fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

对数及对数函数、幂函数

对数及对数函数、幂函数
一、知识梳理
(一)对数的概念 如果 ab=N(a>0,a≠1),那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b ab=N ? logaN=b(a>0,a≠1,N>0) (二)、对数的运算性质
M

loga(MN)=logaM+logaN.

loga N =logaM-logaN.

logaMn=nlogaM.(M>0,N>0,a>0,a≠1)
log
a a

N b

(三)、对数换底公式:logbN=

log

(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0).

(四)、对数函数的图像及性质 ①函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,图像如下
y y

y= l o g a x( a> 1) 1 O 1 x O x y= l o g a x(0 < a< 1)

②对数函数的性质:定义域:(0,+∞); 值域:R; 过点(1,0),即当 x=1 时,y =0. 当 a>1 时,在(0,+∞)上是增函数;当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数。 (五)、对数函数与指数函数的关系 对数函数
y ? lo g a x

与指数函数 y ? a 互为反函数,它们的图像关于直线 y=x 对称.。
x

(六)、幂函数的概念 一般地,形如 y ? x ( x ? R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数 (七)、幂函数的图像及性质
y ? x
?

y ? x

2

y ? x

3

1

y ? x2

y ? x

?1

定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限 的增减性
?

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

?x | x

? 0?

?x | x


? 0?

非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增

在第Ⅰ象限 单调递减

幂函数 y ? x ( x ? R, ? 是常数)的图像在第一象限的分布规律是: ①所有幂函数 y ? x ( x ? R, ? 是常数)的图像都过点 (1,1) ;
?

? ? 1, 2 , 3 ,

1 2 时函数 y ? x 的图像都过原点 ( 0 , 0 ) ;
? ?

②当

③当 ? ? 1 时, y ? x 的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如 c 2 ); ④当 ? ? 2 , 3 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 c 1 )
? ?
1 2 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如 c 3 )
? ?

?

⑤当

⑥当 ? ? ? 1 时, y ? x 的的图像不过原点 ( 0 , 0 ) ,且在第一象限是“下滑”曲线(如 c 4 )

二、方法归纳
1.对数函数性质的拓展 www.51xcedu.com (Ⅰ)同底数的两个对数值
log
a

f (x)



log

a

g ( x )( a ? 0 , a ? 1)

的大小比较

log 若 a ? 1, f ( x ) ? 0 , g ( x ) ? 0 ,则

a

f ( x ) ? log

a

g (x) ? f (x) ? g (x) ? 0


log
a

0 ? a ? 1, f ( x ) ? 0 , g ( x ) ? 0





f ( x ) ? log

a

g (x) ? 0 ? f (x) ? g (x)

(Ⅱ)同真数的对数值大小关系如图对应关系为 (1) (3)
y ? log y ? log
a

x x

,(2) ,(4)

y ? log y ? log

b

x x



c

d

则作直线 y ? 1 得 0 ? c ? d ? 1 ? a ? b ,即图象在 x 轴上方的部分自左向右底数逐渐增大 2.常见对数方程或对数不等式的解法 (1)形如 对于
log
a

log

a

f ( x ) ? log

a

g ( x )( a ? 0 , a ? 1)

转为 f ( x ) ? g ( x ) ,但要注意验根

f ( x ) ? log

a

g (x)

,则

? g (x) ? 0 ? f (x) ? 0 ? ? f (x) ? g (x) f (x) ? g (x) 当 a ? 1 时,得 ? ;当 0 ? a ? 1 时,得 ?

(2)形如 求解。 (3)形如

F (log

a

x) ? 0



F (log

a

x ) ? 0 ( F (log

a

x) ? 0)

的方程或不等式,一般用换元法

log

f (x)

g (x) ? c

log 的方程化为 [ f ( x )] ? g ( x ) 求解,对于
c

f (x)

g (x) ? c

的形式

可以考虑利用对数函数的单调性来解决 3.幂函数性质的拓展 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 有下列性质: (1)图象都通过点 ( 0 , 0 ), (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; 0 ? ? ? 1 时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 有下列性质:www.csxcedu.com (1)图象都通过点 (1,1) ; (2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,
? ? ?

?

越大,图象下落的速度越快。

无论 ? 取任何实数,幂函数 y ? x 的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。

三、课堂精讲例题
考点 1 对数式的运算

lo g 1 2 4 5 【例 1】已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b , 用 a , b 表示

【适时导练】
log 1
5

? log

1
4

1.

4

5 的结果是_______

2.若

x lo g 3 4 ? 1

,求 4 ? 4
x

?x

的值.

3.如果

lo g 3 m ? lo g 3 n ? 4

,那么 m ? n 的最小值是(



A.4;B. 4 3 ;C.9;D.18

考点 2 对数函数的图像及性质 www.xcydy.com 题型 1:由函数图象确定参数的值 【例 2】函数 y=log2|ax-1|(a≠0)的图象的对称轴方程是 x=-2,那么 a 等于( )
1 1

A. 2 ;

B.- 2

;

C.2;

D.-2

【注】函数图象的对称性是常考知识点,高考要求要掌握几种基本的对称。 题型 2:求复合函数值域及单调区间
2 【例 3】已知 f(x)=l o g 1 ? 3 ? ? x ? 1 ? ? ,求 f(x)的值域及单调区间.

