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湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学(理,含答案)试题

湖北省部分重点中学 2014 届高三第一次联考

数学(理)试题
第一部分 选择题

一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑。 1.已知两个集合 A ? x | y ? ln(? x ? x ? 2) , B ? ? x |
2

?

?

? ?

2x ? 1 ? ? 0? ,则 A ? B ? ( ). e?x ?
D. ?2, e ?

A. ? -

? 1 ? , 2? ? 2 ?

B. ? - 1, - ? 2

? ?

1? ?

C. ?- 1 ,e?

2 .若 z ? sin ? ? A. ?

?? 3 ? 4? ? ? ? cos? ? ?i 是纯虚数,则 tan?? ? ? =( ) 4? 5 ? 5? ?
B. ? 7 C. ?

[来源:学.科.网]

3.已知命题 p :所有素数都是偶数,则 ?p 是 A.所有的素数都不是偶数 C.存在一个素数不是偶数
x ?x

1 7

7 3

D. ? 1

( ) B.有些素数是偶数 D.存在一个素数是偶数

4.设 a ? R , 函数 f ( x) ? e ? ae 的导函数为 f ?( x) ,且 f ?( x) 是奇函数,则 a ? ( ) A.0 B.1 C.2 D. ? 1 5.三个实数成等差数列,首项是 9.若将第二项加 2、第三项加 20 可使得这三个数依次构 成等比数列 ?an ?,则 a 3 的所有取值中的最小值是 A. 1 B. 4 C. 36 ( ) D.49 , 值 域 为

6 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为

?x | ?3 ? x ? 8, 且x ? 5?

?y | ?1 ? y ? 2, 且y ? 0?.下列关于函数 y ?

f ( x) 的说法:①当 x ? ?3 时, y ? ?1 ;

②将 y ? f ( x) 的图像补上点 ?5,0 ? ,得到的图像必定是一条连续的曲线;③ y ? f ( x) 是 ?- 3,5? 上的单调函数;④ y ? f ( x) 的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的 个数为( ) A.1

B. 2

C.3

D.4 ( )

7. 等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , 若 S n?1 ,S n ,S n ? 2 成等差数列, 则其公比 q 为

A. q ? ?2 C. q ? ?2或q ? 1

B. q ? 1 D. q ? ?2或q ? ?1

8 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ?? ?,0? ? ?0,??? 上 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

? 2| x ?1| ? 1, 0 ? x ? 2 ? ,则函数 g ( x) ? 4 f ( x) ? 1 的零点个数为( ) f ( x) ? ? 1 ? ? f x ? 2 , x ? 2 ? ?2
A. 4 B.6 C.8 D.10

9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若三边的长为连续的三个正整数, 且 A ? B ? C , A ? 2C ,则 sinA : sin B : sin C 为 ( A.4:3:2 B.5:4:3 C.6:5:4 10.在 △ABC 所在的平面内,点 P0 、 P 满足 P0 B ? 数 ? , 恒有 PB ? PC ? P0 B ? P0C , 则 A. ?ABC ? 90? C. AC ? BC 第二部分 ( ) D.7:6:5

1 AB , PB ? ? AB ,且对于任意实 4


B. ?BAC ? 90? D. AB ? AC 非选择题

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分。 11.设球的半径为时间 t 的函数 r (t ) ,若球的体积以均匀速度 速度与球半径的乘积为 .

1 增长,则球的表面积的增长 2

12 . 在 △ABC 中 , 边 AC ? 1 ,AB ? 2, 角 A ?

2? , 过 A 作 AP ? BC于P , 且 3

AP ? ? AB ? ? AC ,则 ?? ?


3

3 13.已知两个实数 a, b 满足 a ? 3 ? a ? 0 且 ?b ? 3? ? b ? 0 ,则 a, b,1 三个数从小到大的

关系是 14.已知 f ( x) ?

(用“ ? ”表示).

1 ,各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? 2 ? f (an ) ,若 a12 ? a14 , 1? x

3 2

则 a13 ? a2014 ?

