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2015级高考数学(重庆专用 理科)一轮复习教学案:第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算


第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算
考纲要求 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、体会元素与集合的关系(属于或不属于). (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并 集与 交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

1.集合元素的三个特征:______、______、______. 2.元素与集合的关系是____或______关系,用符号____或 ____表示. 3.集合的表示法:______、______、图示法. 4.常用数集:自然数集______;正整数集______(或______);整数集______;有理数 集________;实数集____. 5.集合的分类:按集合中元素的个数划分,集合可以分为______、______. 6.子集、真子集及其性质: 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A); 若集合 A?B,但存在元素 x∈B,且 x ? A,则 A ? B(或 B A); ? ?A;A?A;A?B,B?C?A?C. 若集合 A 含有 n 个元素,则 A 的 子集有____个,A 的非空子集有____个,A 的非空真 子集有____个. 7.集合相等:若 A?B,且____,则 A=B. 8.集合的并、交、补运算: 并集:A∪B=____________; 交集:A∩B=__________; 补集:?UA=__________;U 为全集,?UA 表示集合 A 相对于全集 U 的补集. 9.集合的运算性质 并集的性质: A∪ ? =A;A∪A=A;A∪B=B∪A; A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩ ? = ? ;A∩A=A;A∩B=B∩A; A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)= ? ;?U(?UA)=A; ?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB); ?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
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1. (2013 届重庆一中月考)已知 A={x|x>-1, x∈N}, B={x|log2x<1}, 则 A∩B=( ). A.{0,1} B.{1} C.{x|-2<x<1} D.{x|-2<x<2} 2.(2012 山东高考)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ).

B.{2,3,4} D.{0,2,3,4} k 1 k 1 ? ? ? ? ? x= + ,k∈Z? , 3.设集合 P=?x?x=3+6,k∈Z? ,Q=?x? 6 3 ? ? ? ? ? 则( ). A.P=Q B.P Q C.P Q D.P∩Q= ? 4.(2012 湖北高考)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则 满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 5.设 集合 A={-1,1,3}, B={a+2,a2+4}, A∩B={3},则实数 a 的值为__________.

A.{1,2,4} C.{0,2,4}

一、集合的概念 【例 1-1】若集合 A={2,3,4},B={x|x=n· m,m,n∈A,m≠n},则集合 B 的元素个 数为( ). A.2 B.3 C.4 D.5 【例 1-2】已知集合 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且 1∈A,则 2 014a 的值为 __________. 方法提炼 1.研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用 描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么. {(x,y)|y= 集合 {x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} f(x)} 函数 y=f(x) 集合的 方程 f(x)= 不等式 f(x) 函数 y=f(x) 函数 y=f(x) 图象上的点 意义 0 的解集 >0 的解集 的定义域 的值域 集 2.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足互异性. 3.空集是一个特殊的集合,要注意正确区分 ? ,{0},{ ? }三个符号的含义. ? 是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素 0 的集合,它不是空集,因为 它有一个元素,这个元素是 0.{ ? }是含有一个元素 ? 的集合. 请做演练巩固提升 1 二、集合间的基本关系 b ? ? 【例 2-1】 已知 a∈R, b∈R, 若?a,a,1?={a2, a+b,0}, 则 a2 014+b2 014=__________. ? ? 2a-x 【例 2-2】已知集合 A={x|(x-2)(x-3a-1)<0},函数 y=lg 的定义域为集 x-?a2+1? 合 B.求满足 B?A 的实数 a 的取值范围. 方法提炼 1.解决有关集合相等的问题,应利用集合相等的定义,首先分析已知元素在另一个集 合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程(组),求解,还要注意检验. 2.集合 A 中元素的个数记为 n,则它的子集的个数为 2n,真子集的个数为 2n-1,非空 真子集的个数为 2n-2. 3.通过集合之间的关系,求参数的取值范围,最终是要通过比较区间端点的大小来实 现,因此确定两个集合内的元素,成为解决该类问题的关键.由于元素的属性中含有参数, 所以分类讨论成为必然,分类讨论时要注意不重不漏. 请做演练巩固提升 2 三、集合的基本运算 【例 3-1】 (2012 广东粤西北九校高三联考)设函数 f(x)=lg(1-x2), 集合 A={x|y=f(x)},

B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集合为(

).

