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圆锥曲线综合测试题(含答案)


第二章测试
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知抛物线的准线方程为 x=-7,则抛物线的标准方程为 ( ) A.x2=-28y C.y2=-28x 解析 y2=28x. 答案 B B.y2=28x D.x2=28y

p 由条件可知2=7,∴p=14,抛物线开口向右,故方程为

x2 y2 2.设 P 是椭圆25+16=1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点, 则|PF1|+|PF2|等于( A.4 C.8 ) B.5 D.10

解析 由题可知 a=5,P 为椭圆上一点, ∴|PF1|+|PF2|=2a=10. 答案 D )

3.双曲线 3mx2-my2=3 的一个焦点是(0,2),则 m 的值是( A.-1 10 C.- 20 B.1 10 D. 2

x2 y2 解析 把方程化为标准形式- 1 + 3 =1, -m -m

3 1 ∴a2=-m,b2=-m. 3 1 ∴c2=-m-m=4, 解得 m=-1. 答案 A

x2 y2 4.椭圆25+ 9 =1 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m,则 m 取 最大值时,P 点坐标是( A.(5,0)或(-5,0) 5 3 3 5 3 3 B.(2, 2 )或(2,- 2 ) C.(0,3)或(0,-3) 5 3 3 5 3 3 D.( 2 ,2)或(- 2 ,2) 解析 |PF1|+|PF2|=2a=10, )

|PF1|+|PF2| 2 ∴|PF1|· 2|≤( |PF ) =25. 2 当且仅当|PF1|=|PF2|=5 时,取得最大值, 此时 P 点是短轴端点,故选 C. 答案 C

x2 y2 5.(2010· 天津)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方 程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的 方程为( ) x2 y2 B. 9 -27=1 x2 y2 D.27- 9 =1

x2 y2 A.36-108=1 x2 y2 C.108-36=1

解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程, 属 于容易题.

?a= 3, 依题意知?c=6, ?c =a +b ,
b
2 2 2

?a2=9,b2=27,

x2 y2 所以双曲线的方程为 9 -27=1. 答案 B

6.在 y=2x2 上有一点 P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离 之和最小,则点 P 的坐标是( A.(-2,1) C.(2,1) ) B.(1,2) D.(-1,2)

解析 如图所示,直线 l 为抛物线 y=2x2 的准线,F 为其焦点, PN⊥l,AN1⊥l,

由抛物线的定义知,|PF|=|PN|, ∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|, 当且仅当 A,P,N 三点共线时取等号,

∴P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1, 则可排除 A、C、D 项,故选 B. 答案 B

7.已知抛物线的顶点为原点,焦点在 y 轴上,抛物线上点 M(m, -2)到焦点的距离为 4,则 m 的值为( A.4 或-4 C.4 ) B.-2 D.2 或-2

p 解析 由题可知,2-(-2)=4,∴p=4. ∴抛物线的方程为 x2=-8y. 将(m,-2)代入可得 m2=16, ∴m=± 4.故选 A. 答案 A

x2 y2 8.设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 3,且它的一个焦 点在抛物线 y2=12x 的准线上,则此双曲线的方程为( x2 y 2 A. 5 - 6 =1 x2 y 2 C. 3 - 6 =1 x2 y2 B. 7 - 5 =1 x2 y2 D. 4 - 3 =1 )

解析 抛物线 y2=12x 的准线方程为 x=-3,

?c=3, c 由题意,得?a= 3, ?c =a +b .
2 2 2

解得 a2=3,b2=6,

x2 y2 故所求双曲线的方程为 3 - 6 =1. 答案 C

9.动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相 切,则动圆必过点( A.(4,0) C.(0,2) ) B.(2,0) D.(0,-2)

解析 直线 x+2=0 是抛物线的准线,又动圆圆心在抛物线上, 由抛物线的定义知,动圆必过抛物线的焦点(2,0). 答案 B

x2 y2 10.椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离分别为 d1,d2, 焦距为 2c, d1,2c, 2 成等差数列, 若 d 则椭圆的离心率为( 1 A.2 3 C. 2 2 B. 2 3 D.4 )

解析 由椭圆的定义可知 d1+d2=2a, 又由 d1,2c,d2 成等差数列, c 1 ∴4c=d1+d2=2a,∴e=a=2. 答案 A

1 11.已知 F 是抛物线 y=4x2 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则 线段 PF 中点的轨迹方程是( )

1 1 A.x2=y-2 B.x2=2y-16 C.x2=2y-1 D.x2=2y-2 1 解析 由 y=4x2?x2=4y,焦点 F(0,1), 设 PF 中点 Q(x,y)、P(x0,y0),

