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数学必修5第一章--正余弦定理整合PPT


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第一章 解三角形

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第一章 解三角形

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1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形 度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问题.

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第一章 解三角形

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1.解三角形问题主要有两种题型,一是与三角函数结合起 来考查,通过三角变换化简,然后运用正余弦定理求值;二是 与平面向量结合,判定三角形形状或结合正余弦定理求值.试 题一般是中低档试题,客观题解答题均有可能出现.
2.除牢固掌握正余弦定理外,三角形的有关知识如: 重心、内心、外心、垂心、内角和、三边关系、面积公式 S 1 1 1 = absin C= bcsin A= acsin B 等也要牢固掌握. 2 2 2

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第一章 解三角形

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第一章 解三角形

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解三角形就是已知三角形中的三个独立元素求出其他元素 的过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中 线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径),解三角形通常 是指求未知的元素,有时也求三角形的面积. 解斜三角形共包括四种类型: (1)已知三角形的两角和一边;

(2)已知两边及夹角;
(3)已知三边; (4)已知两边和一边的对角. 其中类型(4)中应特别注意解的情况.
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第一章 解三角形

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在△ABC 中 a=4,A=60° ,当 b 满足下列条件时,解 三角形: 4 3 (1)b= 3 ; 2 6 (2)b=2 2+ 3 ; 8 3 (3)b= ; 3 (4)b=8.

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第一章 解三角形

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解析: (1)∵a>b,∴B 为锐角,由正弦定理得, b 1 sin B= sin A= ,∴B=30° ,C=90° , a 2 a 8 3 由正弦定理得 c= · C= sin . sin A 3 b (2) 由 正 弦 定 理 sin B = · A = sin a 2 6 2 2+ 3 4 3 × = 2

6+ 2 ,当 B 为锐角时 B=75° ,C=45° . 4

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第一章 解三角形

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a 4 6 由正弦定理得 c= · C= sin ; sin A 3 当 B 为钝角时 B=105° ,C=15° , a 2 6 由正弦定理得 c=sin A· C=2 2- 3 . sin b (3)方法一:由正弦定理得 sin B= · A=1, sin a ∴B=90° ,C=30° , a 4 3 由正弦定理得 c=sin A· C= 3 . sin

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第一章 解三角形

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方法二: 设第三边长为 c, 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 64 2 8 3 得 16= 3 +c - 3 c, 8 3 16 即 c - 3 c+ 3 =0.
2

? 4 3 4 3?2 ? ? ∴?c- =0,∴c= 3 , 3 ? ? ?

c 1 由正弦定理得 sin C=a· A=2. sin

∵a>c,∴C 为锐角,∴C=30° ,B=90° . b (4)由正弦定理得 sin B=a· A= 3>1,无解,不存在 sin 三角形.
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第一章 解三角形

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一般来说,利用正弦定理或余弦定理来判断三角形的形 状的问题,按所用知识分类有利用正弦定理、利用余弦定理、 同时利用正弦定理和余弦定理三种;按解题方法分类有通过边 来判断与通过角来判断两种.

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第一章 解三角形

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(1)在△ABC 中,已知 3b=2 3asin B,且 cos B=cos C, 角 A 是锐角,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 )

B.等腰三角形 D.等边三角形

(2)在△ABC 中,如果 sin A=2cos Bsin C,则△ABC 的 形状是( ) B.锐角三角形 D.直角三角形

A.等腰三角形 C.钝角三角形

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第一章 解三角形

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解析:

b 2 3a (1)由 3b=2 3asin B,得 = , sin B 3

b a 根据正弦定理,得 = , sin B sin A a 2 3a 3 所以sin A= 3 ,即 sin A= 2 . 又角 A 是锐角,所以 A=60° cos B=cos C,且 B,C .又 都为三角形的内角,所以 B=C.故△ABC 为等边三角形.故 选 D.

