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1.2 余弦定理(2)


第 2 课时 余弦定理(2)

课标 解读

1.理解余弦定理,能用余弦定理确定三角形的形状,熟练边角互化.(重点) 2. 能运用余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何运算有关的实际问题. (难点)

判断三角形形状
例题 1: 在△ABC 中,若 b2sin2C+c2sin2B=2bccos B· cos C,试判断△ABC 的形状. 【思路探究】 一是利用余弦定理将已知式化为边的关系; 二是利用正弦定理将已知式 化为角的关系. 【自主解答】 法一 将已知等式变为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C. 由余弦定理,可得 a2+b2-c2 2 2 a2+c2-b2 2 b2+c2-b2· ( ) -c · ( ) 2ab 2ac a2+b2-c2 a2+c2-b2 =2bc· · , 2ab 2ac [?a2+b2-c2?+?a2+c2-b2?]2 即 b +c = . 4a2
2 2

∴b2+c2=a2.∴△ABC 为直角三角形. a b c 法二 由 = = =2R(R 为△ABC 外接圆的半径),得 a=2Rsin A,b=2Rsin sin A sin B sin C B,c=2Rsin C. 则原式可化为 R2sin2Bsin2C=R2sin Bsin Ccos Bcos C. ∵sin Bsin C≠0, ∴sin Bsin C=cos Bcos C,即 cos(B+C)=0. ∴B+C=90° . ∴A=90° .∴△ABC 为直角三角形.

规律方法 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考, 可用正、 余弦定理将已知条件转 化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;也

1

可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换,得出三角形各内 角之间的关系,从而判断三角形的形状. 变式训练 在△ABC 中,若(a-c· cos B)· sin B=(b-c· cos A)· sin A,判断△ABC 的形状. 【解】 结合正弦定理及余弦定理知,原等式可化为 a2+c2-b2 b2+c2-a2 (a-c· )· b=(b-c· )· a. 2ac 2bc 整理得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2, ∴a2+b2-c2=0 或 a2=b2, ∴a2+b2=c2 或 a=b. 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形.

正余弦定理的综合应用
例题 2: △ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 asin Asin B+bcos2A = 2a, b (1)求 ; a (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. b 【思路探究】 (1)利用正弦定理化简上式,从而求得 的值; a (2)利用余弦定理求 B. 【自主解答】 (1)将 a=2Rsin A,b=2Rsin B 代入已知式得: sin2Asin B+cos2Asin B= 2sin A. ∴(sin2A+cos2A)sin B= 2sin A, b ∴sin B= 2sin A,∴b= 2a,∴ = 2. a (2)∵c2=b2+ 3a2=(2+ 3)a2,∴c= 3+1 a, 2

a2+c2-b2 ?3+ 3?a2-2a2 2 ∴cos B= = = , 2ac 2 3+1 2×a× a 2 ∴B=45° .

规律方法 1.本例中,既用到了正弦定理,也用到了余弦定理,这也是解三角形综合问题的常规 通法. 2.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,要解三角形,必须已知三角形
2

的一边的长,对于两个定理,根据实际情况可以选择性地运用,也可以综合运用,要注意以 下关系式的运用:

A+B+C=π sin(A+B)=sin C sin A+B C =cos 2 2 cos(A+B)=-cos C A+B C cos =sin 2 2

变式训练 已知△ABC 的外接圆半径为 R,且满足 2R(sin2A-sin2C)=( 2a-b)sin B,求△ABC 面 积的最大值. 【解】 由已知条件得 4R2(sin2A-sin2C)=( 2a-b)· 2Rsin B. 由正弦定理得 a2-c2=( 2a-b)b, 即 a2+b2-c2= 2ab. a2+b2-c2 2 再由余弦定理的推论得 cos C= = . 2ab 2 又 C 是△ABC 的内角,∴C=45° , 1 1 2 ∴S= absin C= · 2Rsin A· 2Rsin B· 2 2 2 = 2R2sin Asin B =- = 2 2 R [cos(A+B)-cos(A-B)] 2

