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2019高中数学 初升高衔接课学案 新人教A版必修1

初升高衔接课
第一部分 数与式的运算 ●知识点 1 常用的乘法公式 (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a -b . (2)立方差公式:(a-b)(a +ab+b )=a -b . (3)立方和公式:(a+b)(a -ab+b )=a +b . (4)完全平方公式:(a±b) =a ±2ab+b . (5)三数和平方公式:(a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc. (6)完全立方公式:(a±b) =a ±3a b+3ab ±b . (7)a +b =(a+b)(a -ab+b ). (8)a -b =(a-b)(a +ab+b ). [对点练] 计算: (1)(4+m)(16-4m+m ); 1 2? ?1 1 ?? 1 2 1 (2)? m- n?? m + mn+ n ?; 5 2 25 10 4 ? ? ?? (3)(a+2)(a-2)(a +4a +16); (4)(x +2xy+y )(x -xy+y ) . 【导学号:37102000】 [解] (1)原式=4 +m =64+m .
3 3 3 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2

?1 ?3 ?1 ?3 1 3 1 3 (2)原式=? m? -? n? = m - n . 8 ?5 ? ?2 ? 125
(3)原式=(a -4)(a +4a +4 )=(a ) -4 =a -64. (4)原式=(x+y) (x -xy+y )
2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 2 3 3 6

=[(x+y)(x -xy+y )] =(x +y ) =x +2x y +y . ●知识点 2 二次根式
6 3 3 6

(1)定义:式子 a(a≥0)叫做二次根式. (2)性质: ①( a) =a(a≥0); ② a =|a|; ③ a· b= ab(a≥0,b≥0); ④
2 2

b = a

b (a>0,b≥0). a

(3)分母(子)有理化的方法: 分母和分子都乘以分母(子)的有理化因式,化去分母(子)中的根号.如 a x+b y与 a x-b y,

a x+b 与 a x-b 互为有理化因式.
-1-

[对点练] 1.化简: (1) 1 ;(2) . 2-1 2+ 2 2+1 2- 2- 2 + 2 2+ = 2+1. = 2- 2 . 2 1

[解] (1)原式= (2)原式=

2- 2 = 2 - 2 2- 2

2

2.化简下列各式: (1) (2) 3- -x
2 2



3- -x
2

2





(x≥1). 【导学号:37102001】

[解] (1)原式=| 3-2|+| 3-1|=2- 3+ 3-1=1. (2)原式=|x-1|+|x-2| =?
? ? ? ?

x- x-

+ x- - x-

=2x- =

x x



●知识点 3 因式分解的常用方法 1.提公因式法

pa+pb+pc=p(a+b+c).
2.公式法 (1)平方差公式:a -b =(a+b)(a-b); (2)完全平方公式:a ±2ab+b =(a±b) ; (3)立方和和立方差公式:a ±b =(a±b)(a ?ab+b ). 3.十字相乘法 (1)x +(p+q)x+pq 型:x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). (2)二次三项式 mnx +(mb+na)x+ab 型: 将二次项系数 mn,常数项 ab 写成如图 1 所示的十字形式,发现“十字相乘,乘积相加”等于一 次项的系数 mb+na,即 mnx +(mb+na)x+ab=(mx+a)(nx+b).
2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2

图1 [对点练] 1.分解因式: (1)x -6x +9x; (2)a (x-y)+4(y-x). [解] (1)原式=x(x -6x+9)=x(x-3) . (2)原式=a (x-y)-4(x-y) =(x-y)(a -4)=(x-y)(a+2)(a-2).
-22 2 2 2 2 3 2

2.用十字相乘法分解下列因式 (1)x -3x+2; (2)x +4x-12; (3)x -(a+b)xy+aby ; (4)xy-1+x-y. 【导学号:37102002】 [解] (1)如图①, 将二次项 x 分解成图中的两个 x 的积, 再将常数项 2 分解成-1 与-2 的乘积, 而图中的对角线上的两个式子乘积的和为-3x,就是 x -3x+2 中的一次项,所以,有 x -3x+2 =(x-1)(x-2).
2 2 2 2 2 2 2

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图①中的两个 x 用 1 来表示(如图② 所示). (2)由图③,得 x +4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图④,得 x -(a+b)xy+aby =(x-ay)(x-by). (4)xy-1+x-y=xy+(x-y)-1 =(x-1)(y+1)(如图⑤所示).
2 2 2

