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岢岚县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

岢岚县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. “x>0”是“ >0”成立的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 )

姓名__________

分数__________

C.非充分非必要条件 D.充要条件 2. 设函数 y=x3 与 y=( )x 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3. 命题“?x∈R,使得 x2<1”的否定是( A.?x∈R,都有 x <1 C.?x∈R,使得 x2≥1
2

) B.?x∈R,使得 x2>1 D.?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1 )

4. 已知△ABC 是锐角三角形,则点 P(cosC﹣sinA,sinA﹣cosB)在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5. 在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺, 末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第 10 日时,大约已经完成三十日织布总量的( A.33% 6. 设 为虚数单位,则 A. A.直角三角形 B. B.等边三角形 D.等腰三角形 (m∈R,i 表示虚数单位),那么 m=( B.﹣1 ) C.(0,4) D.(0,2) ) C.2 ) D.0 B.49% ( C. ) D. ) C.62% ) D.88%

7. 在△ABC 中,若 2cosCsinA=sinB,则△ABC 的形状是( C.等腰直角三角形 8. 如果 A.1

9. 抛物线 y= x2 的焦点坐标为( A.(0, ) B.( ,0)

10.下列图象中,不能作为函数 y=f(x)的图象的是(

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A.

B.

C.

D.

11.与﹣463°终边相同的角可以表示为(k∈Z)( A.k360°+463° 12.已知 x,y 满足 A.1 B. C. B.k360°+103°

) D.k360°﹣257° )

C.k360°+257°

,且目标函数 z=2x+y 的最小值为 1,则实数 a 的值是( D.

二、填空题
13.命题 p:? x∈R,函数 14.设集合 A ? x | 2 x ? 7 x ? 15 ? 0 , B ? x | x ? ax ? b ? 0 ,满足
2 2

?

?

?

的否定为

?



A

B ? ? , A B ? ?x | ?5 ? x ? 2? ,求实数 a ? __________.
个直角三角形.

15.如图,△ ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面 ABC,此图形中有

16.等差数列 {an } 的前项和为 Sn ,若 a3 ? a7 ? a11 ? 6 ,则 S13 等于_________.

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17.(﹣ )0+[(﹣2)3]

=



18 .【 2017-2018 第一 学期东台 安丰中学高三 第一次月 考】 在平面直 角坐标系 xOy 中 ,直线 l 与函 数

B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 的值为__________.
三、解答题

f ? x ? ? 2x2 ? a2 ? x ? 0? 和 g ? x ? ? 2x3 ? a2 ? x ? 0? 均 相 切 ( 其 中 a 为 常 数 ) , 切 点 分 别 为 A ? x1 , y1 ? 和

19.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立 平面直角坐标系,直线的参数方程是 ?

? x ? ?2 ? 4t (为参数). y ? 3 t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线的普通方程; (2)求曲线 C 上任意一点到直线的距离的最大值.

20. 如图, 在四棱锥 中点, 为 的中点,且

中, 等边

所在的平面与正方形

所在的平面互相垂直,





(Ⅰ)求证: 平面 ; (Ⅱ)求二面角 的余弦值; (Ⅲ)在线段 上是否存在点 ,使线段 求出 的长,若不存在,请说明理由.



所在平面成

角.若存在,

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21.已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

22. 【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数 f ? x ? 为偶函数且图象经过原点, 其导函数 f ' ? x ? 的图象过点 ?1, 2? . (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? ? m ,其中 m 为常数,求函数 g ? x ? 的最小值.

23.设 p:关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x<0};q:函数 p∧q 是假命题,求实数 a 的取值范围.

的定义域为 R.若 p∨q 是真命题,

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24.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成 一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义域.

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岢岚县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:当 x>0 时,x >0,则 ∴“x>0”是“ 但 ∴“x>0”不是“ 故“x>0”是“ 故选 A 【点评】判断充要条件的方法是:①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条 件;②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件;③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不 充分也不必要条件.⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断 命题 p 与命题 q 的关系. 2. 【答案】A 【解析】解:令 f(x)=x ﹣
2 ∵f′(x)=3x ﹣ 3 ∴f(x)=x ﹣ 3 2

>0

>0”成立的充分条件; >0”成立的必要条件; >0”成立的充分不必要条件;

2 >0,x >0,时 x>0 不一定成立

, ln2>0,

ln =3x2+ 在 R 上单调递增;

又 f(1)=1﹣ = >0, f(0)=0﹣1=﹣1<0,
3 ∴f(x)=x ﹣

的零点在(0,1),

3 x ∵函数 y=x 与 y=( ) 的图象的交点为(x0,y0),

∴x0 所在的区间是(0,1). 故答案为:A. 3. 【答案】D 【解析】解:命题是特称命题,则命题的否定是?x∈R,都有 x≤﹣1 或 x≥1, 故选:D.

