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平塘县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

平塘县第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知复合命题 p∧(¬q)是真命题,则下列命题中也是真命题的是( A.(¬p)∨q B.p∨q C.p∧q D.(¬p)∧(¬q) )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 有下列四个命题: ①“若 a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若“q≤1”,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“矩形的对角线相等”的逆命题. 其中真命题为( A.①② ) B.①③ C.②③ D.③④ )

? ? ? ? ? ? 3. 已知向量 a ? (t ,1) , b ? (t ? 2,1) ,若 | a ? b |?| a ? b | ,则实数 t ? ( A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2
1 e

【命题意图】本题考查向量的概念,向量垂直的充要条件,简单的基本运算能力. 4. 已知 e 为自然对数的底数,若对任意的 x ? [ ,1] ,总存在唯一的 y ?[?1,1] ,使得 ln x ? x ? 1 ? a ? y 2e y 成立,则实数 a 的取值范围是( A. [ , e ] )

1 e

B. ( , e]

2 e

C. ( , ??)

2 e

D. ( , e ? )

2 e

1 e

【命题意图】本题考查导数与函数的单调性,函数的最值的关系,函数与方程的关系等基础知识,意在考查运 用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力. 5. 已知 f(x)= A.充分不必要条件 ,则“f[f(a)]=1“是“a=1”的( B.必要不充分条件 的切线的倾斜角( C.60° ) D.135° )

C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 6. 过抛物线 y=x2 上的点 A.30° B.45°

7. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=﹣1,其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1,则下列结论中一 定错误的是( A. ) B. C. D.

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8. 设 x∈R,则 x>2 的一个必要不充分条件是( A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3



9. 用一平面去截球所得截面的面积为 2π,已知球心到该截面的距离为 1,则该球的体积是( A. π B.2 π C.4 π D. π )



10.已知 A={﹣4,2a﹣1,a2},B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9},则 a 的值是( A.a=3 B.a=﹣3 ) C.a=±3 D.a=5 或 a=±3 11.下列命题中正确的是(

(A)若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 ( B ) “ a ? 0 , b ? 0 ”是“

b a ? ? 2 ”的充分必要条件 a b (C) 命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”

2 (D) 命题 p : ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0

12.( A.120

+

) (n∈N )展开式中只有第 6 项系数最大,则其常数项为( B.210 C.252 D.45

2n

*



二、填空题
13.函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=3x﹣2,则 f(1)+f′(1)= .

14.设 α 为锐角,若 sin(α﹣

)= ,则 cos2α=



15 . 已 知 a 、 b 、 c 分 别 是 ?ABC 三 内 角 A、B、C 的 对 应 的 三 边 , 若 c sin A ? ? a cos C , 则

3 sin A?

co Bs? (

3? ) 的取值范围是 ___________. 4

【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质,意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、 转化思想. 16.由曲线 y=2x2,直线 y=﹣4x﹣2,直线 x=1 围成的封闭图形的面积为 17.已知一个算法,其流程图如图,则输出结果是 . .

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18.过椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则 .

椭圆的离心率为

三、解答题
19.某公司春节联欢会中设一抽奖活动:在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为 1,2,3,?,10 的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球,三球号码有且仅有两个连号的为三等奖;奖金 30 元,三球号码 都连号为二等奖,奖金 60 元;三球号码分别为 1,5,10 为一等奖,奖金 240 元;其余情况无奖金. (1)员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望; (2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数的方差是多少?

20.已知函数 f(x)=

(a>0)的导函数 y=f′(x)的两个零点为 0 和 3.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)的极大值为 ,求函数 f(x)在区间[0,5]上的最小值.

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21.如图所示,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中. (1)求 AC 1 1与 B 1C 所成角的大小;

EF 所成角的大小. (2)若 E 、 F 分别为 AB 、 AD 的中点,求 AC 1 1与

22.已知等边三角形 PAB 的边长为 2,四边形 ABCD 为矩形,AD=4,平面 PAB⊥平面 ABCD,E,F,G 分 别是线段 AB,CD,PD 上的点. (1)如图 1,若 G 为线段 PD 的中点,BE=DF= ,证明:PB∥平面 EFG; (2)如图 2,若 E,F 分别是线段 AB,CD 的中点,DG=2GP,试问:矩形 ABCD 内(包括边界)能否找到 点 H,使之同时满足下面两个条件,并说明理由. ①点 H 到点 F 的距离与点 H 到直线 AB 的距离之差大于 4; ②GH⊥PD.

