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方正县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

方正县民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好 是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 )

姓名__________

分数__________

  2. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),当 0<x≤1 时,f(x)=2x,则 f (2015)=( ) A.2   3. 若 {an } 为等差数列, S n 为其前项和,若 a1 ? 0 , d ? 0 , S 4 ? S8 ,则 S n ? 0 成立的最大自 然数为( A.11 ) B.12 C.13 D.14 ) B.﹣2 C.﹣ D.

4. 已知在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)?f′(x)<0 的解集为(

A.(﹣2,0) B.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0) C.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) 歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为 a 和 b,则一定有(

D.(﹣2,﹣1)∪(0,+∞) )

5. 如图是七位评委为甲,乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图(其中 m,n 为数字 0~9 中的一个),则甲

A.a>b B.a<b C.a=b D.a,b 的大小与 m,n 的值有关

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6. 将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 ) A. B. C.

个单位,得到函数 y=g(x)的图象,则它的一个对称中心是(

D. )

7. ?ABC 中,“ A ? B ”是“ cos 2 B ? cos 2 A ”的( A. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识,意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 8. 设 S n 是等差数列 {an } 的前项和,若 A.1 下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 由K ?
2

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5



B.2

C.3

D.4

9. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如

男 40 160

女 30 270

n(ad ? bc) 2 500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160) 2 2 ? 9.967 算得 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 200 ? 300 ? 70 ? 430

附表:

P( K 2 ? k ) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828 参照附表,则下列结论正确的是(
) ①有 99% 以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”; ②有 99% 以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”; ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好; ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好; A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ ) 10.函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(

A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3)   11.已知数列 ?an ? 为等差数列, S n 为前项和,公差为 d ,若

S 2017 S17 ? ? 100 ,则 d 的值为( 2017 17



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A.

1 20

B. )

1 10

C. 10

D. 20

12.下列命题中错误的是(

A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B.圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个 C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形  

二、填空题
13.在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2θ=sinθ 与 ρcosθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为      . 14.已知函数 f ( x) ? sin x ? a (0 ? x ?

5? ) 的三个零点成等比数列,则 log 2 a ? 2

.

15.直线 l 过原点且平分平行四边形 ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为 B(1,4),D(5,0),则 直线 l 的方程为      . 16.过椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭

圆的离心率为      .   17.执行如图所示的程序框图,输出的所有值之和是

.

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【命题意图】本题考查程序框图的功能识别,突出对逻辑推理能力的考查,难度中等. 18.已知函数 f(x)= ,若 f(f(0))=4a,则实数 a=  .

三、解答题
19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx .
x 2

(1)当 a ? 0, b ? 0 时,讨论函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上零点的个数; (2)证明:当 b ? a ? 1 , x ? [ ,1] 时, f ( x) ? 1 .

1 2

20.(本小题满分 12 分)已知向量 a = ( m cos wx - m sin wx,sin wx) , b = ( - cos wx - sin wx, 2n cos wx) ,

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设函数 f ( x) = a ×b + ( x ? R ) 的图象关于点 ( (I)若 m = 1 ,求函数 f ( x) 的最小值;

n 2

p

12

,1) 对称,且 w? (1, 2) .

(II)若 f ( x) ? f ( ) 对一切实数恒成立,求 y ? f ( x) 的单调递增区间.

p

4

【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识,意在考查数形结合思想和基本运 算能力.

21.已知命题 p:不等式|x﹣1|>m﹣1 的解集为 R,命题 q:f(x)=﹣(5﹣2m)x 是减函数,若 p 或 q 为真 命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

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22.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . (Ⅰ)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.  

23.某农户建造一座占地面积为 36m2 的背面靠墙的矩形简易鸡舍,由于地理位置的限制,鸡舍侧面的长度 x 不得超过 7m,墙高为 2m,鸡舍正面的造价为 40 元/m2,鸡舍侧面的造价为 20 元/m2,地面及其他费用合计为 1800 元. (1)把鸡舍总造价 y 表示成 x 的函数,并写出该函数的定义域. (2)当侧面的长度为多少时,总造价最低?最低总造价是多少?

24.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn=2an﹣n2+3n+2(n∈N*) (Ⅰ)求证:数列{an+2n}是等比数列; (Ⅱ)设 bn=ansin π,求数列{bn}的前 n 项和;

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(Ⅲ)设 Cn=﹣  

,数列{Cn}的前 n 项和为 Pn,求证:Pn< .  

