fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

2007-2014年广东高考试题分类汇编(10)数列(解答题)


2007-2014 年广东高考试题分类汇编(10)数列
三、解答题: 1. (2007 年高考)已知函数 f ( x) ? x2 ? x ?1 ,?,? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根 (? ? ? ) , f ?( x ) 是 f ( x ) 的导数.设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (1)求 ?,? 的值; (2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln

f (an ) (n ? 1, 2, ) . f ?(an )

an ? ? (n ? 1, 2, ) .求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an ? ?

【解析】(1) 由 x ? x ? 1 ? 0 ,得 x ?
2

?1 ? 5 , 2

∴? ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ,? ? . 2 2
2 2 an ? an ? 1 an ?1 , ? 2an ? 1 2an ? 1

(2)

f ? ? x ? ? 2x ? 1, an?1 ? an ?

2 an ?1 1? 5 3? 5 ? 1? 5 ? 2 ? a ? 1 ? 5 a ? a ? ? ? ? a ? ? ?2 n n n an ?1 ? ? 2an ? 1 2 2 2 ? ?? n ? 2 ? ?? ? , an ?1 ? ? an ? 1 1 ? 5 3? 5 ? 1 ? 5 ? ? an ? ? ? 2 ? an ? 1 ? 5 an ? ? an ? ? 2an ? 1 2 2 ? 2 ?

? ?

? ?

2

∴ bn?1 ? 2bn ,又

b1 ? l n

a1 ? ? 3? 5 ? ln ? a1 ? ? 3? 5

1 ? 4 ln 2

5



∴数列 ?bn ? 是一个首项为 4 ln

1? 5 ,公比为 2 的等比数列; 2

∴ Sn ?

4 ln

1? 5 1 ? 2n ? ? 1? 5 2 ? 4 ? 2n ? 1? ln . 1? 2 2

2. (2008 年高考)设数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ?

1 (an ?1 ? 2an ? 2 ) (n ? 3 , 4 , .数列 ) {bn } 满足 3 b1 ? 1, bn (n ? 2,3, ) 是非零整数,且对任意的正整数 m 和自然数 k ,都有 ?1 ? bm ? bm?1 ? ? bm?k ? 1.

(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)记 cn ? nanbn (n ? 1,2,

) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn . 1 2 【解析】 (1)由 an ? (an ?1 ? an ? 2 ) 得 an ? an ?1 ? ? (an ? 1? an ? ) 2 3 3

(n ? 3 )

1

又 a2 ? a1 ? 1 ? 0 , ? 数列 ?an?1 ? an ? 是首项为 1 公比为 ?

an ? a ) ?( a ) ?( a ) ? 1 ?( a 2 ? a 1 3 ? a 2 4 ? a 3

2 ? 2? 的等比数列, an?1 ? an ? ? ? ? 3 ? 3? ? n( a ? n? a 1 )
n ?1

n ?1

? 2? 1? ? ? ? n ?1 2 n?2 8 3? 2? 3? ? 2? ? 2? ? 2? ? ? ? ?? ? , ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 5 5? 3? ? 3? ? 3? ? 3? 1? 3 ? ?1 ? b1 ? b2 ? 1 ? ?1 ? b2 ? b3 ? 1 ? ? 由 ? ?1 ? b2 ? 1 得 b2 ? ?1 ,由 ? ?1 ? b3 ? 1 得 b3 ? 1 ,… ? b ? Z,b ? 0 ? b ? Z,b ? 0 2 3 ? 2 ? 3
同理可得当 n 为偶数时, bn ? ?1;当 n 为奇数时, bn ? 1;因此 bn ? ?

? 1 当 n 为奇数时 ?-1 当 n 为偶数时

n ?1 ? 8 3 ?2? ? n ? n? ? 当 n 为奇数时 5 ?3? (2) c ? na b ? ? 5 Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? cn ? n n n n ?1 8 3 2 ? ? ? ? 当 n 为偶数时 ?? 5 n ? 5 n ? ?3? ? 当 n 为奇数时, 0 1 2 3 n ?1 8 8 8 8 8 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? Sn ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? n) ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5 5 5 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?3? ? 0 1 2 3 n ?1 ? ? 4 ? n ? 1? 3 ?2? ?2? ?2? ? 2? ? 2? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ? 3? ? 3? ? ? ?3? ? 当 n 为偶数时 8 8 8 8 8 3? 2 2 2 2 2 ? Sn ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? n) ? ?1? ( )0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? ? n( ) n?1 ? 5 5 5 5 5 5? 3 3 3 3 3 ? 4n 3 ? 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ?1? ( )0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? ? n( ) n?1 ? 5 5? 3 3 3 3 3 ?

