[再练一题] 2.如图 1-1-9,用弧度表示顶点在原点,始边重合于 x 轴的非负半轴,终边 落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).





图 1-1-9

【解】 (1)如题图①,以 OA 为终边的角为π6+2kπ(k∈Z);以 OB 为终边的

角为-23π+2kπ(k∈Z), 所以阴影部分内的角的集合为

?????α???-23π+2kπ<α<π6+2kπ,k∈Z

??
?.
??

(2)如题图②,以 OA 为终边的角为π3+2kπ(k∈Z);以 OB 为终边的角为23π+

2kπ(k∈Z).

不妨设右边阴影部分所表示的集合为 M1,左边阴影部分所表示的集合为 M2,
则 M1=?????α???2kπ<α<π3+2kπ, k∈Z?????,M2=α???23π +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z. 所以阴影部分内的角的集合为
M1∪M2=α???2kπ<α<π3 +2kπ 或23π+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z.

[探究共研型]
扇形的弧长及面积问题 探究 1 公式 l=|α|r 中,“α”可以为角度制角吗? 【提示】 公式 l=|α|r 中,“α”必须为弧度制角. 探究 2 在扇形的弧长 l,半径 r,圆心角 α,面积 S 中,已知其中几个量可 求其余量?举例说明. 【提示】 已知任意两个量可求其余两个量,如已知 α,r,可利用 l=|α|r, 求 l,进而求 S=12lr; 又如已知 S,α,可利用 S=12|α|r2,求 r,进而求 l=|α|r.

一个扇形的周长为 20,则扇形的半径和圆心角各取什么值 时,才能使扇形面积最大?
【精彩点拨】 设出扇形的圆心角、 半径、弧长 →
用半径表示 圆心角 → 求扇形面积 → 转化为二次 函数求最值 【自主解答】 设扇形的圆心角为 α,半径为 r,弧长为 l,则 l=αr, 依题意 l+2r=20,即 αr+2r=20, ∴α=20-r 2r. 由 l=20-2r>0 及 r>0 得 0<r<10,

∴S 扇形=12αr2=12·20-r 2r·r2=(10-r)r =-(r-5)2+25(0<r<10). ∴当 r=5 时,扇形面积最大为 S=25. 此时 l=10,α=2, 故当扇形半径 r=5,圆心角为 2 rad 时, 扇形面积最大.

灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类 问题的关键,有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最 值问题,将扇形面积表示为半径的函数,转化为 r 的二次函数的 最值问题.

[再练一题] 3.已知扇形 OAB 的圆心角为 120°,半径为 6,求扇形的弧长和面积. 【解】 ∵α=120×1π80=23π. 又 r=6, ∴弧长 l=αr=23π×6=4π. 面积 S=12lr=12×4π×6=12π.

[构建·体系]

1.将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度): (1)21π5=________;(2)-65π=________; (3)920°=________;(4)-72°=________.

【解析】 (1)21π5=125×180°=24°. (2)-65π=-65×180°=-216°. (3)920°=920×1π80=496π rad. (4)-72°=-72×1π80=-25π rad. 【答案】 (1)24° (2)-216° (3)496π rad (4)-25π rad

2.(2016·北京高一检测)半径长为 2 的圆中,扇形的圆心角为 2 弧度,则扇 形的面积为________.
【解析】 S=12lr=12r2·α=12×4×2=4. 【答案】 4

3.圆的半径变为原来的 3 倍,而所对的弧长不变,则该弧所对圆心角是原

来圆弧所对圆心角的________倍. 【解析】 设圆最初半径为 r1,圆心角为 α1,弧长为 l,圆变化后的半径为

r2,圆心角为 α2,则

α1=rl1,α2=rl2. 又 r2=3r1,

∴αα21=rr12=3rr11=13.

【答案】

1 3

4.用弧度制表示终边落在 x 轴上方的角的集合为________.

【解析】 若角 α 的终边落在 x 轴的上方,

则 2kπ<α<2kπ+π,k∈Z.

【答案】

???α???2kπ<α<2kπ+π,k∈Z

? ? ?

5.设 α1=-570°,α2=750°,β1=35π,β2=-π3.

(1)将 α1,α2 用弧度制表示出来,并指出它们各自的终边所在的象限;

(2)将 β1,β2 用角度制表示出来,并在[-720°,0°)范围内找出与它们终边相

同的所有角.

【解】 (1)∵180°=π rad,

【导学号:06460004】

∴α1=-570°=-570×1π80=-196π

=-2×2π+56π,

α2=750°=750×1π80=256π=2×2π+π6.

∴α1 的终边在第二象限,α2 的终边在第一象限.

(2)β1=35π=35π×18π0°=108°, 设 θ=108°+k·360°(k∈Z),则由-720°≤θ<0°, 即-720°≤108°+k·360°<0°, 得 k=-2,或 k=-1. 故在[-720°,0°)范围内,与 β1 终边相同的角是-612°和-252°. β2=-π3=-60°, 设 γ=-60°+k·360°(k∈Z),则由-720°≤-60°+k·360°<0°,得 k=-1, 或 k=0. 故在[-720°,0°)范围内,与 β2 终边相同的角是-420°.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________

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