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23.(本小题满分 12 分)

如图长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16, BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=4,D1F=8,过点 E,F,C 的平面 α 与长方体的面 相交,交线围成一个四边形. (1)在图中画出这个四边形(不必说明画法和理由); (2)求平面α 将长方体分成的两部分体积之比.

24.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且 AB⊥BC,O 为 AC 中点. (Ⅰ)证明:A1O⊥平面 ABC; (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值; (Ⅲ)在 BC1 上是否存在一点 E,使得 OE∥平面 A1AB,若不存在,说明理由;若存在,确定点 E 的位置.

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平塘县第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:命题 p∧(¬q)是真命题,则 p 为真命题,¬q 也为真命题, 可推出¬p 为假命题,q 为假命题, 故为真命题的是 p∨q, 故选:B. 【点评】本题考查复合命题的真假判断,注意 p∨q 全假时假,p∧q 全真时真. 2. 【答案】B
2 2 【解析】解:①由于“若 a +b =0,则 a,b 全为 0”是真命题,因此其逆否命题是真命题;

②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,不正确; ③若 x2+2x+q=0 有实根,则△=4﹣4q≥0,解得 q≤1,因此“若“q≤1”,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题是真命 题; ④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题. 综上可得:真命题为:①③. 故选:B. 【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法,考查了推理能力,属于基础题. 3. 【答案】B 4. 【答案】B 【 解 析 】

【解析】由 | a ? b |?| a ? b | 知, a ? b ,∴ a ? b ? t (t ? 2) ? 1?1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ,故选 B.

? ?

? ?

?

?

? ?

5. 【答案】B

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【解析】解:当 a=1,则 f(a)=f(1)=0,则 f(0)=0+1=1,则必要性成立, 若 x≤0,若 f(x)=1,则 2x+1=1,则 x=0, 若 x>0,若 f(x)=1,则 x ﹣1=1,则 x= 即若 f[f(a)]=1,则 f(a)=0 或
2 2

, , ,

, ,

2 若 a>0,则由 f(a)=0 或 1 得 a ﹣1=0 或 a ﹣1=

即 a =1 或 a =

2

2

+1,解得 a=1 或 a=

若 a≤0,则由 f(a)=0 或 1 得 2a+1=0 或 2a+1= 即 a=﹣ ,此时充分性不成立, 即“f[f(a)]=1“是“a=1”的必要不充分条件, 故选:B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据分段函数的表达式解方程即可. 6. 【答案】B
2 【解析】解:y=x 的导数为 y′=2x,

在点 由 k=tanα=1, 解得 α=45°. 故选:B.

的切线的斜率为 k=2× =1,

设所求切线的倾斜角为 α(0°≤α<180°),

【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查直线的倾斜角的求法,考查运算能力,属于基础题.

7. 【答案】C 【解析】解;∵f′(x)= f′(x)>k>1, ∴ 即 当 x= 即 f( >k>1, 时,f( ) )+1> ﹣1= ×k= , >k>1,

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故 f( 所以 f( 故选:C. 8. 【答案】A

)> )<

, ,一定出错,

【解析】解:当 x>2 时,x>1 成立,即 x>1 是 x>2 的必要不充分条件是, x<1 是 x>2 的既不充分也不必要条件, x>3 是 x>2 的充分条件, x<3 是 x>2 的既不充分也不必要条件, 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 9. 【答案】C 【解析】解:用一平面去截球所得截面的面积为 2π,所以小圆的半径为: 已知球心到该截面的距离为 1,所以球的半径为: 所以球的体积为: 故选:C. 10.【答案】B
2 【解析】解:∵A={﹣4,2a﹣1,a },B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9}, 2 ∴2a﹣1=9 或 a =9,

cm;



=4

π

当 2a﹣1=9 时,a=5,A∩B={4,9},不符合题意;
2 当 a =9 时,a=±3,若 a=3,集合 B 违背互异性;

∴a=﹣3. 故选:B. 【点评】本题考查了交集及其运算,考查了集合中元素的特性,是基础题. 11.【答案】D

【解析】对选项 A,因为 p ? q 为真命题,所以 p, q 中至少有一个真命题,若一真一假,则 p ? q 为假命题,

a ? 2 的充分必要条件是 a , b 同号, 故选项 B 错误; 命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , b 则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 且 x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”,故选项 C 错误;故选 D.
故选项 A 错误; 对于选项 B, ?

