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物理竞赛光学1_图文

物理夏令营--光学
南京大学物理学院 丁剑平 一、光在非均匀介质中的传播 二、几何光学成像 三、光的干涉 四、光的偏振
Jianping Ding

2010年8月

1

一、光在非均匀介质中的传播
光线在非均匀介质中的传播可以看成是连续折射的过 程,逐点运用折射定律可以追踪光线的轨迹。

n

半径 光在光纤中的传输
Jianping Ding
2

例1: 一块平行平板,其厚度为 d,光线 从O点垂直入射, 若平板折射率按 n0 1 ? 4qx 变化,q 为常数,并在 A 点 以 a 角出射,求 光线轨迹、A 点的位置和平板厚度。 Y 解:
a

介质折射率连续变化,可将平 板沿 X 方向切成一系列薄片,对 每层薄片应用折射定律。d 折射定律决定光线在每一点的 方向,从而确定光线的轨迹; 折射定律的级联形式:
O

?x

A

(x,y)

X

nx ? n0 1 ? 4qx
3

n0 ? n1 sin ?1 ? ? ? nx sin ? x ? ? nA sin ? A
Jianping Ding

n0 ? n1 sin ?1 ? ? ? nx sin ? x ? ? nA sin ? A P点光线的方向由?x 决定: nx ? n0 1 ? 4qx n0 1 Y sin ? x ? ? a nx 1 ? 4qx
P点光线的切线斜率 kp : k p ? tan ? x ?
1 4qx
?x
A P :(x, y)

d

曲线 y = f(x)与斜率 kp: k ? dy p dx x 2 O 光线轨迹方程:y ? q nA sin 90o ? ? A ? sin a 和nA sin ? A ? n0 A点条件:

X

?

?

sin a sin 2 a d 结论: ? y A ? 和 xA ? 2 2n0 q 4n0 q Jianping Ding

2 nA ? n0 ? sin 2 a

4

例2、光从空气折射进透明介质,入射点折射率为n0 ,入 射角近似 p/2,介质折射率与介质高度 y 有关,当折射光 线的轨迹是抛物线 y=ax2 时,求折射率与高度 y 的关系。 y 解: 折射定律--空气--介质 界面: 1 ? n0 sin q 0 介质内: 0 sin q0 n 光线切向斜率:

? n sin q

q

a
x

dy ? tga ? ctgq dx
1 2ax ? ?1 2 sin q Jianping Ding

n ? 4ay ? 1

5

题3、飞机场跑道上空空气的折射率分布随地面高度y的变 化规律为: n ? n0 1 ? ay , 其中a = 1.0x10-6 m-1,某人站 在跑 道 上观 看 远处 的 跑道 , 他的 眼 睛离 地 面的 高 度为 1.69m。求该人能看到的跑道长度。 y 解: 折射定律:n0 ? n sin q

dy 1 ? ctgq ? ?1 2 dx sin q

q a
x

? ay

x?2
Jianping Ding

y

a

1.69 ?2 ? 2 ?1.3 ? 10 3 m ?6 10

6

例4、圆柱型光纤的纤芯半径为a,折射率介于n1和n2之间(1<n2<n1) 并按照 n ? n? y ? ? 渐变,n2为距轴线a处的折射率,? 为 n1 1 ? ? 2 y 2

常数,包裹层折射率也为 n2 。光纤置于空气中,取Ox轴沿光纤轴 线方向,O为光纤端点的中心。假设 一束单色光从O点以入射角θi 进入光纤,入射面为xOy : (亚洲奥赛04年题)

1)求出光线在光纤里的轨迹方程 y=f(x); 2)求出光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角θiM; 3) 当qi ? 0 和 <= qiM时,确定光由 O点入射到达与Ox轴的第一个 y 交点的时间τ。 a0 4) qi =qiM时光信号沿光纤的 传输速度(定义为第一个 qi 交点x坐标与τ的比值)
Jianping Ding n0 n2

a

x

O n ? n? y ? ? n1 1 ? ? 2 y 2 n2
7

解:入射点:x=0, y=0, sin q i ? n1 cos a 0

折射级联性质:n1 sin a 0 ? nx sin a

n1 sin a 0 ? n1 1 ? ? y sin a ? n1 1 ? ? y cos q
2 2 2 2
2 2 dy 1 1? ? y y' ? ? 切线斜率 ? tan q ? ? 1? ?1 2 2 dx cos q sin a 0

y

1? ? y 2 ? y '? ? 2 ? 1 sin a 0 qi
2 2

a0
O

n0 n2

P(x, y)

a

q

a x
n2

Jianping Ding

n ? n1 1 ? ? 2 y 2

8

1? ? 2 y2 ? y'?2 ? 2 ? 1 一阶微分方程 sin a 0

? 两边对x再求导一次

y"?

