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高考数学复习学案: 函数的单调性与最值。


函数的单调性与最值复习学案
复习目标: 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数 的单调性,会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值.

【高考考法】 1.考查求函数单调性和最值的基本方法. 2.利用函数的单调性求单调区间. 3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围. 【复习指导】 本讲复习首先回扣课本, 从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值 的概念,复习中重点掌握:(1)函数单调性的判断及其应用;(2)求函数最值的各 种基本方法;对常见题型的解法要熟练掌握.

y

y

f ( x) ? x
1 观察函数 f ( x) ? x , f ( x) ? x 2 的图象 0 x 0 x 从左至右看函数图象的变化规律: (1). f ( x) ? x 的图象是_________的,

f ( x) ? x 2 的图象在 y 轴左侧是______的, f ( x) ? x 2 的图象在 y 轴右侧是_______的.
2 (2). f ( x) ? x 在 (??,??) 上, x) f ( 随着 x 的增大而___________; f ( x) ? x 在 (??,0] 上,

f x) ( 随着 x 的增大而_______; f ( x) ? x 在 (0,??) 上, x) f ( 随着 x 的增大而________.
2

2 下图是定义在区间[-5,5]上的函数 y ? f (x) , 根据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间 上,它是增函数还是减函数?

y 3 2 1 x

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 -1 基础梳理 -2 -3

1

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增函数

减函数

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)> f(x2),那么就说函数 f (x ) 在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右图象是上升的 (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满 足 ①对于任意 x∈I,都 条件 . 有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 结论 M 为最大值 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) =M. M 为最小值 自左向右图象是下降的

一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y= x 分 别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞, 0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0, +∞),不能用“∪”连接. 两种形式
2 幸福人生从成都望子成龙学校开始!

设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函 x1-x2 x1-x2 数. ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a, b]上是增函数; 1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x) (x 在[a,b]上是减函数. 两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最 值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函 数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性. 双基自测 【拓展训练】
1.下列函数中,在 (??,0) 上为减函数的是( A.y=3x B.y=-x
2

) C.y=︱x︱ D.y=2x+1 )

2.函数 f ( x) ? (k ? 1) x ? 3 在 (??,??) 上单调递减,则 k 的取值范围是( A.k>0
2

B.k<0

C.k>-1 )函数.

D.k<-1

3.函数 y ? x ? 6 x ? 10在区间(1,4)上为( A.单调递增 B.单调递减

C.先增后减 )

D.先减后增

4.已知函数 f (x) 在(-2,3)上是减函数,则有( A.f(-1)<f(0) B.f(0)<f(2) C.f(1)<f(0)

D.f(-1)<f(1)

5 试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ?

2x 在区间 (0 , 1) 上的单调性. x ?1

3

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6.设 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为 ( A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2) ).

7.(2011· 湖南)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的 取值范围为( ). B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)

A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3]

??1?? 8.(2012· 保定一中质检)已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f??x??<f(1)的实数 x ?? ?? 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) ). B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

9.(2011· 江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______.

2 10.若 x>0,则 x+ x的最小值为________.

4

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考向一 【例 1】?试写出函数 f(x)=
2

函数的单调性的判断

x 的单调性. x +1

【训练 1】 讨论函数 f(x)=

ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

考向二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围) x2+a 【例 2】?已知函数 f(x)= x (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围.

x-5 【训练 2】 函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是 x-a-2 ( A.a=-3 B.a<3 C.a≤-3 D.a≥-3
5 幸福人生从成都望子成龙学校开始!

).

考向三

利用函数的单调性求最值

【例 3】?已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 2 时,f(x)<0,f(1)=- .(1)求证:f(x)在 R 上是减函数; 3 (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

?x1? 【训练 3】 已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f?x ?=f(x1)-f(x2),且当 ? 2? x>1 时,f(x)<0.(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值.

6

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如何解不等式恒成立问题 【示例】 ?(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2-2ax+2, x∈[-1, 当 +∞)时, f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

【试一试】 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是 ________.

课后作业 (满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.(2010·泰州模拟)“a=1”是“函数 f(x)=x -2ax+3 在区间[1,+∞)上为增函 数”的____________条件.
2

?x +4x, ? 2.(2009·天津改编)已知函数 f(x)=? 2 ? ?4x-x ,

2

x≥0, x<0,

若 f(2-a )>f(a),则实数

2

a 的取值范围为________.

3.(2009·宁夏,海南改编)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x) =min{2 ,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为________.
x

7

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4.若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)= ________.

2

a

x+1

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围为

5.已知定义在 R 上的增函数 f(x),满足 f(-x)+f(x)=0,x1,x2,x3∈R,且 x1+x2>0,

x2+x3>0,x3+x1>0,则 f(x1)+f(x2)+f(x3)的符号为________(填“正”、“负”、“不确
定”).

6.(2011·淮安调研)函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________.

7.设 f(x)是增函数,则下列结论一定正确的是________(填序号). ①y=[f(x)] 是增函数;②y=
2

1

f? x?

是减函数;

③y=-f(x)是减函数;④y=|f(x)|是增函数. 1 1 8.(2011·苏州质检)设 0<x<1,则函数 y= + 的最小值是________. x 1-x

二、解答题(共 42 分) 1 9.(14 分)已知函数 f(x)=a- .(1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; |x| (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围.

8

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10.(14 分)已知 f(x)=x +ax+3-a,若 x∈[-2,2]时,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范 围.

2

9

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