- 1? ,使函数 15.已知函数 f ( x) ? ax ? x ? ax(a ? R, 且a ? 0) .如 果存在实数 a ? ?- ?,
g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) , x ? ?? 1, b? ?b ? ?1? 在 x ? ?1 处取得最小值,则实数 b 的最大
值为 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 75 分。 16(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (2)若不等式 |

1 ? ? f ?( ) cos 2 x ? f ?( ) . 2 12 4

f ( x) ? m |? 3 对任意 x ? ?

?? ?? , ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? 12 3 ?

17.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,

?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点.
(1)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; ( 2 ) 点 M 在 线 段 PC 上 , PM ?

1 PC , 若 平 面 PAD ? 平 面 ABCD , 且 3

P A? P D ? AD ? 2 ,求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

18.(本小题满分 12 分)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .且 S 4 ? 4S 2 , a 2 n ? 2a n ? 1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若 an ? 2n ? 1 , 数列 ?b ? 满足:b1
n

?1? ? 3, bn ? bn ?1 ? an ?1 (n ? 2) , 求数列 ? ? 的 ?b ?
n

前 n 项和 Tn .

19.(本小题满分 12 分)已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟机,C 线路, D 左声道和 E 右声道,其中每个部件工作的概率如图所示,能听到声音,当且仅当 A 与 B 中有一个工作,C 工作,D 与 E 中有一个工作;且若 D 和 E 同时工作则有立体声 效果. (1)求能听到立体声效果的概率; (2)求听不到声音的概率.(结果精确到 0.01)

20(本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 右准线

x2 y 2 ? ?1( a a 2 b2

? b ? 0 )的右焦点 F ,右顶点 A ,

x ? 4 且 | AF |? 1 .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且只有一个交 点 P ,且与右准线相交于点 Q,试探究在平面直角坐标 系内是否存在点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过定点 M ?若存在,求出点 M 坐标;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分)设

f ( x) ? ln x .

(1) 若 ? ? (0,1) ,求 g ( x)

? ? ln x ? (1 ? ? ) ln(1 ? x) 最大值;

(2)已知正数 ? , ? 满足 ?

? ? ? 1 .求证: ?f ( x ) ? ?f ( x ) ? f (?x ? ?x ) ;
1 2 1 2

(3) 已知
n

xi ? 0 ,正数 ? 满足 ? ? i ? 1 .证明:
i

n

i ?1

?? ln x ? ln ?? x
n i i i i ?1 i ?1

i

(其中i ? 1,2,?n) .

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

湖北省部分重点中学 2014 届高三第一次联考

数学(理)试题答案与评分细则
1-5:BBCBA 11.1 12. 6-10:AADCC 13. 1 ? a ? b 14.

10 49

13 5 -1 (可不化简) ? 21 2

15.

17 - 1 2

16 .解: (1) ? f ( x) ? 3 sin 2 x ?

? f ?( x) ? 2 3 cos 2 x ? f ?( ) sin 2 x.( 2分) 12 ? ? 3 ? 1 ? 令x ? 得f ?( ) ? 2 3 ? ? f ?( ) ? ,即f ?( ) ? 2, 12 12 2 12 2 12 ? f ?( ) ? 2 3 cos ? f ?( ) sin ? ? f ?( ) ? ?2 ( , 4分) 4 2 12 2 12 ? f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ? 最小正周期T ? ?,最小值为 - 4.(6分)

?

1 ? ? f ?( ) cos 2 x ? f ?( ), 2 12 4

?

?

?

?

?

?

6

) ? 2.

? ?? ?? (2)由( 1)知:f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2, 当x ? ? , ?时, 6 ? 12 6 ? ? ?1 ? ? ? 5? ? ? ? , ?, ? sin(2 x ? ) ? ? , 1, ? -1 ? f ( x) ? 0.(8分) 6 ?3 6 ? 6 ?2 ? ? ?m ? f ( x ) ? 3 ?? ?? 又对任意x ? ? , ? f ( x) ? m ? 3 ? ? 恒成立,( 10分) ? 12 6 ? ?m ? f ( x ) ? 3 ? m ? f min ( x) ? 3 ?? , 即 - 3 ? m ? 2.(12分) ?m ? f max ( x) ? 3
2x ?
PQ ? AD ? ? 17 ( . 1)证明:由题 BQ ? AD ? ? AD ? 平面PQB, PQ ? BQ ? Q? ? 又 ? AD ? 平面PAD, ? 平面PQB ? 平面PAD.(6分)

?