2 2 2 R [ +cos(A-B)], 2 2

1+ 2 2 当 A=B 时,面积 S 有最大值,最大值为 R. 2

利用余弦定理解实际应用题或平面几何问题
例题 3:如图 1-2-1 所示,在四边形 ABCD 中,BC=20,DC=40,

3

图 1-2-1 B=105° ,C=60° ,D=150° ,求: (1)AB; (2)四边形 ABCD 的面积. 【思路探究】 (1)连结 BD,将 AB 放在△ABD 中作为一边,利用正余弦定理求解. (2)S 四边形 ABCD=S△ABD+S△DBC.

【自主解答】 (1)连结 BD, 因为∠ABC=105° ,C=60° , ∠ADC=150° , 所以 A=360° -105° -60° -150° =45° . 在△BCD 中,BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos C 1 =202+402-2×20×40× =1 200, 2 于是 BD=20 3. 因为 BD2+BC2=CD2,所以∠CBD=90° . 所以∠ABD=105° -90° =15° ,∠BDA=180° -45° -15° =120° . AB BD 在△ABD 中, = , sin∠ADB sin A BDsin∠ADB 20 3sin 120° 所以 AB= = =30 2. sin A sin 45° (2)因为 sin 15° =sin(45° -30° )= 所以四边形 ABCD 的面积 S × 6- 2 =50(9+ 3). 4
四边形

6- 2 , 4
ABCD=S△DBC+S△DBA=

1 1 ×20×20 3+ ×20 3×30 2 2 2

规律方法 1.本例中,要利用余弦定理解平面几何问题,首先将四边形进行了分割,以便解三角 形和利用三角形面积公式. 2.若利用余弦定理解实际应用题,首先应抽象出平面图形,然后分割出若干个三角形 进行求解.

4

变式训练

图 1-2-2 如图 1-2-2,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行 测量,已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,求∠DEF 的余弦值. 【解】 在直角梯形 ABED 中,DE= 502+?200-80?2=130, 在直角梯形 BCFE 中,EF= 1202+?200-110?2=150, 在直角梯形 ACFD 中,DF= ?110-80?2+1702= 29 800, DE2+EF2-DF2 ∴cos ∠DEF= 2DE· EF = 1302+1502-29 800 16 = . 65 2×130×150

忽略三角形中的隐含条件而致误
典例: 若使 a,a+1,a+2 为钝角三角形的三边,求 a 的取值范围. 【错解】 因为 a+2 是三角形中的最大边,依题意知其对角 θ 应为钝角. a2+?a+1?2-?a+2?2 a-3 所以 cos θ= = <0, 2a 2a?a+1? 所以 0<a<3. 【错因分析】 上述解法中只考虑了最大边所对的角为钝角,而忽略了 a,a+1,a+2 构成三角形的条件, 因此, 还应该注意“在三角形中, 两边之和大于第三边”这个隐含条件, 故 a+2<a+(a+1),解得 a>1,因此实数 a 的取值范围是(1,3). 【防范措施】 对于钝角三角形的判断,不仅仅是最大角为钝角,同时应考虑它首先是

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三角形,即满足任意两边之和大于第三边这一条件. 【正解】 由题意知 a+2 是三角形的最大边, a>0, ? ?a+?a+1?>a+2, 则有? a +?a+1? -?a+2? ? ? 2a?a+1? <0.
2 2 2

解不等式组得 1<a<3,所以 a 的取值范围是(1,3).

课堂小结 1.基础知识: (1)正弦定理; (2)余弦定理; (3)三角形面积公式. 2.基本技能: (1)判断三角形形状; (2)正余弦定理的综合应用; (3)利用余弦定理解实际问题或平面几何问题. 3.思想方法: (1)边角互化; (2)转化化归; (3)数形结合; (4)分类讨论.

