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第6章 定积分的应用 习题课_图文

习题课

y
例1 设f ( x), g( x)在[a, b]上 连 y=m 续,且g( x) ? f ( x) ? m(m为常数), 则曲线y ? f (x), y ? g(x), x ? a, 及x ? b所围平面图形绕直线 y ? m旋转而成的旋转体体积为

解 体积元素为

oa

y=f(x)
y=g(x) x
x x+dx b

dV ? ? (m ? g( x))2dx ? ? (m ? f ( x))2dx

所以所求旋转体体积为

例2 求由 y2 ? 2x ? 6 与 y2 ? 3 ? x
所围成的图形的面积.
解 作草图如下:
关于y积分较方便,

? A ?

?2[ (3 ? y

2 )?( y

? 3) ]dy ? 16 .

2

2 12

例3 求由 x2 ? y2 ? 2x , x2 ? y2 ? 4x 和直线y ? x , y ? 0
所围成的图形的面积.
解 作草图如下, 化为极坐标计算,
x2 ? y2 ? 2x ? r ? 2cos ? ,

x2 ? y2 ? 4x ? r ? 4cos ? ,

? A ? 1

?
4 [(4cos ? )2 ?(2cos ? )2 ]d?

20

? ? 6

?
4 cos2 ?

d?

?

3?

?

3

.

0

42

例4 求抛物线 y?? x2 ? 1 在(0 ,1) 内的一条切线,使它

与两坐标轴和抛物线 y ? ?x2 ?1 所围图形的面积最小.

解 设切点为( x0 , y0 ) ,

则切线方程为 y ? (1? x02) ? ?2x0(x ? x0) ,

即 y ? ?2x0 x ? x02 ? 1 ,

在两坐标轴的截距为:

x02 ? 1 2 x0

,

x02

?

1

所以, ?

AOB

?

( x02 ? 1)2 4 x0

, (0 ?

x0

? 1)

由于曲线 y ? 1 ? x2 下的曲边梯形的面积是一个固定值,

所以只需求 ? AOB ? ( x02 ? 1)2 的最小值 4 x0

令 y ? ( x2 ? 1)2 , x



y?

?

(3x2

?

1)( x2

x2

?

1)



在 ( 0 , 1 ) 内 , x ? 1 为唯一驻点 . 3

导数左负右正,故为极小值点,

又由唯一性知是最小值点,即 x0 ?

1 时, 3

所求面积最小.

故所求切线为 : y ? ? 2 x ? 4 . 33

2

2

2

例5 求星形线 x 3 ? y 3 ? a 3(a ? 0) 绕 x 轴旋转

构成旋转体的体积.

y

解法1 用直角坐标,

2

2

2

? y3 ? a3 ? x3,

?a

o

ax

?

y2

?

?2 ?? a 3

?

2
x3

???

3


x

?

[?a,

a]

?

?

旋转体的体积为

? V ?

a
?
?a

???? a

2 3

?

x

2 3

?3 ?? dx ?

?

32 105

?a3 .

2

2

2

例6 求星形线 x 3 ? y 3 ? a 3(a ? 0) 绕 x 轴旋转

构成旋转体的体积.

y

解法2 参数化,

? ? ?

x y

? ?

a a

cos3 sin3

t t



?a

o

ax

? V ? 2? 0 y2 dx ? /2

? ? 2? ? / 2 a2 sin6 t ? 3a cos 2 t ? sint dt 0

? ? 6?a3 ? / 2 sin7 t(1 ? sin2 t ) dt ? 32 ?a3 .

0

105

例7 求由曲线 y ? 4 ? x2 及 y ? 0 所围成的图形绕 直线 x ? 3旋转构成旋转体的体积.

解 取积分变量为y , y ?[0,4]

体积元素为
dV ? [? (3 ? 4 ? y )2 ?? (3 ? 4 ? y )2]dy

dy
3

? 12? 4 ? y dy,
4
?V ? 12? ?0 4 ? y dy ? 64?.