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第一章 解三角形

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asin C (2)由正弦定理,得 sin A= c . a2+c2-b2 又 cos B= 2ac ,sin A=2cos Bsin C, a2+c2-b2 asin C 所以 c =2· 2ac · C,整理得 b2=c2,所以 b sin =c. 故△ABC 是等腰三角形.故选 A.
答案: (1)D (2)A

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第一章 解三角形

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求解三角形中的几何计算问题,要首先确定与未知量之间 相关联的量,利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式等知 识来解决.
已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设 向量 m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3

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第一章 解三角形

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解析: (1)证明:∵m∥n,∴asin A=bsin B, a b 即 a· =b· ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, 2R 2R ∴a=b.∴△ABC 为等腰三角形.
(2)由题意可知 m· p=0, 即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4 或 ab=-1(舍去). 1 1 π ∴S= absin C= · sin = 3. 4· 2 2 3
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第一章 解三角形

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已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形,解这类 三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合 “三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解,此时一般用正 弦定理,也可用余弦定理.

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第一章 解三角形

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a (1)利用正弦定理讨论: 若已知 a, A, b, 由正弦定理sin A b bsin A =sin B,得 sin B= a ;若 sin B>1,则无解;若 sin B=1, 则有一解;若 sin B<1,则可能有两解. (2)利用余弦定理讨论:已知 a,b,A,由余弦定理 a2 =c2+b2-2cbcos A,即 c2-(2bcos A)c+b2-a2=0.若方程无 解或无正数解,则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三 角形有一解;若方程有两不同正数解,则三角形有两解.

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第一章 解三角形

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在△ABC 中,已知 a=5,b=5 3,A=30° ,解三角形. a b 解析: 在△ABC 中,据正弦定理 = ,得 sin A sin B
5 3sin 30° 3 sin B= =2. 5 ∵b>a,∴B>A=30° ,∴B=60° 120° 或 . 当 B=60° 时,C=180° -(A+B)=180° -(30° +60° )= 90° , a 5 ∴c=sin A=sin 30° =10;

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第一章 解三角形

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当 B=120° 时,C=180° -(A+B)=180° -(30° +120° ) =30° , asin C 5sin 30° ∴c= = =5. sin A sin 30° 综上:B=60° ,C=90° ,C=10,或 B=120° ,C=30° , c=5.

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第一章 解三角形

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在△ABC 中,a=λ,b= 3λ,A=45° ,则满足此条件的 三角形有( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.无数个 a b bsin A 根据正弦定理sin A=sin B,得 sin B= a =

解析: 6 . 2

6 因为 >1,即 sin B>1,这是不成立的,所以不存在满 2 足此条件的三角形,故选 A.
答案: A
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第一章 解三角形

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1.函数与方程思想 函数的思想就是运用变化的观点分析和研究具体问题中的 数量关系.在具体问题中把变量之间的关系用函数表示出来, 然后用函数的观点研究问题.本章中主要借助二次函数来研究

距离和速度的最值问题.
方程的思想就是在解决问题时,用事先设定的未知数沟通

问题中所涉及的各量间的制约关系,列出方程(组),从而求出未
知数及各量的值.正弦定理、余弦定理在一定条件下都可以看 做方程,从而求出所需要的量.
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第一章 解三角形

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π 在△ABC 中,已知内角∠A=3,边 BC=2 3,设内角 ∠B=x,周长为 y. (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

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第一章 解三角形

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解析: (1)在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=π. 由正弦定理得: BC 2 3 AC=sin A· B= πsin x=4sin x, sin sin 3
?2 ? BC 2 AB=sin A· C=4sin?3π-x?,x<3π, sin ? ?

∴y=AB+BC+AC
?2 ? =4sin?3π-x?+2 ? ?

3+4sin x

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第一章 解三角形

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=2 3cos x+6sin x+2 3 =4
? π? 3sin?x+6?+2 ? ?