A.[-1,0] B.(-1,0) C.(-∞,-1 )∪[0,1) D.(-∞,-1]∪(0,1) 【例 3-2】设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 方法提炼 1.集合运算的常用方法 (1)集合元素离散时借助 Venn 图运算; (2)集合元素连续时借助数轴运算,借助数轴运算时应注意端点值的取舍. 2.常用重要结论 (1)A∩B=A?A?B; (2)A∪B=A?A?B. 3.A∩B= A∪B?A=B. 请做演练巩固提升 4
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忽视集合为空集的情况而失误 【典例 1】已知集合 A={x|x +x-2=0},B={x|ax=1 },若 A∩B=B,则 a=( ). 1 A.- 或 1 B.2 或-1 2 1 C.-2 或 1 或 0 D.- 或 1 或 0 2 解析:依题意可得 A∩B=B?B?A. 因为集合 A={x|x2+x-2=0}={-2,1}, 1 当 x=-2 时,-2a=1,解得 a=- ; 2 当 x=1 时,a=1; 又因为 B 是空集时也符合题意,这时 a=0,故选 D. 答案:D 【典例 2】若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B?A,则由 m 的可 取值组成的集合为__________. 解析:当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B= ? ,满足 B?A; 若 B≠ ? ,且满足 B?A,如图所示,
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m+1≤2m-1, ? ? 则?m+1≥-2, ? ?2m-1≤5,

m≥2, ? ? 即?m≥-3, ? ?m≤3,

∴2≤m≤3. 故 m<2 或 2≤m≤3,即所求集合为{m|m≤3}. 答案:{m|m≤3} 答题指导: 1.典例 1 易出现忽略 a=0 的情况,典例 2 易出现不讨论 B= ? 的情况. 2.在解决有关 A∩B= ? ,A∪B= ? ,A?B 等集合问题时,往往容易忽略空集的情 况,一定要先考虑 ? 是否成立,以防漏解.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

1.(2013 届重庆青木关中学月考)若集合 P={0,x},Q={1,2},P∩Q={2},则 P∪Q =( ). A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2} 2.(2012 课标全国高考)已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( ). A.A B B.B A C.A=B D.A∩B= ? 3.设集合 A={x∈R||x|≤2},B={x∈Z| x≤a}且 A∩B=B,则 a 的取值范围是( ). A.(-∞, 2] B.(0, 2] C.(-∞, 3) D.(0, 3) 4. (2012 北京高考)已知集合 A={x∈R|3x+2>0}, B={x∈R|(x+1)(x-3)>0}, 则 A∩B =( ). 2 -1,- ? A.(-∞,-1) B.? 3? ? 2 ? C.? D.(3,+∞) ?-3,3? 5.(2012 山东济宁模拟)设集合 P={x|sin x=1,x∈R},Q={x|cos x=-1,x∈R},S ={x|sin x+cos x=0,x∈R},则( ). A.P∩Q=S B.P∪Q=S C.P∪Q∪S=R D.(P∩Q)?S

