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【精品学案推荐】山东省2016年高二数学(新人教A版选修2-2)考点清单:《2.2.1 综合法与分析法》_图文

2.2.1 综合法与分析法 考点一:综合法证明不等式 1 1.已知 a,b,c>0.求证:a3+b3+c3≥3(a2+b2+c2)(a+b+c). [证明] ∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b). ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2. ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理:b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2. 将三式相加得: 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2, ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2). 1 ∴a3+b3+c3≥3(a2+b2+c2)(a+b+c). 2.综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等 式,其中常用的有如下几个: ①a2≥0(a∈R). (a+b)2 ?a+b?2 ? ? ≥ab, ②(a-b)2≥0(a、 b∈R), 其变形有 a2+b2≥2ab, a2+b2≥ 2 . ? 2 ? a+b b a ③若 a、b∈(0,+∞),则 2 ≥ ab,特别是a+b≥2. ④a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a、b、c∈R). 2.已知 a、b、c∈R+且 a+b+c=1, ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? -1?· ? -1?≥8. 求证:?a-1?· ? ? ?b ? ? c ? [证明] = ≥ ?1 ??1 ??1 ? ∵?a-1??b-1??c-1? ? ?? ?? ? [来源:学优高考网] (b+c)(a+c)(a+b) abc 2 bc· 2 ac· 2 ab 8abc = abc =8, abc 当且仅当 a=b=c 时等号成立,∴不等式成立. 考点二:分析法 1.已知 a>0,b>0,求证: [证明] a b + ≥ a+ b. b a a b + ≥ a+ b成立, b a ∵a>0,b>0,要证 b? ?a 只需证? + ?2≥( a+ b)2 成立, a? ? b a2 b2 即证 b + a +2 ab≥a+b+2 ab成立. a3+b3 即证 ab ≥a+b. 也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立. 即 a2-2ab+b2≥0,也就是证(a-b)2≥0 成立. ∵(a-b)2≥0 恒成立,∴ a b + ≥ a+ b. b a [来源 :学优高考网] 2.当 a≥2 时,求证 a+1- a< a-1- a-2. [证明] 要证 a+1- a< a-1- a-2, 只需证 a+1+ a-2< a+ a-1, 只需证( a+1+ a-2)2<( a+ a-1)2, 只需证 a+1+a-2+2 (a+1)(a-2)<a+a-1+2 a(a-1), 只需证 (a+1)(a-2)< a(a-1), 只需证(a+1)(a-2)<a(a-1), 即证-2<0,而-2<0 显然成立, 所以 a+1- a< a-1- a-2成立. 考点三:综合法、分析法的综合应用 1.△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 求证: [证明] 要证 即证 1 1 3 + = . a+b b+c a+b+c 分析法: 1 1 3 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c + =3, a+b b+c c a + =1, a+b b+c 也就是 只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证 c2+a2=ac+b2, 又△ABC 三内角 A、B、C 成等差数列,故 B=60°, 由余弦定理,有 b2=c2+a2-2accos60°,即 b2=c2+a2-ac, 故 c2+a2=ac+b2 得证. 综合法: 证明:∵△ABC 三内角 A、B、C 成等差数列, ∴B=60°. 由余弦定理,有 b2=c2+a2-2cacos60°, 得 c2+a2=ac+b2, 等式两边同时加上 ab+bc 得 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), [来源:学优高考网] 等式两边同除以(a+b)(b+c)得, ? c ? ? a ? ∴?a+b+1?+?b+c+1?=3, ? ? ? ? 即 1 1 3 + = . a+b b+c a+b+c 分析法: c a + =1, a+b b+c 3.求证:logn(n+1)>logn+1(n+2)(n≥2). [证明] 要证 logn(n+1)>logn+1(n+2) 只需证明 1 >logn+1(n+2) logn+1n [来源 :学优高考网 ] ∵logn+1n>0 ∴只需证 logn+1n· logn+1(n+2)<1. ?logn+1n+logn+1(n+2)?2 ? ∵logn+1n· logn+1(n+2)<? 2 ? ? ? ?logn+1[n(n+2)]? ?2 ? =? 2 ? ? ? ? ∴只需证 logn+1[n(n+2)] <1 2 即 logn+1[n(n+2)]<logn+1(n+1)2 ∴也就是证 n(n+2)<(n+1)2,这是显然成立的. ∴原不等式成立. 综合法: logn(n+1)-logn+1(n+2)= = lg2(n+1)-lgn· lg(n+2) lgnlg(n+1) lg(n+1) lg(n+2) lgn -lg(n+1) ∵n(n+2)<(n+1)2 ∴lg[n(n+2)]<lg(n+1)2 ?lgn+lg(n+2)?2 ? ∵lgnlg(n+2)<? 2 ? ? ?lgn(n+2)?2 ?lg(n+1) ?2 ? <? ? =lg2(n+1) =? 2 2 ? ? ? ? ∴logn(n+1)-logn+1(n+2)>0 ∴logn(n+1)>logn+1(n+2). 考点四:用分析综合法证明

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