3,

? ? ? ? 2 ? 其定义域为?x?0<x<3π ?. ? ? ? ? ? ? π? (2)由(1)得 y=4 3sin?x+6?+2 ? ?

3,

2π ∵0<x< 3 , π π 5π ∴ <x+ < , 6 6 6 π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时,y 取得最大值为 6 3. 6 2 3
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第一章 解三角形

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2.分类讨论思想
当数学问题不能用统一形式解决时,可以把已知条件的范 围划分为若干个子集,在各个子集内分别讨论问题的解,然后 综合各类解而得到原问题的答案.这种解决问题的思想方法叫 做分类讨论的思想方法.如正弦定理的证明(对三角形分别是直

角三角形、锐角三角形、钝角三角形逐一讨论,并将锐角三角
形、钝角三角形转化为直角三角形),解三角形中解的个数等, 通过讨论,将不可能的或与题设条件不相符的逐一排除,从而 得出正确结论,讨论时要做到不重不漏.

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第一章 解三角形

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如图所示,A、B两个小岛相距21 n mile,B岛在A岛的正
南方,现在甲船从A岛出发,以9 n mile/h的速度向B岛行驶,而 乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛沿南偏东60°方向行驶,问 行驶多长时间后,两船相距最近?并求出两船的最近距离.

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第一章 解三角形

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解析:

设行驶 t 小时后,甲船行驶了 9t n mile 到达 C

处,乙船行驶了 6t n mile 到达 D 处. 7 当 9t<21,即 t<3时,C 在线段 AB 上,此时 BC=21-9t. 在△BCD 中, BC=21-9t, BD=6t, ∠CBD=180° -60° =120° , 由余弦定理知 CD2=BC2+BD2-2BC· cos 120° BD· =(21-9t) +(6t)
2 2

? 1? -2· (21-9t)· ?-2? 6t· ? ?

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第一章 解三角形

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=63t2-252t+441=63(t-2)2+189 当 t=2 时,CD= 189=3 21. 7 7 当 t= 时,C 与 B 重合,此时 CD=6× =14>3 21, 3 3 7 当 t> 时,BC=9t-21,则 3 CD2=(9t-21)2+(6t)2 -2· (9t-21)· cos 60° 6t· = 63t2 - 252t + 441 = 63(t - 2)2 + 189>189 , 所 以

CD>3 21. 综上可知,t=2 时,CD 取得最小值 3 21,故行驶 2 h 后,甲、乙两船相距最近,距离为 3 21 n mile.
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第一章 解三角形

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3.转化与化归思想 一些问题直接求解比较困难,需将原问题转化为一个自己

熟悉的易于求解的问题,这就是转化与化归的思想.在本章中, 将所求面积转化为三角形面积问题,将实际问题转化为数学问 题等,都是转化与化归思想的具体应用.

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第一章 解三角形

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如下图所示,货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行,
航行的方位角是140°,A处有一灯塔,其方位角是110°,在C 处观察灯塔A的方位角是35°,由B到C需航行30分钟,求C到灯 塔A的距离.

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第一章 解三角形

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解析: 如图,连接 AB,BC,AC,构造△ABC, 1 则 BC=40×2=20(km),∠ABC=140° -110° =30° , ∠ACB=(180° -140° )+35° =75° ,∴∠BAC=75° . AC BC 由正弦定理,知sin 30° sin 75° = , BC· 30° sin 10 ∴AC= sin 75° = sin 45°cos 30° · +cos 45°sin 30° · 40 = =10( 6- 2)(km). 6+ 2 答:C 到灯塔 A 的距离为 10( 6- 2)km.

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第一章 解三角形

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4.数形结合的思想
将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把已知条件 中的数量关系转化到图形中;从而使问题易于解决,这就是数 形结合.在解三角形或实际问题时,较多地用到数形结合的思 想.
已知向量 a 与 a+b 的夹角为 30° ,且|a|= 3,|b|=1, 求向量 a 与 b 的夹角.