(2) ? PA ? BD, Q为AD的中点, ? ? 平面PAD ? 平面ABCD ? ? PQ ? 平面ABCD. (8分) ? 平面PAD ? 平面ABCD ? AD? ?以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x, y, z轴建立如图所示空间直角坐标系o ? xyz. 2 1 2 3 2 3 QP ? QC ? (? , , ). 3 3 3 3 3 ? 2 3 2 3 ? ?QM ? n1 ? 0 ?- x ? y? z?0 设n1 ? ( x, y, z )是平面MBQ的一个法向量,则? ,即? 3 , 3 3 ? ? ? QB ? n1 ? 0 ,3 y ? 0 ? 则Q(0,0,0),A( 1,0,0),P(0,0,,3),B(0,,3, 0) .QM ? ? x ? 3z 即? .令z ? 1得n1 ? ( 3 ,0,1( ). 10分) ? y?0 1 又n2 ? (0,0,1)是平面BQC 的一个法向量, ? cos ? n1 , n2 ?? .故二面角M - BQ - C的大 2 小为 ( . 12分) 3
4?3 ? ?a ? 1 ? 4a1 ? d ? 4(2a1 ? d ) 18.解:( 1 )由题, 设等差数列?a n1 ? 的首项为a1,公差为d , 则? , 解得? 1 2 ?d ? 2 ? ?a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1

? PQ ? AD

?

? an ? 2n ? 1 .(5 分)

(2)由题b1 ? 3, 当n ? 2时,bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? ? (b3 ? b2 ) ? (b2 ? b1 ) ? b1 ? a n ?1 ? a n ? ? ? a 4 ? a3 ? b1 ? n 2 ? 2n(n ? 1也成立( ). 8分) ? 1 1 1 1 ? ( ? ), bn 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? b1 b2 bn ?1 bn 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? n ? 1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ?? 1? 1 1 1 ? 3 2n ? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? 2 .(12分) ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 2n ? 6n ? 4 19 解:(1)因为 A 与 B 中都不工作的概率为(1-0.90)(1-0.8); 所 以 能 听 到 立 体 声 效 果 的 概 率 为 [1- ( 1-0.90 ) (1-0.8)]*0.95*0.8*0.7=0.52136 ? 0.52 .(5 分) (2)当 A、B 都不工作,或 C 不工作,或 D、E 都不工作 时,就听不到音响设备 的声音.其否定是:A、B 至少有 1 个工 作,且 C 工作,且 D、E 中至少有一个工 作.所以,听不到声音的概率为 1-[1-(1-0.90)(1-0.8)]*0.95*[1-(1-0.8) (1-0.7)]=1-0.875 ? 0.13(10 分) 答: (1) 能听到立体声效果的概率约为 0.52; (2) 听不到声音的概率为 0.13. (12 分) ? Tn ?

20解:( 1 )由题

a2 ? 4, a ? c ? 1,? a ? 2, c ? 1,? b ? 3 ,椭圆 C 的标准方程为 c

x2 y2 (5 分) ? ? 1. 4 3 ? y ? kx? m (2)由? 2 得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 ,(7 分) 2 ?3 x ? 4 y ? 12
? ? ? 64 k 2 m 2 ? 4(3 ? 4k 2 )( 4m 2 ? 12) ? 0,即m 2 ? 3 ? 4k 2 .