例8 求由曲线 y ? ( x ? 1)( x ? 2) 和 x 轴所围平面图 形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积. (Ⅱ91六9)

解 用“套筒
由 法平 ”面 :图形 0 ? a ? x ? b,0 ? y ? f ( x) 绕 y 轴

旋转而成的旋转体的体积为

? Vy ? 2?

b xf ( x)dx ;
a

若平面图形为 0 ? a ? x ? b,

b

? f (x) ? y ? 0 ,则

Vy ? ?2?

xf ( x)dx .
a

? 本题:Vy ? ?2?

2

?

x( x ? 1)(x ? 2)dx ? .

1

2

? 例9 求曲线 y ? x 3 ? t 2 dt 的全长 . ?3
解 y( x) 的定义域为 ? 3 ? x ? 3 ,

y'( x) ? 3 ? x2 , 1 ? y?2 ? 4 ? x2 ,

? ? ?全长 s ? 3 1 ? y?2 dx ? 3 4 ? x2 dx

?3

?3

? ? ? 2

3

?
4 ? x2 dx ? 2 3 4cos2 t dt

0

0

? ? 4

?
3 (1? cos2t)dt

? 4?

?

3.

0

3

例10 求心脏线 r = a (1+cos? ) 的全长.

解 心脏线全长对应 ? ?[0,2? ],

r?2 ? r 2 ? a2 sin2 ? ? a2 (1 ? cos ? )2

? 4a2 cos2 ? ,
2

? ? ? s ?

2?

r'2 ?r 2 d? ?

2?

?

2a cos

d?

0

0

2

? ? 4a ? cos ? d?

0

2

? 8a .

例11 用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的阻

力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第一次锤

击时将铁钉击入1厘米,若每次锤击所作的功相等,

问第n次锤击时又将铁钉击入多少?

P287 5.

解 设木板对铁钉的阻力为 f ( x) ? kx ,

第一次锤击时所作的功为

? W1 ?

1 f ( x)dx ? k ,

0

2

设n次击入的总深度为h厘米, 所作的总功为

? Wn ?

h f ( x)dx ? kh2 ,

0

2

? ? W1 ?

1 0

f

( x)dx

?

k 2

,

Wn

?

h f ( x)dx ? kh2 ,

0

2

依题意知,每次锤击所作的功相等,

kh2

k

Wn ? nW1 ?

? n? ,

2

2

? h? n,
n ? n?1 .
所以第n次击入的深度为

例12 由抛物线 y? x2 及 y?4x2 绕 y 轴旋转一周构成一

旋转抛物面的容器,高为 H,现其中盛水, 水高为 H/2,
问要将水全部抽出,外力需做多少功?

解 建立坐标系如图,

功元素为

dW

?

?

?(x

2 1

?

x

2 2

)dy

?

1?

(

H

?

y)

? ? (H ? y)( y ? y )dy ,
4

? ?W ?

H
2 ?(H ?

3y y)( )dy

?

?

?H 3 .

0

4

16

例13 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直 地浸入水中, 斜边朝下, 直角边的边长与水面平行 (如图), 求薄板所受的侧压力.

解 建立坐标系如图,
面积微元 2(a ? x)dx,

2a
o 2a
a

压力元素为

dP ? ( x ? 2a)? 2(a ? x)?1?? dx , x

? P ? a 2( x ? 2a)(a ? x)? dx ? 7 ? a3 .

0

3

例14 一根长为 l,质量为 M 的均匀细棒,在它的一端垂线 上且距棒 a 处有一质量为 m 的质点,求棒对质点的引力.

解 建坐标系如图,

则x轴分力的微元为:

m ? M ? dx

dFx
其中

?G
sin?

a2
?

?

l

x

2
x

? sin? ,


a2 ? x2

? ? Fx ?

l 0

GmM x

l

(a2

?

x

2

3
)2

dx ? GmM l

[1? a

1 ].
a2?l2

m ? M ? dx

dFy ? ?G ?

l a2 ? x2

? cos?

其中 cos ? ? a ,
a2 ? x2

? 所以 Fy

?

aGm M l

?

l dx

0

(a2

?

x2

3
)2

(令 x ? a tan t )

? ? aGmM ?
l

tan?1 l a

a sec2 t dt

?

GmM

0

a3 sec3 t a a 2 ? l 2

.


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