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方正县民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:A 样本数据:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. B 样本数据 84,86,86,88,88,88,90,90,90,90 众数分别为 88,90,不相等,A 错. 平均数 86,88 不相等,B 错. 中位数分别为 86,88,不相等,C 错 A 样本方差 S2= B 样本方差 S2= 故选 D. 【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义,属于基础题.   2. 【答案】B 【解析】解:因为 f(x+3)=f(x),函数 f(x)的周期是 3, 所以 f(2015)=f(3×672﹣1)=f(﹣1); 又因为函数 f(x)是定义 R 上的奇函数,当 0<x≤1 时,f(x)=2x, 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 即 f(2015)=﹣2. 故选:B. 【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用,属于基础题,解答此题的关键是分析出 f(2015)=f( 3×672﹣1)=f(﹣1).   3. 【答案】A 【解析】 [(82﹣86)2+2×(84﹣86)2+3×(86﹣86)2+4×(88﹣86)2]=4,标准差 S=2, [(84﹣88)2+2×(86﹣88)2+3×(88﹣88)2+4×(90﹣88)2]=4,标准差 S=2,D 正确

考 点:得出数列的性质及前项和. 【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用,其中解答中涉及到等差数列的性质,等 差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及推
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理与运算能力,属于中档题,本题的解答中,由“ a1 ? 0 , d ? 0 ”判断前项和的符号问题是解答的关键. 4. 【答案】B 【解析】解:由 f(x)图象单调性可得 f′(x)在(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)大于 0, 在(﹣1,0)上小于 0, ∴f(x)f′(x)<0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0). 故选 B.   5. 【答案】C 【解析】解:根据茎叶图中的数据,得; 甲得分的众数为 a=85, 乙得分的中位数是 b=85; 所以 a=b. 故选:C.   6. 【答案】D 【解析】解:函数 y=sin2x 的图象向右平移 考察选项不难发现: 当 x= ∴( 时,sin(2× ﹣ )=0; 个单位,则函数变为 y=sin[2(x﹣ )]=sin(2x﹣ );

,0)就是函数的一个对称中心坐标.

故选:D. 【点评】本题是基础题,考查三角函数图象的平移变换,函数的对称中心坐标问题,考查计算能力,逻辑推理 能力,常考题型.   7. 【答案】A. 【解析】在 ?ABC 中 cos 2 B ? cos 2 A ? 1 ? 2sin B ? 1 ? 2sin A ? sin A ? sin B ? sin A ? sin B
2 2 2 2

? A ? B ,故是充分必要条件,故选 A.
8. 【答案】A 【解析】1111]

9(a1 ? a9 ) S 9a 2 试题分析: 9 ? ? 5 ? 1 .故选 A.111] S5 5(a1 ? a5 ) 5a3 2

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考点:等差数列的前项和. 9. 【答案】D 【解析】解析:本题考查独立性检验与统计抽样调查方法. 由于 9.967 ? 6.635 ,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关,②正确;该地区老年 人是否需要帮助与性别有关, 并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显 差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法 比采用简单随机抽样方法更好,④正确,选 D. 10.【答案】C 【解析】解:∵f(1)=1>0,f(2)=1﹣2ln2=ln <0, ∴函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(1,2). 故选:C. 【点评】本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断函数在给定区间端 点处的符号是否相反.   11.【答案】B 【解析】 试题分析:若 ?an ? 为等差数列,

Sn ? n

na1 ?

n ? n ? 1? d d ?S ? 2 ? a1 ? ? n ? 1? ? ,则 ? n ? 为等差数列公差为 , 2 n 2 ?n?

?

S 2017 S17 d 1 ? ? 100, 2000 ? ? 100, d ? ,故选 B. 2017 17 2 10

考点:1、等差数列的通项公式;2、等差数列的前项和公式. 12.【答案】 B 【解析】解:对于 A,设圆柱的底面半径为 r,高为 h,设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为 a, 则截面面积 S=ah≤2rh. ∴当 a=2r 时截面面积最大,即轴截面面积最大,故 A 正确. 对于 B,设圆锥 SO 的底面半径为 r,高为 h,过圆锥定点的截面在底面的边长为 AB=a,则 O 到 AB 的距离为 , ∴截面三角形 SAB 的高为 = 故截面的最大面积为 . .故 B 错误. ,∴截面面积 S= = ≤

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对于 C,由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台,所得几何体仍是圆台,故截面为圆面,故 C 正确. 对于 D,由于圆锥的所有母线长都相等,轴截面的底面边长为圆锥底面的直径,故圆锥所有的轴截面是全等的 等腰三角形,故 D 正确. 故选:B. 【点评】本题考查了旋转体的结构特征,属于中档题.  

二、填空题
13.【答案】 (1,2) .

【解析】解:由 2ρcos2θ=sinθ,得:2ρ2cos2θ=ρsinθ, 即 y=2x2. 由 ρcosθ=1,得 x=1. 联立 ,解得: .

∴曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,2). 故答案为:(1,2). 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.   14.【答案】 ?

1 2

考点:三角函数的图象与性质,等比数列的性质,对数运算. 【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则,属中档题.把等比数列与三 角函数的零点有机地结合在一起,命题立意新,同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识 解决问题的能力,是一道优质题.

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15.【答案】 

 .

【解析】解:∵直线 l 过原点且平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点(3,2), 故斜率为 = , ,

∴由斜截式可得直线 l 的方程为 故答案为 .

【点评】本题考查直线的斜率公式,直线方程的斜截式.   16.【答案】   .