?

?

3

【适时导练】 4.若函数 则函数
f f

?x? ?

a

?x

( a ? 0, a ? 1)

是定义域为 R 的增函数, )

?x? ?

lo g a ? x ? 1 ?

的图象大致是 (

y ? m ? lo g n x 5.设 m , n ? R ,函数 的图象如图 2,则有

A. m ? 0 , 0 ? n ? 1 ;

B. m ? 0 , n ? 1

C. m ? 0 , 0 ? n ? 1 ;

D. m ? 0 , n ? 1

考点 3

指数、对数函数的综合应用

题型 1:利用对数函数的复合函数的单调性求值域
( a ? 0, a ? 1 )

【例 4】 已知 x 满足 a
[? 1 8 , 0]

2x

?a ? a
6

x?2

?a

x?4

lo g a

1 a x
2

? lo g

1 a
2

(ax)

, 函数 y=

的值域为

, 求 a 的值

题型 2:指数函数与对数函数的反函数关系
1 x ( ) 【例 5】设函数 f(x)是函数 g(x)= 2 的反函数,则 f(4-x2)的单调递增区间为(



A.[0,+∞);

B.(-∞,0];

C.[0,2);

D.(-2,0]

【注】 对数函数

y ? lo g a x

与指数函数 y ? a 是一对特殊的基本初等函数,它们互为反函
x

数,它们的图像关于直线 y=x 对称,高考中时有涉及 【适时导练】
0 .1 1 .3 5.已知 a ? lo g 2 0 .3, b ? 2 , c ? 0 .2 ,则 a , b , c 的大小关系是(



A. a ? b ? c

B. c ? a ? b

C. a ? c ? b

D. b ? c ? a

1) 6. 若 x ? ( e , , a ? ln x, b ? 2 ln x, c ? ln x ,则(
3

?1



A. a < b < c ;

B. c < a < b ;

C. b < a < c ;

D. b < c < a

考点 4. 幂函数的概念、图象和性质 题型 1:利用幂函数的单调性比较大小
1 【例 6】 已知 ? ? 0 ,试比较 ( ) ? , 0 .2 ? , 2 ? 的大小; 2

题型 2:由幂函数的性质确定解析式
? 1 2 p ? p?
2

3 2

【例 7】 已知函数 f(x)=x

(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数, 且在其定义域上是偶函数。

(1)求 p 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式。

【注】(1)解决这类问题要紧扣幂函数的定义和性质,依单调性从其指数入手;(2)复合 函数的单调规则是我们处理复合函数的单调性的重要依据。 【适时导练】 7.幂函数① y ? x
?1

,② y ? x 及直线③ y ? 1 ,④ x ? 1 将直角坐标系
y

y ? x

?1

第一象限分成八个“卦限”: Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示), 那么幂函数 y ? x
? 3 2

y ? x

Ⅲ Ⅱ ) Ⅳ Ⅴ Ⅵ O Ⅶ
x

的图象在第一象限中经过的“卦限”是(

Ⅰ Ⅷ

A.Ⅳ,Ⅶ ; B. Ⅳ,Ⅷ; C.Ⅲ,Ⅷ; D. Ⅲ,Ⅶ

y ?1

x ?1

8.若

( a ? 1)

?

1 2

? (3 ? 2 a )

?

1 2

,则 a 的取值范围是 (

)

课后自我检测 A
1.(1) lg 5 ? lg 2 ? lg 50 ? __________
2


__

;(2)

log

(

2 ?1 )

(3 ? 2

2) ?

_____________

2

a

3

2.已知

2 2 log ? ( ) (a ? 0) 3 ,则

2 3

a



y ? log 3 x ( x ? 0) 3.(2007· 全国Ⅰ)函数 y ? f ( x ) 的图像与函数 的图像关于直线 y ? x

对称,则 f ( x ) ? __________。

4 . 若 偶 函 数 f ? x ? ? x ? R ? 满 足 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 且 x ? ?0 ,1? 时 , f ? x ? ? x , 则 方 程
f ? x ? ? log
3

x

的根的个数是( B. 4 个;

) D. 多于 4 个

A. 2 个;

C. 3 个;

y ?

1 x
2

, y ? 2x , y ? x
2

2

? x, y ? 3 x

6.在函数 A.0
? ?

中,幂函数的个数为( C.2 D.3



B.1

? ? ? ? 1,1,

1

7.设

? ,3 ? 2 ? ,则使函数

y ? x

?

的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为

8.如图所示,曲线是幂函数
? 1,1, 1 2 ,2

y ? x

?

在第一象限内的图像,已知 ? 分

别取

四个值,则相应图像依次为__________

9. 设 如果

f ?x

??m ?

? 1? x

m ?2

2

, 如果

f

?x?

是正比例函数, m=______, 则
f

f

?x?

是反比例函数,则 m=______,如果

?x?

是幂函数,则 m=______

1

10.函数

y ? x

n

?n ?

N ,n ? 2?

的图象只可能是(

)

A

B

C

D


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图