第二部分 ●知识点 1 一元一次方程

一元一次方程与一元二次方程

(1)定义:在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是 1,这样的方程叫一元一次方 程. (2)解一元一次方程的步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数系数化为 1. (3)关于方程 ax=b 解的讨论: ①当 a≠0 时,方程有唯一解 x= ; ②当 a=0,b≠0 时,方程无解; ③当 a=0,b=0 时,方程有无数解;此时任一实数都是方程的解. [对点练] 1.已知(a -1)x -(a+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程.求代数式 2 008(a+x)(x-2a)+ 3a+5 的值. [解]
? ?a -1=0, 根据题意,得? ?- a+ ?
2 2 2

b a



解得 a=1, 则方程变为-2x+8=0,解得 x=4, 原式=2 008(1+4)(4-2)+3+5=20 088.
-3-

2.解下列一元一次方程: (1)-3x+7=4x+21.(2)

x+4
5

-1=

x-2
2

+x.

[解] (1)移项得-3x-4x=21-7, 合并得:-7x=14,系数化为 1 得:x=-2. (2)去分母得:2(x+4)-10=5(x-2)+10x, 去括号得:2x+8-10=5x-10+10x, 移项得:2x-15x=-8,合并同类项得:-13x=-8, 8 系数化为 1 得:x= . 13 ●知识点 2 根的判别式 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b -4ac 来判定, 通常用符号“Δ ”来表示. (1)当 Δ >0 时,方程有两个不相等的实数根
2 2 2

x1,2=

-b± b -4ac ; 2a

(2)当 Δ =0 时,方程有两个相等的实数根

b x1=x2=- ; 2a
(3)当 Δ <0 时,方程没有实数根. [对点练] 1.判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根. 【导学号:37102003】 (1)x -3x+3=0. (2)x -ax-1=0. (3)x -ax+(a-1)=0. (4)x -2x+a=0. [解] (1)因为 Δ =3 -4×1×3=-3<0, 所以方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式 Δ =a -4×1×(-1)=a +4>0, 所以方程一定有两个不等的实数根
2 2 2 2 2 2 2

a+ a2+4 a- a2+4 x1= ,x2= .
2 2
2

(3)由于该方程的根的判别式为 Δ =a -4×1×(a-1)=a -4a+4=(a-2) , 所以,①当 a=2 时,Δ =0, 所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ >0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (4)由于该方程的根的判别式为 Δ =2 -4×1×a=4-4a=4(1-a),
2 2 2

-4-

所以①当 Δ >0,即 4(1-a)>0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根 x1=1+ 1-a,x2=1- 1-a. ②当 Δ =0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 Δ <0,即 a>1 时,方程没有实数根. 2.选用恰当的方法解下列一元二次方程: (1)x +x=0. (2)x +6x+9=0. (3)x -2x-15=0. (4)ax +(a+1)x+1=0(a≠0). [解] (1)方程变为 x(x+1)=0,解得 x1=0,x2=-1. (2)方程变为(x+3) =0,解得 x=-3. (3)方程变为(x+3)(x-5)=0, 解得 x1=-3,x2=5. (4)方程变为(ax+1)(x+1)=0, 1 解得 x1=- ,x2=-1.
2 2 2 2 2

a

●知识点 3 根与系数的关系 (1)根与系数的关系:若方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两个根为 x1,x2, 那么 x1+x2=- ,x1x2= . (2)应用根与系数的关系巧设方程: 若已知 x1,x2 是一元二次方程的两个根,则可设一元二次方程为 x -(x1+x2)x+x1x2=0; [对点练] 1.已知方程 5x +kx-6=0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 【导学号:37102004】 [解] 法一(代入法):因为 2 是方程的一个根, 所以 5×2 +k×2-6=0,所以 k=-7. 所以方程就为 5x -7x-6=0, 3 解得 x1=2,x2=- . 5 3 所以方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5 6 法二(根与系数的关系):设方程的另一个根为 x1,则 2x1=- , 5 3 ? 3? k 所以 x1=- .由?- ?+2=- ,得 k=-7. 5 ? 5? 5 3 所以方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5 2.已知 x1,x2 是方程 x -2x-1=0 的两个实数根,求下列式子的值:
-52 2 2 2 2 2

b a

c a

(1)x1+x2. (2)(2x1-1)(2x2-1). (3)x1 +x2 . 1 1 (4) + .
2 2

x1 x2

[解] (1)x1+x2=2. (2)(2x1-1)(2x2-1)=4x1x2-2(x1+x2)+1 =4×(-1)-2×2+1=-7. (3)x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2=4+2=6. 1 1 x1+x2 2 (4) + = = =-2. x1 x2 x1x2 -1
2 2 2