b a

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12.【答案】 B 【解析】 【专题】二项式定理. 【分析】由已知得到展开式的通项,得到第 6 项系数,根据二项展开式的系数性质得到 n,可求常数项. 【解答】解:由已知( +
2n * ) (n∈N )展开式中只有第 6 项系数为

最大,

所以展开式有 11 项,所以 2n=10,即 n=5, 又展开式的通项为 令 5﹣ =0 解得 k=6, =210; = ,

所以展开式的常数项为 故选:B

【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项;解得本题的关键是求出 n,利用通项求特征项.

二、填空题
13.【答案】 4 .

【解析】解:由题意得 f′(1)=3,且 f(1)=3×1﹣2=1 所以 f(1)+f′(1)=3+1=4. 故答案为 4. 【点评】本题主要考查导数的几何意义,要注意分清 f(a)与 f′(a). 14.【答案】 ﹣ . )= ,

【解析】解:∵α 为锐角,若 sin(α﹣ ∴cos(α﹣ ∴sin
2 ∴cos2α=1﹣2sin α=﹣

)=

, = . [sin(α﹣ )+cos(α﹣ )]= ,

故答案为:﹣



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【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式,二倍角的余弦函数公式的应用,属于基础题. 15.【答案】 (1, 【

6? 2 ) 2
解 析 】

16.【答案】



【解析】解:由方程组 解得,x=﹣1,y=2 故 A(﹣1,2).如图,
1 2 1 故所求图形的面积为 S=∫﹣1 (2x )dx﹣∫﹣1 (﹣4x﹣2)dx

=

﹣(﹣4)=

故答案为:

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【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用,以及定积分的计算,属于基础题. 17.【答案】 5 . 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 a=1,a=2 不满足条件 a >4a+1,a=3 不满足条件 a >4a+1,a=4 不满足条件 a >4a+1,a=5
2 满足条件 a >4a+1,退出循环,输出 a 的值为 5. 2 2 2

故答案为:5. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的 a 的值是解题的关键,属于基本 知识的考查. 18.【答案】 .

【解析】解:由题意知点 P 的坐标为(﹣c, ∵∠F1PF2=60°,

)或(﹣c,﹣

),

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=

, b2= (a ﹣c ). =0, (舍去).
2 2

即 2ac= ∴ ∴e=

e2+2e﹣ 或 e=﹣

故答案为:



【点评】 本题主要考查了椭圆的简单性质, 考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力, 属基础题.

三、解答题
19.【答案】
3 【解析】解:(1)由题意知甲抽一次奖,基本事件总数是 C10 =120,

奖金的可能取值是 0,30,60,240, ∴一等奖的概率 P(ξ =240)= P(ξ =60)= P(ξ =30)= P(ξ =0)=1﹣ ∴变量的分布列是 ξ 0 ξ P ∴E ξ = (2)由(1)可得乙一次抽奖中奖的概率是 1﹣ 四次抽奖是相互独立的 ∴中奖次数 η ~B(4, ∴Dη =4× 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查二项分布的方差公式,解本题的关键是看清题目中所 给的变量的特点,看出符合的规律,选择应用的公式. 20.【答案】 ) 30 60 240 , ,

=20

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【解析】解:f′(x)=
2 令 g(x)=﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c 2 函数 y=f′(x)的零点即 g(x)=﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c 的零点 2 即:﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c=0 的两根为 0,3



解得:b=c=﹣a,

令 f′(x)>0 得 0<x<3 所以函数的 f(x)的单调递增区间为(0,3), (2)由(1)得: 函数在区间(0,3)单调递增,在(3,+∞)单调递减, ∴ ∴a=2, ∴ ; , ,

∴函数 f(x)在区间[0,4]上的最小值为﹣2. 21.【答案】(1) 60 ? ;(2) 90 ? . 【解析】

试 题解析:(1)连接 AC , AB1 ,由 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体,知 AAC 1 1C 为平行四边形,

AC 所成的角就是 AC 所以 AC / / AC 1 1 ,从而 B 1C 与 1 1与B 1C 所成的角.
由 AB1 ? AC ? B1C 可知 ?B1CA ? 60? , 即 AC 1 1 与 BC 所成的角为 60 ? .