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【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 4. 【答案】B 【解析】解:∵△ABC 是锐角三角形, ∴A+B> ∴A> , ﹣B, ﹣B)=cosB,

∴sinA>sin( ∴sinA﹣cosB>0,

同理可得 sinA﹣cosC>0, ∴点 P 在第二象限. 故选:B 5. 【答案】B 【 解 析 】

6. 【答案】C 【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】 故答案为:C 7. 【答案】D 【解析】解:∵A+B+C=180°, ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA, ∴sinCcosA﹣sinAcosC=0,即 sin(C﹣A)=0, ∴A=C 即为等腰三角形. 故选:D. 【点评】本题考查三角形形状的判断,考查和角的三角函数,比较基础. 8. 【答案】A

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【解析】解:因为 而 所以,m=1. 故选 A. (m∈R,i 表示虚数单位),



【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的概念,两个复数相等,当且仅当实部等于实 部,虚部等于虚部,此题是基础题. 9. 【答案】D 【解析】解:把抛物线 y= x2 方程化为标准形式为 x2=8y, ∴焦点坐标为(0,2). 故选:D. 【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,把抛物线的方程化为标准形式是关键. 10.【答案】B 【解析】解:根据函数的定义可知,对应定义域内的任意变量 x 只能有唯一的 y 与 x 对应,选项 B 中,当 x >0 时,有两个不同的 y 和 x 对应,所以不满足 y 值的唯一性. 所以 B 不能作为函数图象. 故选 B. 【点评】 本题主要考查函数图象的识别, 利用函数的定义是解决本题的关键, 注意函数的三个条件: 非空数集, 定义域内 x 的任意性,x 对应 y 值的唯一性. 11.【答案】C 【解析】解:与﹣463°终边相同的角可以表示为:k360°﹣463°,(k∈Z) 即:k360°+257°,(k∈Z) 故选 C 【点评】本题考查终边相同的角,是基础题. 12.【答案】B 【解析】解:由约束条件 作出可行域如图,

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由图可知 A(a,a), 化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z, 由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过 A(a,a)时直线在 y 轴上的截距最小,z 最小,z 的最小值为 2a+a=3a=1,解 得:a= . 故选:B. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

二、填空题
13.【答案】 ? x0∈R,函数 f(x0)=2cos2x0+ sin2x0>3 .

2 【解析】解:全称命题的否定是特称命题,即为?x0∈R,函数 f(x0)=2cos x0+

sin2x0>3,

故答案为:?x0∈R,函数 f(x0)=2cos x0+ 14.【答案】 a ? ? 【解析】

2

sin2x0>3,

7 ,b ? 3 2

考 点:一元二次不等式的解法;集合的运算.

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【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题,其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和 集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用,试题有一定的难度,属于中档试题,着重考查了学 生分析问题和解答问题的能力, 同时考查了转化与化归思想的应用, 其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 15.【答案】 4 △PAB 是直角三角形, ∠ACB=90° 【解析】 解: 由 PA⊥平面 ABC, 则△PAC, 又由已知△ABC 是直角三角形, 所以 BC⊥AC,从而易得 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥PC,所以△PCB 也是直角三角形, 所以图中共有四个直角三角形,即:△PAC,△PAB,△ABC,△PCB. 故答案为:4 【点评】本题考查空间几何体的结构特征,空间中点线面的位置关系,线面垂直的判定定理和性质定理的熟练 应用是解答本题的关键. 16.【答案】 26 【解析】 试题分析:由题意得,根据等差数列的性质,可得 a3 ? a7 ? a11 ? 3a7 ? 6 ? a7 ? 2 ,由等差数列的求和

S13 ?

13(a1 ? a13 ) ? 13a7 ? 26 . 2


考点:等差数列的性质和等差数列的和. 17.【答案】

0 3 【解析】解:(﹣ ) +[(﹣2) ]

=1+(﹣2)﹣2 =1+ = . 故答案为: . 18.【答案】

56 27

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【解析】

三、解答题
19.【答案】(1)参数方程为 ? 【解析】 试题分析:(1)先将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得 ( x ?1) ? y ? 1 ,利用圆的参数方
2 2

? x ? 1 ? cos ? 14 , 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ;(2) . 5 ? y ? sin ?