?2x=0+x0, ? 则?2y=1+y0, 2 ?4y0=x0, ?
答案 C

∴x2=2y-1.

x2 y2 12.已知 F1,F2 是双曲线a2-b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为 |PF2|2 双曲线左支上一点,若 |PF | 的最小值为 8a,则该双曲线的离心率的 1 取值范围是( A.(1,3) C.(1,3] |PF2|2 ?|PF1|+2a? 解析 |PF | = |PF | 1 1
2

) B.(1,2) D.(1,2]

4a2 =|PF1|+|PF |+4a≥8a, 1 4a2 当|PF1|=|PF |,即|PF1|=2a 时取等号. 1 又|PF1|≥c-a,∴2a≥c-a. ∴c≤3a,即 e≤3. ∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3] 答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确 答案填在题中横线上) x 2 y2 1 13. (2010· 福建)若双曲线 4 -b2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x, 2 则 b 等于________. b 1 解析 由题意知2=2,解得 b=1. 答案 1

14.若中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0),离 3 心率为 2 ,则椭圆的标准方程为________. 解析 若焦点在 x 轴上,则 a=4, 3 由 e= 2 ,可得 c=2 3, ∴b2=a2-c2=16-12=4, x2 y2 椭圆方程为16+ 4 =1, 若焦点在 y 轴上,则 b=4, 3 c 3 3 由 e= 2 ,可得a= 2 ,∴c2=4a2. 1 又 a2-c2=b2,∴4a2=16,a2=64. x2 y2 ∴椭圆方程为16+64=1. x2 y2 x2 y2 答案 16+64=1,或16+ 4 =1 x2 2 15. F1 和 F2 是双曲线 4 -y =1 的两个焦点, P 在双曲线上, 设 点 且满足∠F1PF2=90° ,则△F1PF2 的面积为________. ||PF ?① |-|PF ||=4, ? 由题设知? |PF | +|PF | =20, ?② ?
1 2 2 2 1 2

解析

)

②-①2 得|PF1|· 2|=2. |PF 1 ∴△F1PF2 的面积 S=2|PF1|· 2|=1. |PF 答案 1

x2 y2 16.过双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2= a2 的两条切线,切点分别为 A,B.若∠AOB=120° 是坐标原点), (O 则双曲线 C 的离心率为________.

解析 如图,设双曲线一个焦点为 F, 则△AOF 中,|OA|=a,|OF|=c,∠FOA=60° . c ∴c=2a,∴e=a=2. 答案 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 5 17. 分)求与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦距, (10 且离心率为 5 的椭圆的标准方程. x2 y2 解 把方程 4x +9y =36 写成 9 + 4 =1,
2 2

则其焦距 2c=2 5,∴c= 5. c 5 又 e=a= 5 ,∴a=5.

b2=a2-c2=52-5=20, x2 y2 y2 x2 故所求椭圆的方程为25+20=1,或25+20=1. 18.(12 分)已知抛物线 y2=6x,过点 P(4,1)引一条弦 P1P2 使它恰 好被点 P 平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解 设直线上任意一点坐标为(x,y), 弦两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2).
2 ∵P1,P2 在抛物线上,∴y1=6x1,y2=6x2. 2

两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). ∵y1+y2=2,∴k= y1-y2 6 = =3. x1-x2 y1+y2

∴直线的方程为 y-1=3(x-4),即 3x-y-11=0.
?y2=6x, ? 由? 得 y2-2y-22=0, ? ?y=3x-11,

∴y1+y2=2,y1·2=-22. y ∴|P1P2|= 1 2 230 1+9 22-4×?-22?= 3 .

19、 (本小题满分 12 分)
设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x 2 +
y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 b2

E 相交于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (Ⅰ)求 AB (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值 解: (1)由椭圆定义知 ? ?F2 ? + ? ?? ? ? ? ?F2 ?? ? 又 2 ? AB ? = ? AF? ? ? ? ?F? ?? 得 ? AB ??
? ?

(2)



4 ? 2 ? x2 ? x1 ? . 3

8 4(1 ? b 2 ) 4(1 ? 2b 2 ) 8b 4 2 ? ? 则 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 9 (1 ? b 2 ) 2 1 ? b2 1 ? b2

解得

b?

2 . 2

20、(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (I) (II) 求椭圆 C 的方程‘ 若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

?e

(e 为椭圆 C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 {
w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

a ? c ? 1, a ? c ? 7.