2 2 2 2 2 ? n( ) n ?1 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 ①× 得: Tn ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? ? n( ) n 3 3 3 3 3 3 3
令 Tn ? 1? ( )0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ?

……① ……②

1 2 2 2 2 ①-②得: Tn ? 1 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ( ) 4 ? 3 3 3 3 3
n

2 n 2 n ?1 2 n 1? ( ) 3 ? n( 2 ) n ? 3 ? ? 3 ? n ? ( 2 ) n , ? ( ) ? n( ) ? 3 3 2 3 3 1? 3

?2? ∴ Tn ? 9 ? ? 9 ? 3n ? ? ? , ?3? ? 4n ? 23 9 ? n ? 3? 2 n 当 n 为奇数时 ? ( ) ? ? 5 5 3 因此 Sn ? ? ?? 4n ? 27 ? 9 ? n ? 3? ( 2 )n 当 n 为偶数时 ? 5 5 3 ? 1 x 3. (2009 年高考)已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的图像上一点.等比数列 ?an ? 的前 n 项 3
和为 f (n) ? c .数列 ?bn ? (bn ? 0) 的首项为 c 且前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn?1 ?
2

Sn ? Sn ?1 (n ? 2) .

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?

? 1 ? 1000 的最小正整数 n 是多少? ? 的前 n 项和为 Tn ,问满足 Tn ? 2009 ? bnbn ?1 ?
1 1 x ,∴ f ( x) ? ( ) . 3 3

【解析】 (1)∵ f ?1? ? a ?

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,∴ c ? 1 . a3 ? 2 3 3 27
又公比 q ?

2 1 1 a2 1 ? ,所以 an ? ? ( ) n ?1 ? ?2( ) n , n ? N * ; 3 3 3 a1 3

∵ Sn ? Sn ?1 ?

?

Sn ? Sn ?1

??

Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1

?

? n ? 2? ,

又 bn ? 0 , Sn ? 0 ,∴ Sn ? Sn?1 ? 1 ; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2 ,

2 * 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1( n ? N ).

(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?
1? ?? 3? 1 1 1 ? n ? 1 ?1 ?1 1 ? 1 ? 1 ?1 1? ; ? ? ? ? ? ? ? ? ?K ? ? ? ? ?1 ? ?? 2 n?2 n 1? 2 1 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 2 ? 3 ?5 ?2 5 ? 7 ? 2 ?

1? ? ?1 ? 2?
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? ,得 n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112 . 2n ? 1 2009 9 2009

4. (2011 年高考)

设 b>0,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ?

nban?1 (n ? 2) . an ?1 ? n ? 1

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , 2an ? b
n ?1

? 1.

3

【解析】∵ an ?

nban?1 n 2 (n ? 1) 1 (n ? 2) ,∴ an an?1 ? 2(n ?1)an ? nban?1 ,∴ ? ? , an ?1 ? 2n ? 2 an b an ?1 b
n n ?1 ? ?1, an an?1

当 b ? 1 时, ∴

∴当 n ? 2 时, ?

1 1 ?n? ? 是以 a ? b ? 1 为首项,公差为 1 的等差数列, 1 ? an ?
∵ a1 ? 1 也符合, ∴ an ? 1 , n ? N .



n ? 1 ? (n ? 1) ? n , ∴ an ? 1 . an

当 b ? 1 时, 令 b(

n n ?1 n n ?1 1 ? t) ? ? t , ∴b ? ? t (1 ? b) , ∴ t ? , an an ?1 an an ?1 1? b
n 1 ? ) an 1 ? b 1 ? , ∴ n ?1 1 b ? an ?1 1 ? b (

∴ b(

n 1 n ?1 1 ? )? ? an 1 ? b an ?1 1 ? b

∴当 n ? 2 时, ?

1 1 1 1 1 ?n 1 ? 1 ? ? 是以 a ? 1 ? b ? b ? 1 ? b ? b(1 ? b) 为首项,公比为 的等比数列, b 1 ? an 1 ? b ?



n n 1 1 1 ? ? ( ) n?1 , ∴ an ? n(1 ? b)b . an 1 ? b b(1 ? b) b 1 ? bn

∵ a1 ? b 也符合, ∴ an ?

n(1 ? b)b n , n? N . 1 ? bn
当 b ? 1 时, an ?

综上:当 b ? 1 时, an ? 1 , n ? N .

n(1 ? b)b n ,n? N . 1 ? bn

(2) 证明:当 b ? 1 时, an ? 1 , bn?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 . ∴对于一切正整数 n , 2an ? b 当 b ? 1 时, ∴ an ?
n?1

?1 .
∴要证 2an ? b
n?1

n(1 ? b)b n , 1 ? bn

?1 .