程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程;(2)利用参数方程写出曲线 C 上任一点坐标, 用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值. 试题解析: (1)曲线 C 的普通方程为 ? ? 2? cos? ,∴ x ? y ? 2 x ? 0 ,
2 2 2

∴ ( x ?1) ? y ? 1 ,所以参数方程为 ?
2 2

? x ? 1 ? cos ? , ? y ? sin ?

直线的普通方程为 3x ? 4 y ? 6 ? 0 . (2)曲线 C 上任意一点 (1 ? cos ? ,sin ? ) 到直线的距离为

d?

3 ? 3cos ? ? 4sin ? ? 6 5sin(? ? ? ) ? 9 14 14 ? ? ,所以曲线 C 上任意一点到直线的距离的最大值为 . 5 5 5 5

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考点:1.极坐标方程;2.参数方程. 20.【答案】 【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直 【试题解析】(Ⅰ) 平面 平面 (Ⅱ)取 分别以 则 , , 的中点 平面 . , 底面 是正方形, , 两两垂直. 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系, , 是等边三角形, , 是交线, 为 平面 的中点,

设平面

的法向量为





, 平面 的法向量即为平面

, 的法向量 .

由图形可知所求二面角为锐角, (Ⅲ)设在线段 使线段 平面 与 上存在点 所在平面成 , ,解得 在线段 上存在点 ,当线段 , 角, , ,适合 时,与 所在平 面成 角. ,

的法向量为

21.【答案】 【解析】解:(1)∵0<α< ∴cosα= , ,且 sinα= ,

∴f(α)=cosα(sinα+cosα)﹣ ,

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=

×(

+

)﹣

= . (2)f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . =sinxcosx+cos2x﹣ = sin2x+ cos2x = ∴T= 由 2kπ﹣ sin(2x+ =π, ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z, ),

∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣
2

],k∈Z.

22.【答案】(1) f ? x ? ? x ;(2) m ? 1

【解析】

(2)

m , 2 2 据题意, g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? ? m ? x ? 2 x ? m ,即 g ? x ? ? { m x 2 ? 2 x ? m, x? , 2 x 2 ? 2 x ? m, x?

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m m m? 2 ? ? ?1 ,即 m ? ?2 ,当 x ? 时, g ? x ? ? x 2 ? 2 x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? ??, ? 上 2 2 2? ? m 2 ?m ? 2 单调递减;当 x ? 时, g ? x ? ? x ? 2 x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? , ? 1? 上单调递减,在 2 ?2 ?
①若

? ?? 上单调递增,故 g ? x ? 的最小值为 g ? ?1? ? ?m ?1. ? ?1,

m m m? 2 ? ? 1 ,即 ?2 ? m ? 2 ,当 x ? 时, g ? x ? ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? ??, ? 上单调递减; 2 2 2? ? m 2 ?m ? 当x? 时, g ? x ? ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? , ? ? ? 上单调递增,故 g ? x ? 的最小值为 2 ?2 ?
②若 ?1 ?
2 ?m? m . g? ? ? ?2? 4 m m 2 2 ③若 ? 1 ,即 m ? 2 ,当 x ? 时, g ? x ? ? x ? 2 x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? ??, 1? 上单调递 2 2 m 2 ? m? ?m ? 2 减,在 ? 1, ? 上单调递增;当 x ? 时, g ? x ? ? x ? 2 x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? , ? ?? 上 2 ? 2? ?2 ? 单调递增,故 g ? x ? 的最小值为 g ?1? ? m ?1 .

综上所述,当 m ? ?2 时, g ? x ? 的最小值为 ? m ? 1 ;当 ?2 ? m ? 2 时, g ? x ? 的最小值为

g ? x ? 的最小值为 m ? 1 .
23.【答案】
x 【解析】解:∵关于 x 的不等式 a >1 的解集是{x|x<0},∴0<a<1;

m2 ;当 m ? 2 时, 4

故命题 p 为真时,0<a<1; ∵函数 ∴ 的定义域为 R, ?a≥ ,

由复合命题真值表知:若 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,则命题 p、q 一真一假, 当 p 真 q 假时,则 ?0<a< ;

当 q 真 p 假时,则

?a≥1,

综上实数 a 的取值范围是(0, )∪[1,+∞).

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24.【答案】 【解析】解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为 xcm, 在 Rt△EOF 中, ∴ ∴ 依题意函数的定义域为{x|0<x<10} , ,

【点评】本题是一个函数模型的应用,这种题目解题的关键是看清题意,根据实际问题选择合适的函数模型, 注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围.

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