第三部分 (1)定义 ①一次函数:

正比例函数、反比例函数、一次函数与二次函数

●知识点 1 正比例函数与一次函数

若两个变量 y,x 间的关系式可以表示成 y=kx+b(b 为常数,k 为不等于 0 的常数)的形式,则称

y 是 x 的一次函数.
②正比例函数: 在一次函数 y=kx+b(k≠0)中,若 b=0,称 y 是 x 的正比例函数. (2)性质 ①正比例函数的特征: 正比例函数 y=kx 的图象是经过原点的一条直线. ②一次函数的图象、性质:

k<0,b<0
图象

k<0,b>0

k>0,b<0

k>0,b>0

象限 随 x 值增大 [对点练]

二、三、四

一、二、四

一、三、四

一、二、三

y 减少
2

y 减少

y 增大
)

y 增大

1.若一次函数 y=(m-2)x+m -3m-2 的图象过点(0,-4),则 m 的值是( A.-4 C.1 C [由题意可知? 解得 m=1.]
?m-2≠0, ? ?m -3m-2=-4. ?
2

B.2 D.2 或 1

2.如图 1 中的折线 ABC 表示某汽车的耗油量 y(单位:L/km)与速度 x(单位:km/h)之间的函数关
-6-

系(30≤x≤120), 已知线段 BC 表示的函数关系中, 该汽车的速度每增加 1 km/h, 耗油量增加 0.002 L/km. 【导学号:37102005】

图1 (1)当速度为 50 km/h、100 km/h 时,该汽车的耗油量分别为________ L/km、________ L/km. (2)求线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式. (3)速度是多少时,该汽车的耗油量最低?最低是多少? [解] (1)设 AB 的解析式为:y=kx+b, 把(30,0.15)和(60,0.12)代入 y=kx+b 中得:
? ?30k+b=0.15, ? ?60k+b=0.12 ?

解得?

? ?k=-0.001, ?b=0.18, ?

所以 AB:y=-0.001x+0.18, 当 x=50 时,y=-0.001×50+0.18=0.13, 由线段 BC 上一点坐标(90,0.12)得: 0.12+(100-90)×0.002=0.14. 答:当速度为 50 km/h,100 km/h 时,该汽车的耗油量分别为 0.13 L/km、0.14 (2)由(1)得:线段 AB 的解析式为:

L/km.

y=-0.001x+0.18.
(3)设 BC 的解析式为:y=kx+b, 把(90,0.12)和(100,0.14)代入 y=kx+b 中得:
?90k+b=0.12, ? ? ? ?100k+b=0.14

解得?

?k=0.002, ? ? ?b=-0.06,

所以 BC:y=0.002x-0.06, 根据题意得?
?y=-0.001x+0.18, ? ?y=0.002x-0.06, ?

解得?

?x=80, ? ?y=0.1. ?

答:速度是 80 km/h 时,该汽车的耗油量最低,最低是 0.1 L/km. ●知识点 2 反比例函数 (1)定义:一般地,如果两个变量 x,y 之间的关系可以表示成 y= (k 为常数,k≠0)的形式,那 么称 y 是 x 的反比例函数.自变量 x 的取值范围是 x≠0. (2)图象与性质: ①当 k>0 时,图象分别位于第一、三象限,每一个象限内,从左往右,y 随 x 的增大而减小;

k x

-7-

②当 k<0 时,图象分别位于第二、四象限,每一个象限内,从左往右,y 随 x 的增大而增大. [对点练] 1.若函数 y=(m+1)x -2 [由题意可知?

m2+3m+1

是反比例函数,则 m=________. 解得 m=-2.]

?m+1≠0, ? ? ?m +3m+1=-1,
2

2.近视眼镜的度数 y(单位:度)与镜片焦距 x(单位:m)成反比例,已知 200 度近视眼镜的镜片 焦距为 0.5 m,则 y 与 x 之间的函数关系式是________. 【导学号:37102006】 100 k (x>0) [由题意,设 y= (k≠0),则

y=

x

x

k 100 200= ,∴k=100.即 y= (x>0)] 0.5 x
●知识点 3 一元二次函数 (1)一元二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与性质.
2