?
2

? 2 ? 2 yy ' 2 y ' y" ? sin 2 a 0

2

sin a 0

y?0
x=0, y=0

? ? ? y ? A sin ? x ? ?0 ? ? sin a ? 0 ? ?
y n0 n2

?入射点初始条件:

y' x?0 ? ctga 0

?0 ? 0
A?
Jianping Ding

a0

P(x, y)

cos a 0

a x
n2

?

qi

O n ? n? y ? ? n1 1 ? ? 2 y 2

9

y?

cos a 0

?

? ? sin ? ? sin a 0

? x? ?

?另一个边界条件 y=a时 n=n2 则由 n ? n? y ? ? n1 1 ? ? y
2 2

n ?n ?? a ? n1
2 1

2 2

y

此外已知 sin q i ? n1 cos a 0 代入轨迹方程
Jianping Ding

a0

n0 n2

P(x, y)

a x
n2

qi

O n ? n? y ? ? n1 1 ? ? 2 y 2

10

1)光线在光纤里的轨迹方程
2 2 ? a sin q i n1 ? n2 x? y? sin ? 2 ? ? 2 2 ? n1 ? sin 2 q i a ? n1 ? n2 ? ?

2) 光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角θiM;

y?a a sin q i
n ?n
2 1 2 2

?a

sin q iM ? n ? n
2 1

2 2

y

a0 qi
O

n0 n2

P(x, y)

a x
n2

Jianping Ding

11

3) 在入射角qi ? 0 和 <= qiM条件下,确定光由 O点入射传 播到与Ox轴的第一个交点的时间τ
2 2 ? a sin q i n1 ? n2 x? y? sin ? 2 ? ? 2 2 ? n1 ? sin 2 q i a ? n1 ? n2 ? ?

n ?n x1 ? Oz 轴的第一个交点处: 2 ? ?p n1 ? sin q i a
2 1 2 2 2

? 第一个交点坐标

y n2
2

n0

n ? sin q x1 ? ap 2 n12 ? n2
2 1

x1
O

n1

a x
n2

Jianping Ding

12

ds n ?通过一线段元 ds 时间为 dt ? ? ds v c 线段元 ds ? dx 2 ? dy 2 ? 1? y '2 dx

n n 2 ? ? ? ds ? ? 1 ? y' dx c c x ?0 0 y
dy ds dx
O

x ? x1

x1

n12 ? sin 2 q x1 ? ap 2 n12 ? n2

a x1
x

n ? n? y ? ? n1 1 ? ? 2 y 2
a sin q i

Jianping Ding

2 ? n12 ? n2 x? y? sin ? 2 ? ? 2 2 13 ? n1 ? sin q i a ? n12 ? n2 ? ?

?利用积分 公式

?

1 bx ? arcsin a a 2 ? b2 x2 b

dx

?
x1

bx a arcsin 2 2 2 2 x dx x a ?b x a ?? ? 2 2 2 2b 2 2b3 a ?b x
2

n n ? ? ? ds ? ? 1 ? y'2 dx c c x ?0 0

x ? x1

y

n12 ? sin 2 q x1 ? ap 2 n12 ? n2

? sin q i ? pan ?1 ? ? ? 2 ? ? 2 2n1 ? c n12 ? n2 ?
2 1 2

dy ds dx
O

a x1
x

Jianping Ding

2 ? n12 ? n2 x? y? sin ? 2 ? ? 2 2 ? n1 ? sin q i a ? n12 ? n2 ? ? 14

n ? n? y ? ? n1 1 ? ? 2 y 2
a sin q i

4) qi =qiM时光信号沿光纤的传输速度(= x1/τ)

? sin 2 q i ? pan ?1 ? ? ?? 2 ? 2 2 ? 2n1 ? c n1 ? n2 ?
2 1

n ? sin q x1 ? ap 2 n12 ? n2
2 1 2

y

sin q iM ? n ? n
2 1

n2 a x1
O

2 2

2cn2 vM ? 2 2 n1 ? n2
Jianping Ding

qi

n1

x

15

二、几何光学成像

单球面折射成像公式--阿贝不变式:

n' n' n n ? ? ? s' r s r
n' n 平面面折射成像: ? s' s
n P O n’



n' n n'?n ? ? s' s r

P’ C

r
-s
Jianping Ding

s’
16

n' n n'?n ? ? s' s r
F n

O n’

