fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

抛物线的最值与等腰三角形问题


1.(抛物线与最值问题)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 的对称轴为 x=1,且抛物线经过 A(—1,0) 、C(0,—3)两点,与

x 轴交于另一点 B.

(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;

(2)在抛物线的对称轴 x=1 上求一点 P,使点 P 到点 A 的距离与到 点 C 的距离之和最小,并求出此时点 P 的坐标;
y A O x=1 B x A O y x=1 B x A O y x=1 B x

C

C

C

图1

图2

图3

(3)在抛物线的对称轴 x=1 上求一点 Q,使点 Q 到点 A 的距离与到 点 C 的距离之差的绝对值最大,并求出此时点 Q 的坐标; (4)若 P 是抛物线上位于直线 BC 下方的一个动点,求△BCP 的面积 的最大值. .

第 1 页 共 4 页

2.(2012?扬州)若抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0)、B(3,0)、

C(0,3)三点,直线 l 是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式; (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; (3)在直线 l 上是否存在点 M,使△MAC 为等腰三角形?若存在,直接 写出所有符合条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1 考 点: 专 题: 分 综合题;分类讨论。 二次函数综合题。

图2

(1)直接将 A、B、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系

析: 数即可. (2)由图知:A、B 点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线 的对称性以及两点之间线段最短可知: 若连接 BC, 那么 BC 与直

第 2 页 共 4 页

线 l 的交点即为符合条件的 P 点. (3)由于△MAC 的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论: ①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC;可先设出 M 点的坐标,然后 用 M 点纵坐标表示△MAC 的三边长, 再按上面的三种情况列式求 解. 解 解:(1)将 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线 y=ax2+

答: bx+c 中,得: ,解得: ∴抛物线的解析式:y=-x2+2x+3.

(2)连接 BC,直线 BC 与直线 l 的交点为 P; 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,将 B(3,0),C(0,3)代入上 式,得: ,解得: ∴直线 BC 的函数关系式 y=-x+3; 当 x-1 时,y=2,即 P 的坐标(1,2).

(3)抛物线的解析式为:x=- =1,设 M(1,m),已知 A(-1, 0)、C(0,3),则:

MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10;
①若 MA=MC,则 MA2=MC2,得:
第 3 页 共 4 页

m2+4=m2-6m+10,得:m=1; ②若 MA=AC,则 MA2=AC2,得: m2+4=10,得:m=± ;

③若 MC=AC,则 MC2=AC2,得: m2-6m+10=10,得:m=0,m=6; 当 m=6 时,M、A、C 三点共线,构不成三角形,不合题意,故 舍去; 综上可知,符合条件的 M 点,且坐标为 M(1, (1,- )、(1,1)、(1,0). )



该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰

评: 三角形的判定等知识,在判定等腰三角形时,一定要根据不同 的腰和底分类进行讨论,以免漏解.

第 4 页 共 4 页


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图