4k 2 3 4km 4k 4k 3 , y ? kx ? m ? ? ? m ? ,即 P (? , ) .(9 分) ? ? p p 2 m m m m m 3 ? 4k 假设存在点 M 满足题意,则由椭圆的对称性知,点 M 应在 x 轴上,不妨设点 M (t ,0) . 4k 3 又 Q ?4,4k ? m ? , MP ? (? ? t , ) , MQ ? (4 ? t ,4k ? m) ,若以 PQ 为直径的圆恒过 m m 4k 3 4k 定点 M,则 MP ? MQ ? (? ? t ) ? ?4 - t ? + ? (4k ? m) = t 2 ? 4t ? 3 ? (t ? 1) ? 0 恒成 m m m t ?1 ? 立,故 ? 2 ,即 t ? 1 . (13 分) ?t ? 4t ? 3 ? 0

xp ? ?

?存在点 M 适合题意,点 M 与右焦点重合,其坐标为(1,0). ? ?1 ??x ( 0 ? x ? 1) 21解:( 1 )g ?( x) ? ? (1 ? ? ) ? x 1 ? x x(1 ? x) 当 x ? (? ,1) 时,g ?( x) ? 0 .即 g ( x) 在 (0, ? ) 上递增, 在 (? ,1) ?当x ? (0, ? ) 时,g ?( x) ? 0 , 递减.故 当x ? ? 时,有 g max ( x) ? g (? ) ? ? ln ? ? (1 ? ? ) ln(1 ? ? ) .(3 分) 则 (2)构造函数F(x) ? ?f ( x1 ) ? ?f ( x) ? f (?x1 ? ?x) ? ? ln x1 ? ? ln x ? ln(?x1 ? ?x) , ?? ( x1 ? x) ? ? F?(x) ? ? ? . 易证 F ( x) 在在 (0, x1 ) 上递增,在 ( x1 ,??) 上递减. x ?x1 ? ?x x(?x1 ? ?x) ? 当x ? x1 时,有 Fmax ( x) ? F ( x1 ) ? ?f ( x1 ) ? ?f ( x1 ) ? f (?x1 ? ?x1 ) ? 0 . ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ,即 ?f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) ? f (?x1 ? ?x2 ) ? 0 , 即证 ?f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) ? f (?x1 ? ?x2 ) (8 分) (3)用数学归纳法证明如下: ① 当 n ? 1,2 时,命题显然成立; ② 假设当 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时,命题成立,即当 ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? k ?1 ? ? k ? 1 时, ?1 ln x1 ? ? 2 ln x2 ? ? ? ? k ?1 ln xk ?1 ? ? k ln xk ? ln(?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ) . 则当 n ? k ? 1,即当 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ?1 ? ? k ? ? k ?1 ? 1 时, ? k ?1 ?k ?1 ?2 ? ??? ? ? 1 ,又假设知 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 ? k ?1 ?k ?1 ?2 ln x1 ? ln x 2 ? ? ? ln x k ?1 ? ln x k ? 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 ? k ?1 ?k ?1 ?2 ln( x1 ? x2 ? ? ? x k ?1 ? x k ) ,即 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1
[来源:学科网 ZXXK]

? 1 ln x1 ? ? 2 ln x 2 ? ? ? ? k ?1 ln x k ?1 ? ? k ln x k ? (1 ? ? k ?1 ) ln(

? 1 x1 ? ? 2 x 2 ? ? ? ? k ?1 x k ?1 ? ? k x k ) 1 ? ? k ?1

? 1 ln x1 ? ? 2 ln x 2 ? ? ? ? k ?1 ln x k ?1 ? ? k ln x k ? ? k ?1 ln x k ?1

? 1 x1 ? ? 2 x 2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ) ? ? k ?1 ln x k ?1 1 ? ? k ?1 ? x ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k x k ? ln[(1 ? ? k ?1 ) 1 1 ? ? k ?1 x k ?1 ] 1 ? ? k ?1 = ? ln(?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ? ? k ?1 xk ?1 ) . 这说明当 n ? k ? 1时,命题也成立.
? (1 ? ? k ?1 ) ln(
[来源:学科网]

综 上①②知,当 xi ? 0 ,正数 ? i 满足 ? ? i ? 1 时
n i ?1

?? ln x ? ln ?? x
n n i i i i ?1 i ?1

i

(其中i ? 1,2,?n)

(14 分)
[来源:Z#xx#k.Com]

(以上答案仅供参考,其他解法请作情给分.)


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