C

F’

r
-f ? 焦距公式 f’

n f ? r ---物方焦点坐标 n ? n' n' f '? r ---像方焦点坐标 n'?n

f n ?? f' n'

? 高斯成像公式:
Jianping Ding

f' f ? ?1 s' s

17

横向放大率 ?
P1

n
M

n’

y
O P F

x’
P’

-x

f’ -f N

F’
P1’

-y’

y' ? 定义: ? y

几何关系+近轴条件

Jianping Ding

f ? ?? x



x' ? ?? f'

18

f x' ? ?? ?? y x f'
P

i
-x
F

n O

n’

F’

P’

-f -s

f’

i’
s’

x’

-y’

折射定律:n sin i

? n' sin i'
? y' 和 sin i ' ? tan i ' ? s'

y 近轴条件: i ? tan i ? sin ?s

y ' ns' ?? ? n' s Jianping Ding y

y y' n ? n' s s'
19

单个球面的反射成像

r
-s
O

s’

n' n n'?n n' ? ?n ? ? s' s r

1 1 2 反射成像公式: ? ? s' s r
平面镜:s’=-s

横向放大率
Jianping Ding

ns ' ?? ?1 n's
20

休息10分钟!
两个PPT文件的下载网址:
(1)http:// 文件名:镇江夏令营101.ppt (2) http:// 文件名:镇江夏令营102.ppt
Jianping Ding
21

例5. 推导薄透镜(的焦距公式-----透镜制造者公式

?1 1? 1 ? (n ? 1)? ? ? ?r r ? f' ? 1 2?
证明: I 面: s , s ’, r 1 1 1 1 I2面: s2, s2’, r2 薄透镜

C2

r1 O

C1

-r2
I1

n
I2

s = s1, s’ = s2’, s2 = s1’

n 1 n ?1 ? I 面: ? s1 ' s1 r1

1 n 1? n ? ? II 面: s2 ' s2 r2

Jianping Ding

?1 1? 1 1 ? ? ?n ? 1?? ? ? ?r r ? s' s ? 1 2?

22

?1 1? 1 1 已得 ? ? ?n ? 1?? ? ? ?r r ? s' s ? 1 2?

C2

r1 O

C1

-r2

n
I1 I2

?1 1? 1 1 s ? ?? 时, ? ? (n ? 1) ? ? ? f ' s' ? r1 r2 ?

-----透镜制造者公式

1 1 1 透镜的成像公式: ? ? s' s f '
Jianping Ding
23

例6、图示一细长圆柱形均匀玻璃棒,其一个端面是平面 (垂直于轴线)另一个端面为球面,现有一很细的光束沿 平行于轴线方向且很靠近轴线入射,当光从平端面射入棒 内时,光线从另一端射出后与轴线的交点到球面的距离为 a;光从球面端射入棒内时,光线在棒内与轴线的交点到 球面的距离为b,试近似求出玻璃的折射率n。(2008年全 国预赛题) 解:

1 n
Jianping Ding

b

a

2

24

解: 1 n 单球面折射的焦点坐标公式----

球面半径 R

b

a

2

?R 像方: a ? 1 ? n n ? (? R) 物方:? b ? Jianping Ding n ?1

n' f '? r n'?n n f ? r n ? n'

b n? a
25

例7、有一半径R=0.128m的玻璃半球,过球心O并与其平面部分相 垂 直 的 轴 线 上 沿 轴 线 方 向 放 置 一 细 条 形 发 光 体 A1A2 , 长 度 为 l=0.020m。若人眼在轴附近对着平面部分向半球望去,可看到发光 体的两个不很亮的像(更暗的像不必考虑),当发光体在轴上前后 移动时,这两个像也在轴上移动。如调整发光体的位置,使得两个 像恰好头尾相接连在一起,则发光体的近端A2 距球心O的距离为 a2=0.020m,求此玻璃球的折射率 n(计算时只考虑近轴光线)。 (全国竞赛题) 解: n

分析-- ? 两个像,一为平面反射的像;
? 另一个:经过平面折射 Jianping Ding

O
A1 A2 a2

R

球面反射

平面折射
26

n n' n ? n' ? ? s s' r
? 注意:半球的 r = -R

n A1 A2 O A’2 A’1 A”2 A”1 a2 l

求光轴上一点A(在O左方a处)经过

三次(折射、反射、折射)所成的像

a 计算可得最后的像A’在O右边s’A处:s ' A ? 1 ? 2na / R
A 经平面反射的像 A” 在O右边 a 处, 并且 s’ > s’ A1 A2 两条形像头尾相接, A1’ 与A2” 重合 显然 s’A< a

Jianping Ding

lR n? ? 1.6 2a2 ? a2 ? l ?