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第一章 解三角形

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解析: 依题意画图,如图所示.以向量 a 与 b 为邻边 作平行四边形 ABCD,使 A B =a,A D =b,则 A C =a+b,







→ ∠BAC=30° C =b. ,B
在△ABC 中,据正弦定理得,

→ |A B |sin∠BAC |a|sin∠BAC sin∠ACB= = |b| → |B C |
3sin 30° 3 = =2. 1

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第一章 解三角形

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∴|A B |>|B C |,∴∠ACB>∠BAC=30° , ∴∠ACB=60° 或∠ACB=120° . 由图知,∠CAD=60° 或∠CAD=120° , ∴∠BAD=90° 150° 或 ,即为向量 a 与 b 的夹角.





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第一章 解三角形

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7 1.在△ABC 中,b -bc-2c =0,a= 6,cos A=8,
2 2

则△ABC 的面积为( A.2

) B.3

15 C. 2 D. 15 解析: 由已知得 b2-bc-2c2=(b+c)(b-2c)=0,得 b

7 =2c,由余弦定理得( 6) =(2c) +c -2×2c×c× , 8
2 2 2

1 15 得 c=2,b=4,面积 S=2bcsin A= 2 ,故选 C. 答案: C
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第一章 解三角形

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2.如右图,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a, 从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是 β,α(α<β),则 A 点离地 面的高度 AB 等于( asin αsin β A. sin?β-α? asin αcos β C. sin?β-α? ) asin αsin β B. cos?α-β? acos αsin β D. cos?α-β?

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第一章 解三角形

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解析: 在△ACD 中,由正弦定理,得 CD· sin?π-β? asin β AD= = , sin?β-α? sin?β-α? asin αsin β ∴AB=ADsin α= sin?β-α?

答案: A

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第一章 解三角形

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3 . 在 △ ABC 中 , 已 知 b = 1 , c = 3 , A = 60° , 则 a = ________.
解析: 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 知 a2=1+9 -2×1×3cos 60° =7,故 a= 7.

答案:

7

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第一章 解三角形

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9 4.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= , 10 则 BC=______.

解析: 设 BC=x,则根据余弦定理得, AB2=AC2+BC2-2· BCcos C, AC· 9 即 5=25×x -2×5· 10, x·
2

∴x2-9x+20=0,∴x=4 或 x=5.

答案: 4或5

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第一章 解三角形

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5.如图,隔河看两目标 A,B,但不能到达,在岸边选 取相距 3 km 的 C,D 两点,并测得∠ACB=75° ,∠BCD =45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° (A,B,C,D 在同一平面 内),求两目标 A,B 之间的距离.

解析: 在△ACD 中,∠ADC=30° , ∠ACD=120° , ∴∠CAD=30° ,∴AC=CD= 3. 在△BDC 中,∠CBD=180° -(45° +75° )=60° . 在△BCD 中,由正弦定理,得 3sin 75° 6+ 2 BC= sin 60° = 2 .
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第一章 解三角形

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则在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· cos∠BCA BC· 6+ 2 2 6+ 2 =( 3) +( ) -2× 3× · 75° cos =5. 2 2
2

∴AB= 5. ∴两目标 A,B 之间的距离为 5 km.

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第一章 解三角形

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6.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b, π c.已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin B=2sin A,求△ABC 的面积. 1 1 3 解析: (1)∵S=2absin C=2ab·2 = 3,
∴ab=4.① ∵c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab-2abcos C =(a+b)2-12=4. ∴a+b=4.② 由①②可得 a=2,b=2.
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第一章 解三角形

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(2)∵sin B=2sin A,∴b=2a. 又∵c2=a2+b2-2abcos C =(a+b)2-3ab=4. 2 3 4 3 ∴a= 3 ,b= 3 . 1 2 3 ∴S=2absin C= 3 .

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第一章 解三角形

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