a>0

a<0

图象

顶点 对称轴

?- b ,4ac-b ? ? 2a 4a ? ? ?
x=- y 减小 y 增大 b
2a

2

b x<- 时,随 x 增大 2a b x>- 时,随 x 增大 2a
(2)一元二次函数的三种形式. ①一般式:y=ax +bx+c(a≠0);
2

y 增大 y 减小

②顶点式:y=a(x-h) +k,其中顶点坐标为(h,k)(a≠0); ③两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中 x1,x2 为方程 ax +bx+c=0 的两根. [对点练] 1.求分别满足下列条件的二次函数的解析式: (1)过点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1); (2)过点 A(-3,2),且顶点坐标为(-2,3). [解] (1)设二次函数所对应的解析式为:y=a(x-1)(x+1). 又过点 C(0,1),故 a(0-1)(0+1)=1,即 a=-1. 所以,函数解析式为 y=-x +1.
-82 2

2

(2)设二次函数所对应的解析式为 y=a(x+2) +3, 又过点(-3,2),故 2=a(-3+2) +3,即 a=-1, 所以 y=-(x+2) +3=-x -4x-1. 2.作出函数 y=x -2x-3(-2<x<2)的图象,并求其最大值和最小值. 【导学号:37102007】 [解] 作出函数的图象.由图可知,当 x=1 时,ymin=-4,当 x=-2 时,ymax=5.
2 2 2 2

2

第四部分 ●知识点 1 一元一次不等式(组) (1)一元一次不等式:ax>b(a≠0)的解法 ①当 a>0 时,解得 x> ; ②当 a<0 时,解得 x< .

不等式

b a b a

即不等式两边同除一个正数,不等号不变方向;不等式两边同除一个负数,不等号改变方向. (2)一元一次不等式组的解法 解不等式组,可先对每个不等式求解,再求这些解的公共部分(也就是求同时满足这些不等式的 解),口诀“大大取较大,小小取较小,大小小大中间找”. [对点练] 1.解不等式: (1)3-x<2x+6.(2)

x-2 7-x
2 ≥ 3

.

[解](1)原不等式变为-3x<3,解得不等式的解为 x>-1. (2)原不等式变为 3x-6≥14-2x, 即 5x≥20,解得不等式的解为 x≥4. 2.解不等式组:

x+1 ? ? >1, (1)? 2 ? ?7x-8<9x.

5x- x+ , ? ? (2)?1 3 x-1≤7- x. ? 2 ?2
?x>1, ? ?x>-4, ?

[解](1)不等式组变为?

-9-

故不等式组的解集为 x>1.
? ?2x>5, (2)不等式组变为? ?2x≤8, ?

5 ? ?x> , 即? 2 ? ?x≤4,

5 故不等式组的解集为 <x≤4. 2 ●知识点 2 分式不等式 (1)解形如(x-m)(x-n)>0(<0)的不等式的依据是:符号法则——同号得正,异号得负. ①不等式(x-m)(x-n)>0(m>n),等价于?
? ?x-m>0, ? ?x-n>0 ? ?x-m>0, ?x-n<0 ?

或?

? ?x-m<0, ? ?x-n<0. ? ?x-m<0, ?x-n>0. ?

解得 x>m 或 x<n.

②不等式(x-m)(x-n)<0(m>n),等价于? (2)简单的分式不等式 ①

或?

解得 n<x<m.

? x-m x-n ? x-n x-n >0 等价于(x-m)(x-n)>0; ≥0 等价于? x-m x-m ? ?x-m≠0. ? x-m x-n ? x-n x-n <0 等价于(x-m)(x-n)<0; ≤0 等价于? x-m x-m ? ?x-m≠0.







[对点练] 1.解下列不等式: 2x-3 x+3 (1) <0;(2) 2 ≥0. x+1 x -x+1
?2x-3<0 ? [解](1)原不等式可化为? ?x+1>0 ? ?2x-3>0 ? 或? ?x+1<0 ?

3 ? ?x< 2 ?? ? ?x>-1

3 ? ?x> 或? 2 ? ?x<-1

3 ? -1<x< . 2

? 1?2 3 2 (2)因为 x -x+1=?x- ? + >0, ? 2? 4
所以原不等式可化为 x+3≥0? x≥-3. 2.解不等式 1 ≤3. x+2 【导学号:37102008】 [解]原不等式可化为
? x+ ? 1 -3x-5 3x+5 -3≤0? ≤0? ≥0? ? x+2 x+2 x+2 ? ?x+2≠0

x+

? x<

5 -2 或 x≥- . 3
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场 工 手 B. 织 组 断 垄 D.

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