1.在△ABC 中,B=60° ,b2=ac,则△ABC 的形状为________. 【解析】 ∵b2=a2+c2-2accos 60° =a2+c2-ac, ∴a2+c2-ac=ac, ∴a2-2ac+c2=0,∴a=c. 又∵B=60° ,∴△ABC 为正三角形. 【答案】 正三角形 9 2.在△ABC 中,AB= 5,AC=5,cos C= ,则 BC=______. 10 9 【解析】 设 BC=x,由余弦定理得( 5)2=52+x2-2×5×x× , 10 ∴x2-9x+20=0,∴x=4 或 5. 【答案】 4 或 5

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图 1-2-3 3.如图 1-2-3,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ________ km. 【解析】 ∵CA=CB=a, ∠ACB=180° -20° -40° =120° , ∴AB2=AC2+CB2-2×AC×CBcos ∠ACB, 即 AB2=a2+a2+a2=3a2, ∴AB= 3a. 【答案】 3a

→ → 5 1 4.在△ABC 中,若CB· CA= ,cos C= ,a+b=9,求 c. 2 8 → → 1 5 【解】 ∵CB· CA=abcos C=ab× = , 8 2 ∴ab=20. 又 a+b=9,联立上式,解得 a2+b2=41. 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C=36,

∴c=6.

一、填空题 1.在△ABC 中,已知三边长分别为 a,b,c,则 acos C+ccos A=________. 【解析】 acos C+ccos A=2Rsin Acos C+2Rsin Ccos A=2Rsin(A+C)=2Rsin B=b. 【答案】 b 2.△ABC 中,若 sin2A=sin2B+sin Bsin C+sin2C,则 A=________.
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b2+c2-a2 1 2π 【解析】 由题意,a2=b2+bc+c2,∴cos A= =- ,∴A= . 2bc 2 3 【答案】 2π 3

3.某船开始看见灯塔在南偏东 30° 方向,后来船沿南偏东 60° 的方向航行 45 km 后,看 见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是________.

【解析】 如图所示,∠BAC=60° -30° =30° ,∠ACB=30° . 设|BC|=x,由余弦定理 3x=45,∴x=15 3(km) 【答案】 15 3 km a b 4.在△ABC 中,C=60° ,则 + =________. b+c c+a 【解析】 ∵C=60° ,∴a2+b2-c2=ab, ∴a2+b2=ab+c2, 等式两边都加上 ac+bc,整理得 (a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c), ?ac+a2?+?b2+bc? a b ∴ + = =1. b+c c+a ?b+c??c+a? 【答案】 1 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3 sin B,则 A=________. 【解析】 ∵sin C=2 3sin B,∴c=2 3b. ∵a2-b2= 3bc=6b2, b2+c2-a2 3 ∴a2=7b2,∴cos A= = ,∴A=30° . 2bc 2 【答案】 30° 6.已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a,则 a 的取值范围是________.

【解析】

?1+a>3, ? 1 +a -3 a 应满足?cos θ = >0, 2×1×a 1 +3 -a ? ?cos θ = 2×1×3 >0.
1+3>a,
2 2 2 1 2 2 2 2

解之得 2 2<a< 10.
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【答案】 (2 2, 10) 7.在△ABC 中,已知 sin A=2cos Bsin C,则△ABC 是________三角形. 【解析】 法一 由正弦定理可得 a=2c· cos B. a2+c2-b2 由余弦定理得 a=2c· ,化简得 b=c. 2ac ∴△ABC 是等腰三角形. 法二 sin A=2cos B· sin C?sin(B+C)=2cos Bsin C

?sin B· cos C+cos B· sin C=2cos B· sin C ?sin B· cos C-cos B· sin C=0?sin(B-C)=0. 可知-π<B-C<π. ∴B-C=0.∴B=C. 故△ABC 为等腰三角形. 【答案】 等腰 8.