27

例8、两个光焦度(光焦度是透镜焦距的倒数)分别为D1 和D2的薄透镜同轴放置,相距 L=25cm。这个系统能使 位于主光轴上接近于D1 的物成正立的实像,放大倍数 ? ’=1如果两个透镜的位置交换,系统仍然形成正立的 实像,这时放大倍数为? ”=4,问: (1)两个透镜的类型? (2)两个透镜的光焦度的差 ?D ? D1 ? D2 ? ? (亚洲奥赛题,2006年) 解:(1)分析 (i)两个透镜皆为凹透镜时 ? 物经过透镜1后成一正立虚像 ? 再经过透镜2后仍成一正立虚像

? 即经过两个凹透镜后,最终成正立虚像,
Jianping Ding

与题目不符。

28

(ii)若一为凸透镜、一为凹透镜-? 如凸透镜在前,凹透镜在后: 倒立实像 物经过 正立虚像 正立虚像 ? 如凹透镜在前,凸透镜在后: 物经过 正立虚像 倒立实像 或 正立虚像 不符 再经过 倒立虚像、

倒立实像、
正立虚像

不符

Jianping Ding

29

(iii)两个透镜皆为凹透镜:

若物经透镜1成实像,并且对透镜2仍是成实像的情形

两次倒立实像的结果

正立实像

可行的组合
Jianping Ding
30

(2)两个透镜的光焦度的差 ?D ? D1 ? D2 ? ? 解:

1 1 1 薄透镜成像公式 ? ? s' s f ' ns ' s ' 薄透镜放大率 ? ? ? n's s 透镜组放大率 ? ? ?1 ? ? 2

L=25cm

f1 s1 f1 透镜1--- s '1 ? 和 ?1 ? (略去焦距中的撇号) s1 ? f1 s1 ? f1

Jianping Ding

s2 f 2 和 f2 透镜2 --- s ' ? ?2 ? 2 s2 ? f 2 s2 ? f 2

31

(2)

s1 f1 s '1 ? s1 ? f1 f1 ?1 ? s1 ? f1

s2 f 2 s '2 ? s2 ? f 2
f2 ?2 ? s2 ? f 2
L=25cm

已知条件 ---

s1 f1 s2 ? s '1 ? (? L) ? ?L s1 ? f1
f1 f 2 ? ' ? ?1 ? ?2 ? s1 ? f1 ? f 2 ? L ? ? f1 f 2 ? Lf1

f1 f 2 交换 f1和 f2 ,即得 ? '' ? s1 ? f1 ? f 2 ? L ? ? f1 f 2 ? Lf 2
Jianping Ding
32

f1 f 2 ?'? s1 ? f1 ? f 2 ? L ? ? f1 f 2 ? Lf1 已得到 f1 f 2 ? '' ? s1 ? f1 ? f 2 ? L ? ? f1 f 2 ? Lf 2

L=25cm

?1 1? ? ? L ? ? ? ? L ? D1 ? D2 ? ? ' ? '' ? f1 f 2 ? 1 1


? ' ?1
? '' ? 4

代入上式,得

? D1 ? D2 ? ? 3 ? m

?1

?
33

Jianping Ding

例9、有两个焦距分别为f1和f2的凸透镜。将这两个透镜作 倒立的像(如图所示),求解两个透镜的配置方案。 解: 分析-- 物

适当配置,可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、



d L2

? 对透镜2而言,所成的像为虚像, L1 则透镜1所成的中间像一定在透镜2 的物方焦点内侧并且是倒立的。

? 透镜1的成像过程必定是成实像的过程
Jianping Ding
34

解:

1 1 1 ? ? s '1 s1 f1



1 1 1 ? ? s '2 s2 f 2
透镜1的像



d

透镜2的物:

s2 ? s '1 ? ? ?d ? ? s1 ? ? ?d ?

L1

L2

最终的像与最初的物位置相同: '2 s

f 2 ? s '2 ?2 ? f2 Jianping Ding



f1 ?1 ? s1 ? f1

f1 f 2 ? s '2 ? ? ?1 ? ? 2 ? ? s1 ? f1 f2
已知条件

? ? ?1

35

得:

1 1 1 ? ? s '1 s1 f1



1 1 1 ? ? s1 ? d s '1 ? d f 2
f1 f 2 ? s1 ? d ? ? ?1 s1 ? f1 f2

像 L1

d L2

d ? 2 f1 f 2
求解得

并且题目要求 s1<0

s1 ?
Jianping Ding

2 f1 f 2 f1 ? f2

所以要求

f1 ? f 2

36

下午见!

Jianping Ding

37


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