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考点:异面直线的所成的角. 【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解,其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中 位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及空间想象能力, 本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键, 属于中档 试题. 22.【答案】 【解析】(1)证明:依题意,E,F 分别为线段 BA、DC 的三等分点, 取 CF 的中点为 K,连结 PK,BK,则 GF 为△DPK 的中位线, ∴PK∥GF, ∵PK?平面 EFG,∴PK∥平面 EFG, ∴四边形 EBKF 为平行四边形,∴BK∥EF, ∵BK?平面 EFG,∴BK∥平面 EFG, ∵PK∩BK=K,∴平面 EFG∥平面 PKB, 又∵PB?平面 PKB,∴PB∥平面 EFG. (2)解:连结 PE,则 PE⊥AB, ∵平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, PE?平面 PAB,PE⊥平面 ABCD, 分别以 EB,EF,EP 为 x 轴,y 轴,z 轴,
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建立空间直角坐标系, ∴P(0,0, ),D(﹣1,4,0), ),∵P(0,0, =(﹣1,4,﹣ ), ), ), =(﹣1,4,﹣ D(﹣1,4,0), ∵ =

=(﹣ , ,﹣ ),

∴G(﹣ , ,

设点 H(x,y,0),且﹣1≤x≤1,0≤y≤4, 依题意得: ∴x >16y,(﹣1≤x≤1),(i) 又 =(x+ ,y﹣ ,﹣ , ,即 y=
2 2



),

∵GH⊥PD,∴ ∴﹣x﹣ +4y﹣

,(ii)

把(ii)代入(i),得:3x ﹣12x﹣44>0, 解得 x>2+ 或 x<2﹣ ,

∵满足条件的点 H 必在矩形 ABCD 内,则有﹣1≤x≤1, ∴矩形 ABCD 内不能找到点 H,使之同时满足①点 H 到点 F 的距离与点 H 到直线 AB 的距离之差大于 4, ②GH⊥PD.

【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能 力、空间想象能力,考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识. 23.【答案】

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【解析】解:

(1)交线围成的四边形 EFCG(如图所示). (2)∵平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD, 平面 A1B1C1D1∩α =EF, 平面 ABCD∩α=GC, ∴EF∥GC,同理 EG∥FC. ∴四边形 EFCG 为平行四边形, 过 E 作 EM⊥D1F,垂足为 M, ∴EM=BC=10, ∵A1E=4,D1F=8,∴MF=4. ∴GC=EF= ∴GB= EM2+MF2= 102+42= 116, GC2-BC2= 116-100=4(事实上 Rt△EFM≌Rt△CGB).

过 C1 作 C1H∥FE 交 EB1 于 H,连接 GH,则四边形 EHC1F 为平行四边形,由题意知,B1H=EB1-EH=12-8 =4=GB. ∴平面 α 将长方体分成的右边部分由三棱柱 EHGFC1C 与三棱柱 HB1C1?GBC 两部分组成. 其体积为 V2=V 三棱柱 EHGFC1C+V 三棱柱 HB1C1?GBC =S△FC1C·B1C1+S△GBC·BB1 1 1 = ×8×8×10+ ×4×10×8=480, 2 2 ∴平面 α 将长方体分成的左边部分的体积 V1=V 长方体-V2=16×10×8-480=800. V1 800 5 ∴ = = , V2 480 3 5 3 ∴其体积比为 ( 也可以). 3 5 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:因为 A1A=A1C,且 O 为 AC 的中点, 所以 A1O⊥AC. 又由题意可知,平面 AA1C1C⊥平面 ABC, 交线为 AC,且 A1O?平面 AA1C1C, 所以 A1O⊥平面 ABC.

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(Ⅱ)如图,以 O 为原点,OB,OC,OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知,A1A=A1C=AC=2,又 AB=BC,AB⊥BC,∴ 所以得: ,

则有:



设平面 AA1B 的一个法向量为 n=(x,y,z),则有 令 y=1,得 所以 . 因为直线 A1C 与平面 A1AB 所成角 θ 和向量 n 与 (Ⅲ)设 即 所以 令 OE∥平面 A1AB,得 即﹣1+λ+2λ﹣λ=0,得 , , ,得 , ,得 , 所成锐角互余,所以 .





即存在这样的点 E,E 为 BC1 的中点.

【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

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