图 1-2-4 如图 1-2-4,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD, 则 sin C 的值为________. 【解析】 设 AB=a,∴AD=a,BD= AB2+AD2-BD2 cos A= = 2AB· AD ∴sin A= 1-cos 2A= 4 2a2- a2 3 1 = , 2a2 3 2 4 a,BC=2BD= a, 3 3

2 2 . 3

AB 3 2 2 6 由正弦定理知 sin C= · sin A= × = . BC 4 3 6 【答案】 二、解答题 9.在△ABC 中,若 AB=3,BC= 13,AC=4,求 AC 边上的高. 【解】 设 AC 边上的高为 BD, 32+42-13 1 在△ABC 中,cos A= = , 2 2×3×4 ∴A=60° .
9

6 6

3 3 在△ABD 中,BD=ABsin A=3×sin 60° = . 2 4 10.在△ABC 中,cos A= ,且(a-2)∶b∶(c+2)=1∶2∶3,试判断三角形的形状. 5 【解】 由已知设 a-2=x,则 b=2x,c+2=3x, ∴a=2+x,c=3x-2,由余弦定理得 4x2+?3x-2?2-?x+2?2 4 = , 5 4x?3x-2? 解得 x=4, ∴a=6,b=8,c=10, ∴a2+b2=c2, 即三角形为直角三角形. π 11.在△ABC 中,内角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、c.已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin (B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积. 【解】 (1)由余弦定理及已知条件得 a2+b2-ab=4,又因为△ABC 的面积等于 3,所 1 以 absin C= 3,得 ab=4. 2
2 2 ? ?a +b -ab=4, ? 联立方程组 ?ab=4, ?

解得 a=2,b=2. (2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,即 sin Bcos A=2sin Acos A. π π 4 3 2 3 当 cos A=0 时,A= ,B= ,a= ,b= .当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A,由 2 6 3 3
2 2 ? ?a +b -ab=4, 2 3 4 3 ? 正弦定理得 b=2a,联立方程组 解得 a= ,b= .所以△ABC 的面 3 3 ?b=2a, ?

1 2 3 积 S= absin C= . 2 3

备选例题 π 设△ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长,并且 sin2 A=sin( + 3 π B)sin( -B)+sin2B. 3 (1)求角 A 的值;
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→ → (2)若AB· AC=12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c). 【思路探究】 (1)对题目中的已知等式进行三角恒等变换,化简为只含角 A 的三角函 数式,进而求出角 A;(2)化简所给向量的数量积,由已知条件和余弦定理求解. π π 3 1 3 【自主解答】 (1)因为 sin2A=sin( +B)sin( -B)+sin2B= cos2B- sin2B+sin2B= , 3 3 4 4 4 所以 sin A= 3 π (负值舍去),又 A 为锐角,所以 A= . 2 3

→ → (2)由AB· AC=12 可得 abcos A=12.① π 由(1)知 A= ,所以 cb=24.② 3 由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccos A, 将 a=2 7及①代入,得 c2+b2=52,③ ③+②×2,得(c+b)2=100,所以 c+b=10. 因此,c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两个根, 解方程,并由 b<c 知 c=6,b=4.

规律方法 1.本例灵活运用了三角变换、向量数量积运算以及方程思想,体现了知识的渗透与综 合. 2.向量知识与三角结合,使解题更具灵活性,也是高考的难点与热点之一.

备选变式 3 在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b2=ac,且 cos B= . 4 (1)求 1 1 + 的值; tan A tan C

→ → 3 (2)设BA· BC= ,求 a+c 的值. 2 3 【解】 (1)由 cos B= ,即 sin B= 4 3 7 1-? ?2= . 4 4

由 b2=ac 及正弦定理,得 sin2B=sin A· sin C. 1 1 cos A cos C 于是 + = + tan A tan C sin A sin C = = sin Ccos A+cos Csin A sin Asin C sin?A+C? sin B 1 4 7 = 2 = = . 2 sin B sin B sin B 7
11

→ → 3 3 3 (2)由BA· BC= ,得 ca· cos B= ,由 cos B= 可得 ca=2,又 b2=ac,所以 b2=2. 2 2 4 由余弦定理 b2=a2+c2-2ac· cos B,得 a2+c2=b2+2ac· cos B=5,所以(a+c)2=a2+c2 +2ac=5+4=9,所以 a+c=3.

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