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高一数学平面向量单元复习精华_图文

第二章 平面向量复习

知识结构

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

线性运算

基本定理 实际背景 向量 坐标表示

向 量 的 实 际 应 用

数量积

知识梳理

1.向量的有关概念 (1)向量: 既有大小,又有方向的量. (2)向量的模(或长度): 表示向量的有向线段的长度. (3)零向量:模为零的向量.

(4)单位向量: 模为1的向量.

(5)相等向量: 长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:

长度相等且方向相反的向量. (7)平行向量(共线向量):
方向相同或相反的非零向量.

(8)向量的数量积:
a· b=|a||b|cosθ .

2.向量的几何运算 (1)加法运算: 三角形法则:
a+b a



平行四边形法则:



a+b

a

(2)减法运算:


三角形法则:
a

a+b



平行四边形法则:

a

-b

a-b

知识梳理

向量加法的运算性质 (1)a+b=b+a; (2)(a+b)+c=a+(b+c); (3)若a与b为相反向量,则a+b=0; (4)若b+c=a,则c=a-b; (5)|a±b|≤|a|+|b|,|a±b|≥||a|-|b||; uuu r uuuu uuuu r r uuuuuu uuur r (6)OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An = OAn

例 如图,一艘船从长江南岸A点出发,以 5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同 时江水的速度为向东2km/h. (1)使用向量表示江水速度、船速以及船 的实际航行的速度; (2)求船实际航行速度的大小与方向.
C D

A

A

B

(3)数乘运算:
a

λ >1时
λa

λ =1时
λa

0<λ <1时
λa

λ <-1时
λa

λ =-1时
λa

-1<λ <0时
λa

λ =0时 λa

3.向量定理

(1)共线定理:
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当 有唯一一个实数λ ,使b=λ a. (2)基本定理: 若e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量,则对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数λ1,λ 2,使 a= λ1e1+λ2e2.

2.向量数乘的运算性质
(1) λ(μa)=(λμ) a ; (2) (λ+μ) a =λa +μa; (3) λ(a+b)=λa+λb;

?ABC中, ? a , AC ? b, AB 1 3 CN ? CA,CM ? CB, 4 4 以a, b为基底表示MN
A N

uuuu 1 r 3 MN = b - a 2 4

M B
C

练习1 设a,b是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解:BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ k=-λ



λ=-1 k=-1 ∴k=-1

3.数量积的运算性质 (1)a· b=b· a; (2)(λa)·=λ(a· b b)=a· (λb); (3)(a+b)· c=a· c+b· c; (4)a⊥b a· b=0; (5)a2=|a|2; (6)|a· b|≤|a||b|;

?

a× b (7) cos q = ; | a || b |
a ×b (8) | a | cos q = . |b|

例1 已知向量a、b满足:|a|=4,且 a· (a-b)=12,求向量b在a方向上的投影.

1
例2 已知非零向量a、b满足: (a-b)⊥b,且(a+2b)⊥(a-2b),求向量 a与b的夹角. 60°

例3 已知向量a、b、c两两之间的夹 角为120°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3, 求向量a+b+c与a的夹角.
150° 例4 设向量a、b不共线,已知 uuu r uuu r uuu r A B = 2a+kb, BC = a+b, CD = a-2b, 且A、B、D三点共线,求实数k的值. k=-1

? ? ? ? 练习4:已知 a ? 2, ? 3, b的夹角为120o,求 b a与 2 2 () ? b; () ? b ; () ( a ? b ( ? 3b 1a 2a 3 2 )a ? )
( ) ? b ; () ? b ; 4 a 5 a
解: 1 a ? b ? a b cos 120o ? 2 ? 3 ? ( ? 1 ) ? ?3 () 2 2 2 2 2 ( ) ? b ? a ? b ? 4 ? 9 ? ?5 2a
( ) ( a ? b ( ? 3b ? 2a ? 5a ? b ? 3b 3 2 )a ? )
2
2 2

? 2 a ? 5 a b cos 120 ? 3 b ? 8 ? 15 ? 27 ? ?34
o

2

() ? b ? (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 7 4 a
2

2

2

() ? b ? (a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? 4 ? 6 ? 9 ? 19 5 a
2

2

2

例5 设e为单位向量,且向量a≠e, 若对任意实数t,不等式|a-te|≥|a- e|恒成立,求证:(a-e)⊥e.
例6 已知向量a、b满足:|a|=4, |b|=3,(2a-3b)?(2a+b)=61,当 t∈[0,1]时,求|a+tb|的取值范围.
[2 3, 4]

1.向量的坐标表示 (1)设i、j是与x轴、y轴同向的两个单 位向量,若a=xi+yj,则a=(x,y); (2)若点A(x1,y1),B(x2,y2),则 uuu r A B =(x2-x1,y2-y1).

2.向量的坐标运算 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a+b=(x1+x2,y1+y2); (2)a-b=(x1-x2,y1-y2); (3)λ a=(λ x1,λ y1); (4)a?b=x1x2+y1y2; (5)向量a,b(b≠0)共线 ? x1y2 =x 2 y1; (6)a⊥b x1x2+y1y2=0; (7)|a| = x 12 + y12 ;

?

a ?b (8) cos q = = a b

x 1x 2

y 1y 2

x 12 + y 12 x 22 + y 22

有向线段 P P2 的 1 中点坐标公式
x1 ? x 2 ? ?x ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? 2

有向线段 P P2 的 1 定比分点坐标公式 x1 ? ?x 2 ? x ? ? ? 1? ? ? ? y ? y1 ? ?y 2 ? ? 1? ?

例1 已知a=(2,1), b=(-3,4),求 a+b,a-b,3a+4b的坐标. a+b=(-1,5), a-b=(5,-3), 3a+4b=(-6,19).

例2设向量a=(1,-3),b=(-2,4), c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c, 2(a-c),d 的有向线段首尾相接能构 成四边形,求向量d 的坐标. d=(-2,-6)

? 例3、若

M (3, ? 2、 N (?5, ? 1) )

1 MP ? 2

MN

求P点的坐标.

例4 设向量a与b的夹角为θ ,已知 a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),求 cosθ 的值. 63
cos q = 65

例5 已知向量a=(1,2),b=(-2, 5 -4),|c|= 5 ,若(a+b)?c = ,求 2 向量a与c的夹角.

120°

? 已知 a

? (2,3),b ? (?1,2),

k a ? b与a ? k b ? ? 平行,求k的值


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