解得 a=4,c=3,

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 7

w.w. w. k. s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x ? ? ?4, 4? . 由已知得

x 2 ? y12 ? e2 . 2 2 x ?y
而e ?

3 2 2 2 2 ,故 16( x ? y1 ) ? 9( x ? y ). 4
y12 ?
2



由点 P 在椭圆 C 上得 代入①式并化简得 9 y ? 112, 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

112 ? 7 x 2 , 16

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

4 7 (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3

w.w

x2 y2 21.(12 分)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),直线 l 为圆 O:x2+y2= b2 的一条切线,记椭圆 C 的离心率为 e. π (1)若直线 l 的倾斜角为3,且恰好经过椭圆 C 的右顶点,求 e 的 大小; (2)在(1)的条件下,设椭圆 C 的上顶点为 A,左焦点为 F,过点 A 与 AF 垂直的直线交 x 轴的正半轴于 B 点,且过 A,B,F 三点的圆恰 好与直线 l:x+ 3y+3=0 相切,求椭圆 C 的方程. 解

(1)如图,设直线 l 与圆 O 相切于 E 点,椭圆 C 的右顶点为 D, 则由题意易知,△OED 为直角三角形,

π 且|OE|=b,|OD|=a,∠ODE=3, ∴|ED|= |OD|2-|OE|2=c(c 为椭圆 C 的半焦距). c π 1 ∴椭圆 C 的离心率 e=a=cos3=2. c 1 (2)由(1)知,a=2, ∴可设 a=2m(m>0),则 c=m,b= 3m, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为4m2+3m2=1. ∴A(0, 3m),∴|AF|=2m. 直线 AF 的斜率 kAF= 3,∴∠AFB=60° . |AF| 在 Rt△AFB 中,|FB|= =4m, cos∠AFB ∴B(3m,0),设斜边 FB 的中点为 Q,则 Q(m,0), ∵△AFB 为直角三角形, ∴过 A,B,F 三点的圆的圆心为斜边 FB 的中点 Q,且半径为 2m, ∵圆 Q 与直线 l:x+ 3y+3=0 相切, ∴ |m+3| =2m. 1+3

∵m 是大于 0 的常数,∴m=1. x2 y2 故所求的椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. x 2 y2 21.(12 分)设椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0),抛物线 C2:x2+by= b2. (1)若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率;

5 (2)设 A(0,b),Q(3 3,4b),又 M,N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的 3 两个交点,若△AMN 的垂心为 B(0,4b),且△QMN 的重心在 C2 上, 求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程. 解 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,

可得 c2=b2,由 a2=b2+c2=2c2, c2 1 2 有a2=2?e= 2 .

(2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称, 设 M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0), 由△AMN 的垂心为 B, → → 3 有BM· =0?-x2+(y1-4b)(y1-b)=0. AN 1
2 由点 N(x1,y1)在抛物线上,x1+by1=b2,

b 解得 y1=-4,或 y1=b(舍去), 5 5 b 5 b 故 x1= 2 b,M(- 2 b,-4),N( 2 b,-4), b 得△QMN 重心坐标( 3,4).

b2 2 由重心在抛物线上得 3+ 4 =b , 1 1 ∴b=2,M(- 5,2),N( 5,-2), 16 又∵M,N 在椭圆上,得 a2= 3 , x2 y2 椭圆方程为16+ 4 =1, 3 抛物线方程为 x2+2y=4. 22. 分)(2010· (12 北京)已知椭圆 C 的左、 右焦点坐标分别是(- 2, 6 0),( 2,0),离心率是 3 ,直线 y=t 与椭圆 C 交于不同的两点 M, N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (3)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值. 解 c 6 (1)∵a= 3 ,且 c= 2,

∴a= 3,b= a2-c2=1. x2 2 ∴椭圆 C 的方程为 3 +y =1. (2)由题意知 P(0,t)(-1<t<1),

?y=t, 由?x2 2 ? 3 +y =1,

得 x=± 3?1-t2?,

∴圆 P 的半径为 3?1-t2?. 3 ∴ 3?1-t2?=|t|,解得 t=± 2 .

3 ∴点 P 的坐标是(0,± 2 ). (3)由(2)知,圆 P 的方程为 x2+(y-t)2=3(1-t2). ∵点 Q(x,y)在圆 P 上, ∴y=t± 3?1-t2?-x2≤t+ 3?1-t2?. 设 t=cosθ,θ∈(0,π), π 则 t+ 3?1-t2?=cosθ+ 3sinθ=2sin(θ+6), π 1 当 θ=3,即 t=2,且 x=0,y 取最大值 2.


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