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 1.确定性 互异性 无序性 2.属于 不属于 ∈ ? 3.列举法 描述法 4.N N* N+ Z Q R 5.有限集 无限集 6.2n 2n-1 2n-2 7.B?A 8.{x|x∈A,或 x∈B} {x|x∈A,且 x∈B} {x|x∈U,且 x?A} 基础自测 1.B 2.C 解析:易知?UA={0,4}, 所以(?UA)∪B={0,2,4},故选 C. 2k+1 k+2 3.B 解析:P 中 x= ,Q 中 x= , 6 6 ∴P Q. 4. D 解析: 由题意可得, A={1,2}, B={1,2,3,4}. 又∵A?C?B, ∴C={1,2}或{1,2,3} 或{1,2,4}或{1,2,3,4},故选 D. 5.1 解析:∵A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},a2+4>3, ∴a+2=3,a=1. 考点探究突破 【例 1-1】B 解析:由题意知,B 中的元素有:2×3=6,2×4=8,3×4=12,因此 B ={6,8,12},故选 B. 【例 1-2】1 解析:当 a+2=1,即 a=-1 时, (a+1)2=0,a2+3a+3=1 与 a+2 相同, ∴不符合题意. 当(a+1)2=1,即 a=0 或 a=-2 时, ①a=0 符合要求. ②a=-2 时,a2+3a+3=1 与(a+1)2 相同,不符合题意. 当 a2+3a+3=1,即 a=-2 或 a=-1. ①当 a=-2 时,a2+3a+3=(a+1)2=1,不符合题意. ②当 a=-1 时,a2+3a+3=a+2=1,不符合题意. 综上所述,a=0. ∴2 014a=1. 【例 2-1】1 解析:由题意知 b=0,因此集合化简为{a,0,1}={a2,a,0},因此 a2=1, 解得 a=± 1. 经检验 a=1 不符合集合元素的互异性, 故 a=-1.故 a2 014+b2 014=1. 【例 2-2】解:由于 2a≤a2+1,当 2a=a2+1 时,即 a=1 时,函数无意义, ∴a≠1,B={x|2a<x<a2+1}. 1 ①当 3a+1<2,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}, 3
[来源:学 .科.网 ]

? ?2a≥3a+1, 要使 B?A 成立,则? 2 ?a +1≤2, ? 即 a=-1.

1 ②当 3a+1=2,即 a= 时, 3 10? ? 2 <x< ? ,此时不满足 B?A; A= ? ,B=?x? 9? ? ?3 1 ③当 3a+1>2,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}, 3

?2a≥2, ? 要使 B?A 成立,则? 2 ? ?a +1≤3a+1, 即 1≤a≤3.又 a≠1,故 1<a≤3. 综上所述,满足 B?A 的实数 a 的取值范围是{a|1<a≤3}∪{a|a=-1}. 【例 3-1】D 解析:因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1}, 则 u=1-x2∈(0,1], 所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0}, A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0], 故题图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1),选 D. 【例 3-2】解:由 x2-3x+2=0, 得 x=1 或 x=2, 故集合 A={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入 B 中的方程, 得 a2+4a+3=0?a=-1 或 a=-3. 当 a=-1 时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件; 当 a=-3 时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件, 综上,a 的值为-1 或-3. (2)对于集合 B, Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3). ∵A∪B=A ,∴B?A, ①当 Δ<0,即 a<-3 时,B= ? ,满足条件; ②当 Δ=0,即 a=-3 时,B={2},满足条件; ③当 Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2}才能满足条件, 则由根与系数的关系得 5 ? ? ?a=-2, ?1+2=-2(a+1) ? ?? 矛盾; 2 ?1×2=a -5 ? ?a2=7, ? 综上,a 的取值范围是(-∞,-3]. 演练巩固提升 1.D 2.B 解析:由题意可得,A={x|-1<x<2}, 而 B={x|-1<x<1},故 B A. 3.C 2? ? 4.D 解析:由题意得,A=?x|x>-3?,B={x|x<-1,或 x>3}, ? ? 所以 A∩B=(3,+∞). π 5.D 解析:方法一:由 sin x=1 得,x=2kπ+ ,k∈Z, 2 π ? ? x=2kπ+ ,k∈Z? ; 所以 P=?x? 2 ? ? ? 由 cos x=-1 得,x=2kπ+π,k∈Z,
[来源:学。科。网 Z。 X。X。 K]

所以 Q={x|x=2kπ+π,k∈Z}; 由 sin x+cos x=0 得, π? 2sin? ?x+4?=0, π? 即 sin? ?x+4?=0, π π 可得 x+ =kπ,k∈Z,即 x=kπ- ,k∈Z, 4 4 π ? ? x=kπ- ,k∈Z? . 所以 S=?x? 4 ? ? ? π ? ? x=2kπ+ ,k∈Z? ∩{x|x=2kπ+π,k∈Z}= ? , 由于 P∩Q=?x? 2 ? ? ? 因此(P∩Q)?S,所以选项 D 正确. 方法二:P 表示终边落在 y 轴非负半轴上角的集合,Q 表示终边落在 x 轴非正半轴上角 的集合,故 P∩Q= ? ,所以选项 D 正确.


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