【解析】解:由题意知点 P 的坐标为(﹣c, ∵∠F1PF2=60°, ∴ = , b2= (a2﹣c2). =0, (舍去). .

)或(﹣c,﹣

),

即 2ac= ∴ ∴e=

e2+2e﹣ 或 e=﹣

故答案为:

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质,考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力,属基础题 .   17.【答案】54 【解析】根据程序框图可知循环体共运行了 9 次,输出的 x 是 1,3,5,7,9,11,13,15, 17 中不是 3 的 倍数的数,所以所有输出值的和 1 ? 5 ? 7 ? 11 ? 13 ? 17 ? 54 . 18.【答案】 2 .

【解析】解:∵f(0)=2, ∴f(f(0))=f(2)=4+2a=4a, 所以 a=2 故答案为:2.
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三、解答题
19.【答案】(1)当 a ? (0, 点;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析 : (1)零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得 a ? 单调性可知 h( x) 在 (0, ??) 的最小值 h(2) ?

e2 e2 e2 ) 时,有个公共点,当 a ? 时,有个公共点,当 a ? ( , ??) 时,有个公共 4 4 4

ex ex h ( x ) ? , 构造函数 ,利用 h( x) ' 求出 x2 x2

e2 ,根据原函数的单调性可讨论得零点个数;(2)构造函数 4 h( x) ? e x ? x 2 ? x ? 1 ,利用导数可判断 h( x) 的单调性和极值情况,可证明 f ( x) ? 1 .1

试题解析:

当 a ? (0, 当a ?

e2 ) 时,有 0 个公共点; 4

e2 ,有 1 个公共点; 4 e2 当 a ? ( , ??) 有 2 个公共点. 4 x 2 ' x (2)证明:设 h( x) ? e ? x ? x ? 1 ,则 h ( x) ? e ? 2 x ? 1 ,

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令 m( x) ? h ( x) ? e ? 2 x ? 1 ,则 m ( x) ? e ? 2 ,
' x ' x

1 1 ' 2 2 ' 当 x ? (ln 2,1) 时, m ( x) ? 0 , m( x) 在 (ln 2,1) 上是增函数,

因为 x ? ( ,1] ,所以,当 x ? [ , ln 2) 时, m ( x) ? 0 ; m( x) 在 [ , ln 2) 上是减函数,

1 2

考点:1.函数的极值;2.函数的单调性与导数的关系;3.不等式;4.函数的零点. 【方法点睛】本题主要考查函数的极值,函数的单调性与导数的关系,不等式,函数的零点.有关零点问题一 类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,若方程易求解时 用此法;(2)零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识;(3)数形结合法.在研究函数零点, 方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝 对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 20.【答案】 21.【答案】 【解析】解:不等式|x﹣1|>m﹣1 的解集为 R,须 m﹣1<0,即 p 是真 命题,m<1 f(x)=﹣(5﹣2m)x 是减函数,须 5﹣2m>1 即 q 是真命题,m<2, 由于 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p、q 中一个真,另一个为假命题 因此,1≤m<2. 【点评】本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义,指数函数的单调性与特殊点,分类讨论思想,化简这两个 命题是解题的关键.属中档题.   22.【答案】 【解析】证明:(I)∵数列{an}为等比数列,a1= ,q= ∴an= × = ,

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Sn=

又∵ ∴Sn= (II)∵an=

=

=Sn

∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+(﹣2log33)+…+(﹣nlog33) =﹣(1+2+…+n) =﹣ ∴数列{bn}的通项公式为:bn=﹣ 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前 n 项和以及对数函数的运算性质.   23.【答案】 【解析】解:(1) = 定义域是(0,7]… (2)∵ 当且仅当 ,… 即 x=6 时取=… … …

∴y≥80×12+1800=2760… 答:当侧面长度 x=6 时,总造价最低为 2760 元.…   24.【答案】 【解析】(I)证明 : 由 Sn=2an﹣n2+3n+2(n∈N*) ,∴当 n≥2 时, ,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4, 变形为 an+2n=2[an﹣1+2(n﹣1)],当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1+3+2,解得 a1=﹣4,∴a1+2=﹣2,∴数列{an+2n}是等比数 列,首项为﹣2,公比为 2; (II)解:由(I)可得 an=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n.

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∴bn=ansin

π=﹣(2n+2n)

,∵

=

=(﹣1)n,

∴bn=(﹣1)n+1(2n+2n). 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 当 n=2k(k∈N*)时,T2k=(2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k)+2(1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k) = 当 n=2k﹣1 时,T2k﹣1= (III)证明:Cn=﹣ = ﹣2k= ﹣n. ﹣2k﹣(﹣22k﹣4k)= ,当 n≥2 时,cn . +n+1+2n+1= +n+1.

∴数列{Cn}的前 n 项和为 Pn<

=

= ,

当 n=1 时,c1= 综上可得:?n∈N*,

成立. .

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递 推式的应用,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.  

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