2n(1 ? b)b n 即证 ? b n ?1 ? 1 . n 1? b
即证

2n 1 ?b? n n 即证 1 ? b b . 1? b

2n 1 ?b? n . n?2 n ?1 1? b ? b ? ??? ? b ? b b
2

4

1 )(1 ? b ? b 2 ? ? ? ? ? b n ? 2 ? b n ?1 ) ? 2n . n b 1 2 n?2 n ?1 设 S ? (b ? n )(1 ? b ? b ? ? ? ? ? b ? b ) , b 1 1 1 1 2 3 n ∴ S ? (b ? b ? b ? ? ? ? ? b ) ? ( n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? ? ? ) b b b b 1 1 1 1 ? (b ? ) ? (b 2 ? 2 ) ? (b 3 ? 3 ) ? ? ? ? ? (b n ? n ) b b b b
即证 (b ? ∴根据均值不等式得:

S ? 2 b?

1 1 1 1 ? 2 b 2 ? 2 ? 2 b3 ? 3 ? ? ? ? ? 2 b n ? n b b b b

? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2n .
∴当 b ? 1 时,对于一切正整数 n , 2an ? b 综上:对于一切正整数 n , 2an ? b
n ?1 n ?1

? 1.

? 1.

5. (2012 年高考) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn , 满足 Tn ? 2Sn ? n2,n ? N * . (1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式. 【解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1, ∵ a1 ? S1 ? T1 ,∴ a1 ? 2a1 ?12 ,∴ a1 ? 1 , (2)当 n ? 2 时,

Sn ? Tn ? Tn?1 ? (2Sn ? n2 ) - [2Sn?1 ? (n ?1)2 ]
? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2n ? 1 ? 2an ? 2n ? 1 ,
∵当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2n ? 1) - [2an?1 ? 2(n ?1) ? 1]
∴ an ? 2an?1 ? 2 , ∴ an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) , ∴数列 {an ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 2 ? 3 ? 2n?1 ,∴ an ? 3 ? 2
n?1

? 2,
5

∵ an ? 1 ? 3 ? 21?1 ? 2 , ∴ an ? 3 ? 2n?1 ? 2 , n ? N .
*

2 ? 6. ( 2013 年高考)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1,n ? N , 且

a2 , a5 , a14 构成等比数列.
(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 ? . an an ?1 2

2 2 【解析】 (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,

an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4

2

2 2 an an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

?

? 2n ?1?? 2n ? 1?

1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
7 .( 2014 年 高 考 ) 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 Sn 满 足
2 Sn ? n2 ? n ? 3 Sn ? 3 n2 ? n ? 0, n ? N ? .

?

?

?

?

(1)求 a1 的值;
6

(2)求数列 ?an ?的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

【考点】数列的通项公式的求法,放缩法 【答案】
2 (1)将n ? 1代入S n ? ? n 2 ? n ? 3? S n ? 3 ? n 2 ? n ? ? 0, n ? N ?中,

得:S1 ? 2
2 (2) S n ? ? n 2 ? n ? 3? S n ? 3 ? n 2 ? n ? ? 0 2 ? ?? ? S n ? ? n ? n ? ? ? S n ? 3? ? 0

即:a1 ? 2

海帆教育发布

? S n ? n 2 ? n或S n ? -3 ? 舍去 ? 海帆教育,中小学课外辅导专家 ? S n-1 ? ? n -1? ? ? n -1?, ? n ? 2 ? 提分热线:400-0769-889
2

? S n ? S n-1 ? 2n, ? n ? 2? 即:an ? 2n, ? n ? 2? 上式对于n ? 1时也成立 故:an ? 2n, ?n ? N* ? (3) 1 1 4 4 4 1 1 ? = ? ? ? ? 2 2 an ? an ? 1? 2n ? 2n ? 1? 16n ? 8n 16n ? 8n ? 3 ? 4n ? 1?? 4n ? 3 ? ? 4n ? 1? ? 4n ? 3 ?

1 1 1 故: ? ? a1 ? a1 ? 1? 3 7 1 1 1 ? ? a2 ? a2 ? 1? 7 11 …………………… 1 1 ? ? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1? ? 1 ? 1 1 ?1 1? ?1 1 ? ? ? ? ? + ? ? ? +…… ? ? ? ? 4n ? 1? ? 4n ? 3? ? ? an ? an ? 1? ? 3 7 ? ? 7 11 ? ? ? 1 1 = 3 ? 4n ? 3 ? < 1 3

7


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图